Часть V Рекурсии на недостижимых рекурсиях

Утверждение о существовании чего-то бо́льшего чем бесконечность не должно казаться пустой фантазией, если само существование бесконечности не кажется вам таковым - одно из следствий Аксиомы недостижимого кардинала

Итак, я думаю, читатель дочитавший до этого места уже по названию части, должен понять чем мы будем в ней заниматься. Да, нас по-прежнему ожидают рекурсии, которые будут еще сильнее, поэтому без лишних предисловий продолжаем дальше. В этой части у нас уже не встретиться каких-то особенных функций и теорем, поскольку их практически нет на этих масштабах, мы будем лишь свидетелями рекурсивной битвы ординальных коллапсирующих функций и массивных нотаций. И если всю четвертую часть, и даже конец третьей в этой битве побеждала Функция Бухольца, то в данной части ей понадобится подмога и нам придется перебрать много коллапсирующих функций постепенно догоняющих массивные нотации, но так и быть, вот вам спойлер, в концу этой части ординальные коллапсирующие функции так и не смогут победить массивные нотации по скорости роста, но они по-прежнему остаются более наглядными и позволяющими почувствовать уровень рекурсий, а ведь в этом и есть наша задача постигать масштабы больших чисел.

Первым делом попробуем усилить функцию Бухольца, добавив в нее Иерархию Веблена. А как мы помним, Иерархия Веблена построена на учете неподвижных точек α↦ω^α (ω^ωωω...), но так ведь и мы уже имеем дело с неподвижной точкой α↦ω_α (ω_ωωω...). И если неподвижная точка α↦ω^α обозначала предел последовательности возрастающей степенной башни {ω, ω^ω, ω^ωω, ..., ω^ωωω...}, то неподвижная точка α↦ω_α - это предел последовательности нисходящего увеличения кардинальности {ω, ω_ω, ω_ωω, ..., ω_ωωω...}. И так же как в первом случае мы могли создавать следующие неподвижные точки в виде последовательности: ε₀, ε₁, ε₂, ε₃, ..., которые являлись бо́льшими ординалами, так же и во втором случае мы можем создавать следующие неподвижные точки, которые будут являться бо́льшими кардиналами. Здесь еще раз будьте внимательны, прежде всего надо держать в голове, что никакие арифметические и рекурсивные действия над ординалом не увеличат его кардинальность, значит: |(ω_ωωω...)+1| = ℵ_ωωω..., |(ω_ωωω...)×2| = ℵ_ωωω..., |(ω_ωωω...)^ω| = ℵ_ωωω..., |^ω(ω_ωωω...)| = ℵ_ωωω..., и так далее. Однако арифметические действия над кардинальностью ординала, соответственно увеличат и кардинальность кардинала, которому он соответствует: |ω_{(ωωω...+1)}| = ℵ_{(ωωω...+1)}, |ω_{(ωωω...×2)}| = ℵ_{(ωωω...×2)}, |ω_{(ωωω...)^ω}| = ℵ_{(ωωω...)^ω}, |ω_{^ω(ωωω...)}| = ℵ_{^ω(ωωω...)}, и так далее. Мы можем думать о кардинале ℵ_{(ωωω...+1)} как о следующем несчетном после лестницы алефов, ведь не существует самого большого кардинала. Так же как для каждого трансфинитного ординала всегда есть следующий (+1), так же и для каждого трансфинитного кардинала всегда есть следующий несчетный (+1 к кардинальности). Тогда ℵ_{(ωωω...+2)}, будет следующим несчетным после него и так далее. Ну а дальше мы можем увеличивать кардинальность кардинальности ℵ_{ω(ωω...+1)}, а потом увеличивать кардинальность кардинальности кардинальности ℵ_{ωω(ω...+1)} и так далее. Вот мы и получили кардиналы бо́льшие, чем лестница алефов и их уже можно использовать в коллапсирующей функции, но нам нужны кардиналы еще больше. Такими будут следующие неподвижные точки α↦ω_α, которые так же как и лестница бесконечности будут обладать следующим свойством (α = ω_α), но будут больше ее. И, по сути, я уже описал вам способ достижения этих неподвижных точек. Так же как ε₁ являлась второй неподвижной точкой α↦ω^α (ω^ωωω...), будучи пределом последовательности {ω^ωωω...+1, ω^{(ωωω...+1)}, ω^{ω(ωω...+1)}, ω^ωω(ω..+1), ... }, таким же аналогичным образом можно создать и вторую неподвижную точку α↦ω_α (ω_ωωω...), которая будет пределом последовательности {ω_ωωω...+1, ω_{(ωωω...+1)}, ω_{ω(ωω...+1)}, ω_{ωω(ω...+1)}, ... }.

Как и в случае с неподвижными точками бесконечной степенной башни, когда мы записывали их как нижние индексы греческой буквы эпсилон, для записи неподвижных точек лестницы алефов мы тоже могли задействовать какую-нибудь греческую букву. Но мы помним, что Функция Веблена была намного эффективнее для записи неподвижных точек, ведь в ней легко и коротко можно записать даже неподвижные точки самих неподвижных точек и так далее, рекурсируя все это до куда бо́льших масштабов, значит нам тоже нужен аналог Функция Веблена только для неподвижных точек нисходящей кардинальности, будем обозначать ее заглавной буквой греческой буквой "Ф" - фи. Давайте сразу продемонстрирую ее принцип работы по аналогии со стандартной Функцией Веблена ("φ"). Только давайте будем использовать принятый нами внутри коллапсирующей функции способ записи несчетных ординалов с использованием заглавной омеги: Ω = Ω₁ = ω₁, и в более общем случае: Ω_n = ω_n, как я и говорил эта небольшая техническая тонкость потребуется нам далее.

Дальше продвигаемся по тому же принципу, что и с ее младшей сестрой, накручиваем рекурсии в нашей новой Функции Веблена для кардинальности и у нас начнут появляться неподвижные точки все больших и больших порядков. Если вы подзабыли как мы это делали ранее еще раз вернитесь к таблице №18 в третей части. После того как число основных неподвижных точек станет бесконечным, можно вводить матричный вид Шутте и накручивать рекурсии уже на учете основных неподвижных точек самой функции. В общем с принципами и определениями разобрались, нам осталось только модифицировать Функцию Бухольца, добавив в нее принципы Веблена, и записать формальное определение:

Такое усиление коллапсирующей ординальной функции позволит нам достигнуть пределов некоторых подсистем арифметики второго порядка. Первая будет П¹₁-TR, такой что работает с всевозможными П₁-формулами (содержащими только квантор "∀" - для каждого) определенными на множествах натуральных чисел, в которых аксиома индукции сформулирована в полном виде для второго порядка (вместо понятия "суждения о числе", она использует понятие "принадлежность числа к множеству") и применима не только к натуральным числам, но и к трансфинитным ординалам. Хотя стоит признаться, что для достижения PTO П¹₁-TR введение усиления коллапсирующей функции особенно то не требовалось, поскольку ее PTO равен ψ(Ω_ΩΩΩ...×ε₀) = ψ(Ф(1,0)×ε₀). А вот предел следующих подсистем уже не выразишь без нашего усиления, так PTO Δ¹₂-TR₀ = ψ(Ф(ω,0)), а PTO Δ¹₂-TR = ψ(Ф(ε₀,0)). Начиная с этого момента, я уже не буду подробно расшифровывать, что обозначают такие записи аксиоматических подсистем арифметики второго порядка, если чтение подобных обозначений все еще вызывает у вас трудность, вернитесь к началу четвертой части и еще раз его прочитайте, и обязательно обратите внимание на таблицу №21. Ну а если вы уже хорошо понимаете о чем идет речь и даже научились ориентироваться в неподвижных точках нисходящей кардинальности, то давайте разберем как поэтапно добраться до этих пределов. Для этого нам нужно пройти через коллапсирование всех конечных неподвижных точек α↦ω_α, до уровня ψ(Ф(1,ω)) = ψ(sup(Ф(1,n))|n<ω), затем пройти через коллапсирование всех счетных трансфинитно-ординальных неподвижных точек, максимально конструируемый предел которых α↦ψ(Ф(1,α)) = ψ(Ф(1,ψ(Ф(1,ψ(Ф(1,...)))))) мы диагонализируем так ψ(Ф(1,Ω)) = ψ(Ф(1,Ф(1))) - с использованием первой несчетной неподвижной точки α↦ω_α, затем наращиваем коллапсирование с увеличением кардинальной несчетной неподвижной точки, по принципу: ψ(Ф(1,α↦ψ₁(Ф(1,α)))) = ψ(Ф(1,ψ₁(Ф(1,ψ₁(Ф(1,...)))))) = ψ(Ф(1,Ω₂)) = ψ(Ф(1,Ф(2))), или для предельных ординалов - по принципу: ψ(sup(Ф(1,Ω_n))|n<ω) = ψ(Ф(1,Ω_ω)) = ψ(Ф(1,Ф(ω))). Тогда ψ(Ф(2,0)) = ψ(α↦Ф(1,α)) = ψ(Ф(1,Ф(1,Ф(1,...)))) - будет диагонализацией кардинальности несчетных неподвижных точек α↦ω_α, ну дальше легко можно получить и ψ(Ф(ω,0)), и ψ(Ф(ε₀,0)), и даже пойти дальше, диагонализируя α↦ψ(Ф(1,α)) = ψ(Ф(ψ(Ф(ψ(Ф(...,0)),0)),0)) следующим образом ψ(Ф(Ω,1)) = ψ(Ф(Ф(1),1)), после чего гигантским прыжком мы достигнем ψ(Ф(1,0,0)) = ψ(α↦Ф(α,0)) = ψ(Ф(Ф(Ф(...,0),0),0)). Я полагаю, что на этом моменте уже большинство читателей уловило сходство с прежней Функцией Веблена, и интуитивно мысленно смогут продолжить дальнейшие рекурсии.

Некоторые, особенно те кто внимательно читали прошлые части, могут заметить, что мы пытаемся усилить Иерархию Бахмана, основанную на принципах коллапсирования, более слабой по сравнению с ней Иерархией Веблена, основанной на массивном рекурсировании неподвижных точек. И их замечание будет совершенно справедливо, усиление описанное в приложении №22, хоть и весьма наглядное, но все же использует недостаточно сильный принцип, даже я бы сказал слабый по сравнению с идеей коллапсирования. Значит чтобы еще сильнее усилить функцию Бухольца, нам нужно что-то коллапсировать, чтобы создать Иерархию Бахмана на неподвижных точках нисходящей кардинальности. И так же, как для создания рекурсий на счетных ординалах нам было необходимо коллапсировать нечто, что было бы больше любого счетного ординала, и мы взяли для этих целей несчетный ординал, так же и для получения рекурсий на нисходящей кардинальности нам нужен такой кардинал, который будет больше любой возможной неподвижной точки лестницы алефов, и хорошо, что такой в теории множеств имеется, он как раз первый кто по-настоящему имеет право носить титул "Большой кардинал (Large cardinal)".

Но перед тем как погружаться в Большие кардиналы, давайте разберем, что означают определения - очередной (successor), предельный (limit) и регулярный (regular) кардинал. Иногда я их уже упоминал ранее или приводил в формальных определениях, но теперь для понимания Больших кардиналов мы должны разобрать эти понятия детальнее. На самом деле тут нет ничего сложного, и понятие очередной (successor) и предельный (limit) кардинал, определяются по аналогии с ординалами. А мы с вами еще во второй главе выяснили, чем предельные (limit) ординалы отличаются от очередных (successor) ординалов. Давайте еще раз быстро вспомним это. Очередной ординал (Successor ordinal) - это такой ординал, который может быть образован только операцией следования: n+1. Вот примеры очередных ординалов: 1, 2, 3, 4, 5, ..., ω+1, ω+2, ω+3, ..., ω×2+1, ..., ω×3+1, ..., ω^ω+1, ..., ω^ωω+1, ..., ε₀+1, ..., и т.д. Как вы можете заметить, все натуральные числа кроме нуля являются очередными ординалами, а так же очередными являются все трансфинитные ординалы, которые можно представить в виде "...+n", где n - натуральное число больше нуля. В соответствии с ординальной арифметикой для всех очередных ординалов выполняется следующее правило: x-1 = y → x > y, где x - очередной ординал. В свою очередь, Предельный ординал (Limit ordinal) - это такой ординал, который может быть образован, только как предел бесконечной последовательности ординалов, и не существует конкретного очередного ординала предшествующего ему. Получается, что в соответствии с ординальной арифметикой, предельные ординалы это такие ординалы, для которых x-n = x, где x - предельный ординал, n - натуральное число больше нуля. Стоит немного нагляднее объяснить почему операция вычитания натуральных чисел из предельного ординала не дает никакого результата. Давайте вспомним рисунок, где ω изображена как отрезок следующий за бесконечным рядом уменьшающихся отрезков, и попробуем представить, что могла бы обозначать операция ω-1. Поскольку нет последнего отрезка в бесконечной череде предшествующей ω, то мы могли бы дорисовать его перед ω, но тогда именно он бы стал первым отрезком после бесконечного ряда, то есть стал тем самым ω, следовательно ω-1 = ω. Эта же логика применима к любому числу отрезков, которые мы можем нарисовать перед ω, значит ω-n = ω, и это будет справедливо для любого предельного ординала. Ниже приведены некоторые предельные ординалы (выделены жирным) и бесконечные последовательности, которые их создают:
0, 1, 2, 3, ..., ω
ω+1, ω+2, ω+3, ..., ω×2
ω×2+1, ω×2+2, ω×2+3, ..., ω×3
ω×1, ω×2, ω×3, ..., ω²
ω¹, ω², ω³, ..., ω^ω
ω^ω×1, ω^ω×2, ω^ω×3, ..., ω^ω+1
ω^ω+1, ω^ω+2, ω^ω+3, ..., ω^ω×2
ω^ω×1, ω^ω×2, ω^ω×3, ..., ω^ω2
ω^ω1, ω^ω2, ω^ω3, ..., ω^ωω
ω^ω, ω^ωω, ω^ωωω, ..., ε₀
ω^ε₀+1, ω^ωε₀+1, ω^ωωε₀+1, ..., ε₁
ε_ε0 , ε_εε0 , ε_εεε0 , ..., ζ₀
и т.д.

Также хочется отметить, что некоторые последовательности сложно записать наглядным образом, мы можем описать их лишь словесно, поскольку они, например могут содержать несчетное количество элементов, так: ω₁ - является пределом последовательности всех счетных ординалов, ω₂ - является пределом последовательности всех несчетных ординалов с кардинальностью ℵ₁, а ω_ω1 - является пределом последовательности всех несчетных ординалов имеющих счетную кардинальность. С подобной классификацией ординалов мы уже неоднократно сталкивались в нашем непрекращающемся процессе рекурсирования, и вы должны помнить, что каждый ординал можно отнести либо к предельным, либо к очередным, кроме нуля, который не относится ни к одной из этих категорий, и его иногда называют начальным ординалом.

Кардиналы тоже можно классифицировать подобным образом. В соответствии с аксиомой выбора мы можем упорядочить любое множество разных кардиналов, сопоставив их с ординалами. Тогда очередной кардинал (Successor cardinal) - это такой кардинал, который в этой упорядоченности всегда следует за каким-либо конкреным кардиналом, а предельный кардинал (Limit cardinal) - это такой кардинал, который в данной упорядоченности не имеет конкретного предшественника. Тогда предельные кардиналы могут быть получены только в результате объединения некой последовательности меньших предыдущих кардиналов. Ниже приведены некоторые предельные кардиналы (выделены жирным) и бесконечные последовательности кардиналов, объединения которых их создают:
0 ∪ 1 ∪ 2 ∪ 3 ∪ ... = ℵ₀
ℵ₀ ∪ ℵ₁ ∪ ℵ₂ ∪ ℵ₃ ∪... = ℵ_ω
ℵ_ω ∪ ℵ_ω+1 ∪ ℵ_ω+2 ∪ ℵ_ω+3 ∪ ... = ℵ_ω×2
ℵ_ω ∪ ℵ_ω1 ∪ ℵ_ω2 ∪ ℵ_ω3 ∪ ... = ℵ_ωω
ℵ_ωω ∪ ℵ_ωω1 ∪ ℵ_ωω2 ∪ ℵ_ωω3 ∪ ... = ℵ_ωωω
ℵ_ω ∪ ℵ_ωω ∪ ℵ_ωωω ∪ ... = ℵ_ωωω... = Ф(1,0)
Ф(1,0) ∪ ℵ_Ф(1,0)+1 ∪ ℵ_ωФ(1,0)+1 ∪ ℵ_{ωωФ(1,0)+1} ∪ ... = ℵ_{ωωω...Ф(1,0)+1} = Ф(1,1)
Ф(1,0) ∪ Ф(1,1) ∪ Ф(1,2) ∪ ... = Ф(1,ω)
и т.д.

Отталкиваяcь от этого можно так же переопределить понятие очередного кардинала - это такой кардинал, который нельзя представить в виде объединения некой бесконечной последовательности предыдущих кардиналов, то есть если кардинал не является предельным, значит он очередной (либо начальный - ноль, так же может выступать в качестве кардинала). На основе этого можно еще точнее определить какие кардиналы являются очередными, ну прежде всего - это все конечные числа, начиная с единицы, а так же все трансфинитные кардиналы, кардинальность которых является очередным ординалом: 1, 2, 3, ... ℵ₁, ℵ₂, ℵ₃, ..., ℵ_ω+1, ... ℵ_ε0+1, ..., ℵ_ω1+1 ..., ℵ_{(ωωω...+1)}, ..., и т.д. В некоторых случаях может возникнуть путаница, и чтобы ее не было давайте разберем эти случаи, так например, первый несчетный ординал - ω₁ - является предельным, поскольку он предел последовательности всех возможных счетных ординалов. А вот кардинал соответствующий ему |ω₁| = ℵ₁ - является очередным, потому что не существует такой последовательности кардиналов, объединив которую мы бы смогли его получить, а еще ему предшествует ℵ₀. В то же самое время: ℵ_ω1 - это уже предельный кардинал, потому что во-первых его кардинальность - это предельный ординал, а во-вторых он является объединением последовательности кардиналов со всевозможной счетной кардинальностью.

Теперь давайте выясним, что означают понятия: регулярный ординал и регулярный кардинал. Но для начала разберем еще одно важное свойство ординалов, называемое конфинальностью. Строго формально конфинальность определяется следующим образом: cf(A) = min(x) →∀a∈A∃f(x)≥a. Конечно же к этой формуле нужны пояснения. На словах это звучит так, конфинальностью некого ординала A называют такой минимальный ординал, на основе которого можно создать функцию, позволяющую получить другой ординал, который будет больше или равен любому из элементов входящих в ординал A. Или если совсем коротко и упрощенно (плюс с некими оговорками), то конфинальность ординала - это некий минимальный ординал необходимый для создания этого данного ординала. Если и после словесного определения ясности в понимании не добавилось, давайте разберем на примерах. Начнем с конечных ординалов: cf(0) = 0 - тут вроде все понятно, минимальный ординал из которого можно получить ноль это сам ноль; cf(1) = 1 - здесь тоже не должно возникнуть недопонимания, поскольку минимальный ординал из которого можно получить единицу это тоже сама единица, ибо как ни крути, но из ноля единицу не сделаешь, и тогда обобщим для всех конечных чисел: cf(n) = 1, где n - любое натуральное число больше нуля - тут тоже нет никаких сложностей, ведь всегда можно придумать функцию, которая из единицы создаст любое нужное нам натуральное число.

А вот с трансфинитными ординалами все не вполне очевидно, так cf(ω) = ω. Чтобы разобраться почему так вышло, давайте еще раз вспомним что такое функция. Функция - это зависимость между множествами, когда каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества. Так вот, как ни старайся нельзя создать такую функцию, чтобы конечному числу сопоставлялось ω, поскольку функция определенная на конечном натуральном числе всегда дает конечное натуральное число, поэтому то нам и нужна аксиома бесконечности, чтобы ввести ω и начать работать с трансфинитными числами. Вы можете спросить, а как же функция бесконечной суммы неких натуральных чисел больших нуля, в результате которой мы и получаем ℵ₀ = |ω|. Конечно функция бесконечной суммы задана на натуральных числах, но вслушайтесь в название функции: "бесконечная сумма" - для ее определения кроме натуральных чисел нужна бесконечность, то есть как минимум нам требуется ординал ω.

Однако дальше происходит странная на первый взгляд ситуация cf(ω+1) = 1. С одной стороны |ω+1| = ℵ₀, и кажется что для получения этого ординала нужна бесконечность, ведь количественно он бесконечен. Но в определении конфинальности говориться о минимальном ординале, на основе которого можно создать функцию, определенную на данном (у которого измеряется конфинальность), и нас не должна волновать количественная величина исходного ординала, конфинальность совсем не про это. Понятие конфинальности не связано с понятием кардинальности и не зависит от него, конфинальность изучает не количественные характеристики, она изучает ординальные последовательности. Тогда давайте переопределим понятие конфинальности в терминах последовательностей. Итак все ординалы бо́льшие нуля - это упорядоченные множества, последовательно созданные на основе друг друга, или их можно определить как предел последовательности начинающиейся с нуля и не пропускающей ни одно число. Ноль же это пустая последовательность, сложно говорить что это конечная последовательность, потому что она даже не началась, поэтому его и относят к особому статусу начального ординала. Ноль вводится аксиоматически и отождествляется с пустым множество 0 = ø = {}. Дальше, используя аксиому объединения и аксиому пары, мы начинаем конструировать новые ординалы 1 = {ø} = {0} - последовательность из одного элемента; 2 = {0,1} = {ø,{ø}} - последовательность из двух элементов; 3 = {0,1,2} = {ø,{ø},{ø,{ø}}} - последовательность из трех элементов; и т.д. Это все конечные последовательности, поскольку у них есть последний элемент. За основу всех этих констркуций берется пустое множество - единственный аксиоматически провозглашенный элемент, поэтому и конфинальность всех натуральных чисел бо́льших нуля равна единице.

В свою очередь, ω - это бесконечный предел всех таких преобразований и мы не можем записать его конечным способом, он вводится только как аксиома. То есть аксиома бесконечности явно утверждает, что бесконечность натуральных чисел существует N = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,... И раз это существует, мы так же можем об этом подумать, сформировав множество: ω = {N}, и по определению это будет бесконечная последовательность: ω = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}. А вот ω+1 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...,ω} - это конечная последовательность, да она содержит бесконечное количество элементов и следовательно является количественно бесконечной, но вот как последовательность имеет последний элемент, и следовательно конечна. Ну вроде логично, скажете вы, но почему ее конфинальность равна единице. Дело в том, что используя аксиому бесконечности, мы можем определить ω+1 как {N,{N}}, соответственно ω+2 = {N,{N},{N,{N}}}; и т.д. Думаю вы заметили, что все происходит похожим образом, как это было с конечными ординалами, то есть все функции заданные на ω+n ведут себя аналогично функциям заданным на n. Для создания любых натуральных чисел больше нуля нам требовался всего один элемент - пустое множество, так же и для создания любых ординалов ω+n (где n > 0) нам тоже нужем всего лишь один элемент - бесконечное множество натуральных чисел. И вообще не имеет значения, что мы наделяем множество натуральных чисел свойством бесконечности, как элемент для дальнейшего констурирования - это единица. И всегда когда в последовательности есть последний элемент, то мы можем упростисть полный вид ординальной последовательности придумав некий значек (в данном случае N) для предшествующей бесконечности, и это и будет наш единственный нужный нам элемент для записи этой последовательности. Вот мы и выяснили почему cf(ω+n) = 1, где n - любое натуральное число больше нуля. Более того, получается, что любой очередной ординал представляет собой последовательность, у которой есть последний элемент, и всегда имеет конфинальность равную единице.

Все предельные ординалы это последовательности не имеющие последнего элемента, и чтобы упростить их запись мы можем разве что переписать их исходную ординальную последователььность, так чтобы остались только основные шаги, позволяющие достичь ординала, а промежуточные можно опустить, например ω² = {0,1,2,...,ω,ω+1,ω+2,...,ω×2,ω×2+1,ω×2+2,...ω×3,ω×3+1,ω×3+2,...} = sup(ω×0,ω×1,ω×2,ω×3,...,n,...)_n<ω. Тогда получается, что конфинальность предельных ординалов всегда будет равна пределу длины минимально возможной последовательности, в виде которой можно выразить данный ординал. К примеру, все последовательности, которые я приводил выше, когда показывал как образуются предельные ординалы, имеют бесконечную длину (предел равный ω), следовательно конфинальность этих предельных ординалов тоже равна ω. Теперь мы можем дать более понятное формальное определение конфинальности ординала.
cf(0) = 0
cf(α) = 1, где α - очередной ординал
cf(α) = min(β), где α - предельный ординал, α = sup(x₁,x₂,x₃,x₄,...,x_n,...)_n<β
cf(cf(α)) = cf(α)

Интересен тот факт, что все счетные ординалы больше нуля будут иметь конфинальность либо 1, если они очередные, либо ω, если они предельные. Ситуация измениться только для несчетных ординалов, но и здесь все подчиняется той же логике: cf(ω₁) = ω₁, поскольку никакая функция определенная на счетном ординале не даст несчетный ординал, и чтобы получить несчетный ординал нам нужно создать последовательность из всех счетных ординалов, а их множество, как мы помним, упорядочивается ω₁ и следовательно является несчетным, поэтому и длина последовательности из всех счетных ординалов должна быть несчетной и равной как минимум ω₁. Доказательство этого можно строить и от обратного, поскольку никакое несчетное множество нельзя представить как объединение счетной последовательности счетных подмножеств, то ординал ω₁ не может иметь конфинальность меньшую чем ω₁. Для ординала ω₂ мы тоже имеем соотношение: cf(ω₂) = ω₂, потому что его можно представить только как последовательность из элементов, длина которой будет колличественно равна ℵ₂. Но все же, я надеюсь, вы усвоили, что кардинальность ординала не равна конфинальности ординала, поскольку они определяеются по-разному. Разницу можно заменить на следующих примерах: |ω₂+1| = ℵ₂, |ω₂+ω| = ℵ₂, |ω₁+ω₂| = ℵ₂, |ω₂×2| = ℵ₂, однако, cf(ω₂+1) = 1, cf(ω₂+ω) = ω, cf(ω₂+ω₁) = ω₁, cf(ω₂×2) = ω₂. Потому что для любого предельного ординала справедливо правило о том, что если его можно выразить в виде последовательности, длина которой количественно меньше величины самого ординала, то соответственно и конфинальность, будучи равной этой длине, будет меньше его кардинальности. Для того чтобы еще раз закрепить полученные знания, приведу ниже еще ряд подробных примеров демонстрирующих это правило.
cf(ω) = ω, т.к. ω = sup(0,1,2,3,4,...,n,...)_n<ω
cf(ω+1) = 1, т.к. ω+1 = {0,1,...,n<ω,...,ω} - есть последний элемент
cf(ω×2) = ω, т.к. ω×2 = sup(ω+1,ω+2,ω+3,...,ω+n,...)_n<ω
cf(ω²) = ω, т.к. ω² = sup(ω×1,ω×2,ω×3,...,ω×n,...)_n<ω
cf(ω^ω) = ω, т.к. ω^ω = sup(ω¹,ω²,ω³,...,ωⁿ,...)_n<ω
cf(ω₁) = ω₁, т.к. ω₁ = sup(0,1,2,3,4,...,ω,ω+1,...ω×2,...,ω²,...,ω^ω,...,n,...)_n<ω1
cf(ω₁+1) = 1, т.к. ω₁+1 = {0,1,...,n<ω₁,...,ω₁) - есть последний элемент
cf(ω₁+ω) = ω, т.к. ω₁+ω = sup(ω₁+1,ω₁+2,ω₁+3,...,ω₁+n,...)_n<ω
cf(ω₁×2) = ω₁, т.к. ω₁×2 = sup(ω₁+1,ω₁+2,...,ω₁+ω,...ω₁+ω×2,...,ω₁+ω²,...,ω₁+ω^ω,...,ω₁+n,...)_n<ω1
cf(ω₁×ω) = ω, т.к. ω₁×ω = sup(ω₁×1,ω₁×2,ω₁×3,...,ω₁×n,...)_n<ω
cf(ω₁²) = ω₁, т.к. ω₁² = sup(ω₁×1,ω₁×2,...,ω₁×ω,...ω₁×(ω×2),...,ω₁×ω²,...,ω₁×ω^ω,...,ω₁×n,...)_n<ω1
cf(ω₁^ω) = ω, т.к. ω₁^ω = sup(ω₁¹,ω₁²,ω₁³,...,ω₁ⁿ,...)_n<ω
cf(ω₁^ω₁) = ω₁, т.к. ω₁^ω₁ = sup(ω₁¹,ω₁²,ω₁³,...,ω₁^ω,...,ω₁^ω+1,...,ω₁^ω×2,...,ω₁^ω2,...,ω₁^ωω,...,ω₁ⁿ,...)_n<ω1
cf(ω₂) = ω₂, т.к. ω₂ = sup(0,1,...,ω,...ω×2,...,ω²,...,ω^ω,...,ω₁,...,ω₁+ω,...,ω₁×2,...,ω₁×ω,...,ω₁²,...,ω₁^ω,...,ω₁^ω₁,...,n,...)_n<ω2

Если и на этом моменте вы все еще до конца не усвоили, что означает конфинальность, тогда давайте я дам вам еще один интуитивный пример, который в игровой форме покажет вам ее основной принцип, а за одно разъяснит само название этого термина. Итак, давайте поиграем в игру, правила следующиее: 1) Вам надо совершить как можно меньше шагов, чтобы получить ординал, конфинальность которого мы проверяем. 2) Перед тем как совершить шаг вы можете соврешить прыжок, который не считается шагом, любого размера на любой ординал, меньший чем достигаемый. 3) Шаги могут быть любого размера, но обязательно меньшие по размеру чем достигаемый ординал. 4) Если мы совершаем шаг длиной равный достигаемому ординалу, то считается, что мы совершили число шагов равное достигаемому ординалу. Вот и все правила, общее число совершенных шагов и будет называться конфинальностью ординала. Для начала попробуем достичь ноль и сразу же его достигнем, потому что ноль есть ноль, это старт, самое начало, мы сделали ноль шагов, следовательно конфинальность нуля равня нулю. Для достижения единицы, необходимо сделать всего один шаг равный этой самой единице. Сделать прыжок на единицу, чтобы после этого засчиталось ноль шагов, мы не можем, ведь по второму правилу прыжок можно осуществлять только на меньшие ординалы. Поэтому нам придется сделать этот один шаг, да еще и равный к тому же самому ординалу, что разрешается четвертым правилом с оговоркой что длина данного шага будет равна общему числу шагов. Ну как ни крути, конфинальность единицы получается равной единице. Продвигаемся дальше, как же необходимо поступить с двойкой. Ну тут все просто, делаем прыжок до единицы и один шаг до двойки, получаем конфинальность равную единице. Делать шаг с нуля сразу на двойку без предварительного прыжка нам не выгодно, потому что длина данного шага будет равна достигаемому ординалу и тогда нам засчитается сразу два шага, а наша задача достичь ординал минимальным числом шагов. Дальше возьмем скажем десятку, и увидим, что ее можно достичь минимальным числом шагов, несколькими разными способами, приведу три: мы можем прыгнуть на 1 и сделать шаг длиной 9, или прыгнуть на 5 и сделать шаг длиной 5, или что еще лучше прыгнуть на 9 и сделать шаг длиной 1. В любом случае, мы сделали всего один шаг непротиворечащий правилам. Последнюю тактику можно применять при достижении любого конечного числа, прыгаем на предыдущее и делаем один шаг, это и показывает нам, что конфинальность любого конечного числа большего нуля равна единице. Так же это наглядно объясняет нам наименование самого термина: "конфинальность", что приблизительно можно трактовать как "что происходит непосредственно у финала". Однако давайте теперь разберемся как можно наименьшим числом шагов достичь ω. Первая проблема, с которой мы столкнемся, заключается в том, что у ω нет никакого "у финала", нет такого числа, которое бы находилось непосредственно перед ω. Более того, любое конечное число отдалено от ω на растояние равное ω, и не важно на 1, 100, гугол или гуголплекс я прыгну, до ω останется еще бесконечное число натуральных чисел. То есть любой шаг до ω будет длиной равной ω, значит в соответствии с четвертым правилом, длина такого шага будет равна числу шагов, вот и получается, что как не старайся, а конфинальность ω равна ω. Что касается, ω+1, то тут все проще, прыгаем на ω, что разрешено, ведь это меньше чем ω+1, и делаем один шаг. То же можно применить и к любому ω+n, где n - натуральное, или вообще к любому O+n, где O - предельный ординал, а n - натуральное, ну то есть к любому очередному ординалу. Вот и еще одно доказательство того, что конфинальность любого очередного ординала равна единице. Напоследок расмотрим несколько предельных ординалов в рамках той же самой игры. Давайте я сразу распишу их в виде последовательностей: ω² = {ω,ω×2,ω×3,...}; ω^ω = {ω,ω²,ω³,...}; ε₀ = {ω,ω^ω,ω^ωω,...}. Каждая из этих последовательностей это способ достижения этих ординалов, то есть мы в каждом из этих примеров делаем прыжок до ω, а потом совершаем шаги и число шагов равно ω, а сами шаги пусть и постоянно разного увеличивающегося размера, но при этом не противоречат правилам, ведь каждый из них меньше достигаемого ординала. Следовательно конфинальность этих предельных ординалов равна ω. Аналогично предыдущим объяснениям конфинальности, используя эту игру, мы так же придем к выводам, что cf(ω₁) = ω₁, потому что нет никакого другого способа получить первый несчетный ординал, кроме как совершением несчетного количества шагов.

Приведенная выше игра показывает, что в сущности конфинальность сама по себе всегда являтеся неким кардиналом, ну ли правильнее сказать, наименьшим ординалом соответствующим некому кардиналу, ведь мы постоянно говорили о числе шагов, то есть о количественной характеристике. Если же говорить о конфинальности кардиналов, то тут все очень просто, исходя из выявленного свойства получается, что конфинальность любого кардинала измеряется по минимальному ординалу, который соответствует ему по величине, так получаем: cf(ℵ₀) = cf(ω) = ω, cf(ℵ₁) = cf(ω₁) = ω₁, cf(ℵ₂) = cf(ω₂) = ω₂. В общем-то, и так далее, по принципу cf(ℵ_n) = ω_n, где n - любое натуральное число. Однако cf(ℵ_ω) = cf(ω_ω) = ω, так получается потому что ω_ω - это предельный ординал, который можно получить построением последовательности {ω, ω₁, ω₂, ω₃, ...}. Индексы этой последовательности пронумерованы натуральными числами, а всего их в последовательности обычное бесконечное количество, то есть каждый элемент последовательности имеет номер n < ω, значит колличественно длина последоватлеьности равна ℵ₀ и поэтому конфинальность кардинала ℵ_ω равна ω. Ну или, используя игровое определение конфинальности, можно сказать, что ℵ_ω можно достичь за ω шагов, где каждый шаг будет меньше ℵ_ω. Но для ℵ_ω+1 мы снова получаем сf(ℵ_ω+1) = cf(ω_ω+1) = ω_ω+1, поскольку минимальное необходимое для его получения действие - это создание последовательности, длина которой количественно будет равна ℵ_ω+1, и которая соответственно упорядочивается ординалом ω_ω+1.
cf(ω_ω+1) = ω_ω+1, т.к. ω_ω+1 = sup(1,2,...,ω,...ω₁,...,ω₂,...,ω_ω,...,ω_ω+ω,...,ω_ω+ω₁+ω,...,ω_ω+ω₂,...,ω_ω×2,...,n,...)_n<ωω+1

Дальше конфинальность работает по той же схеме, поэтому давайте ниже обобщим все свойства конфинальности для любых возможных кардиналов.
cf(0) = 0
cf(n) = 1, где n - натуральное число
cf(ℵ₀) = ω
cf(ℵ_α) = ω_α, где α - очередной ординал
cf(ℵ_α) = сf(α), где α - предельный ординал

Исходя из этих свойств, мы, например, можем однозначно сказать, что конфинальность всех предельных кардиналов, которые приведены несколькими абзацами выше, равна ω, поскольку они создаются в результате объединения бесконечной последовательности кардиналов, которая упорядочивается ординалом ω. Однако не все предельные кардиналы будут обладать конфинальностью равной ω, например ℵ_ω1 или ℵ_ωω+1 в соответствии с правилом cf(ℵ_n) = сf(n) будут иметь конфинальность ω₁ и ω_ω+1 соответственно. И действительно, вряд ли у вас получится подобрать бесконечную последовательность кардиналов, которые упорядочивались бы ординалом ω, так чтобы их объединение создало бы кардиналы ℵ_ω1 или ℵ_ωω+1.

Ну а теперь, зная что такое конфинальность, можно легко дать определение регулярным ординалам и регулярным кардиналам. Итак, Регулярный ординал (Regular ordinal) это такой кардинал, конфинальность которого равна ему самому cf(α) = α. В свою очередь регулярный кардинал, это кардинал кардинальность которого равна минимальному ординалу имеющему ту же кардинальность: cf(|α|) = |α|. Получается, что конечные регулярные кардиналы (или ординалы) это только 0 и 1. А трансфинитными регулярными кардиналами будут ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂, ..., ℵ_ω+1, ℵ_ω+2, ..., и т.д. Тогда трансфинитными регулярными ординалами будут минимальные ординалы соответствующие регулярным кардиналам по своей кардинальности, примеры: |ω| = ℵ₀, |ω₁| = ℵ₁, |ω₂| = ℵ₂, ... |ω_ω+1| = ℵ_ω+1, |ω_ω+2| = ℵ_ω+2, ... и т.д. Тут можно проследить интересную закономерность, которая однако выполняется только, если мы придерживаемся аксиомы выбора (в соответствии с которой любое множество может быть вполне упорядочено, в том числе множество кардиналов, и это очень важно для данного правила). В соответствии с аксиомой выбора получается, что каждый очередной трансфинитный кардинал обязательно является регулярным кардиналом. Однако стоит помнить, что обратное утверждение о том, что если трансфинитный кардинал не является очередным, следовательно он и не является регулярным, неверно. В этом можно убедиться на примере кардинала ℵ₀ - это кардинал являющийся регулярным и предельным одновременно, но как мы увидим далее, он не единственный, который может таковым являться.

Еще давайте вспомним, что такое Бет-кардиналы и проверим как все это работает для них. Итак ב₀ = ℵ₀ - это первый бесконечный кардинал, а ב₁ - это кардинал соответствующий континууму или что тоже самое множеству всех точек на линии, или множеству всех действительных чисел, его можно получить по формуле ב₁ = 2^ב₀. Как мы помним, в следствие недоказуемости континуум-гипотезы, все что мы можем про него сказать это лишь, что ב₁ ≥ ℵ₁. Тем не менее для всех бет-кардиналов установлена однозначная арифметика: ב_a+1 = 2^ב_a. Но это существование этой формулы совсем не означает, что конфинальность ב₁ будет меньше его по величине, ведь формула "2ⁿ" задана на кардиналах, и по прежнему нет формулы заданой на ординалах, такой чтобы могла создать ב₁ из ординалов с меньшей кардинальностью. Более строго об этом утверждает Теорема Кёнига, согласно которой cf(2^k) > |k|. Значит тогда наоборот, можно сказать, что бет-кардинал является регулярным, если он может быть получен по формуле 2ⁿ, где n - кардинал меньше его. Так же получается, что предельный бет-кардинал не является регулярным, поскольку не может быть получен по формуле 2ⁿ, но может быть образован как объдениение некой бесконечной последовательности меньших кардиналов, например: ב₀ ∪ ב₁ ∪ ב₂ ∪ ב₃ ∪... = ב_ω, а как мы помним, для определения такой функции достаточно лишь ω, ведь это обычная бесконечная последовательность с натуральными индексами, значит cf(ב_ω) = ω. Отсюда следует, что правила конфинальности для бет-кардиналов, схожи с правилами конфинальности алеф-кардиналов, значит в соотвествии с аксиомой выбора, так же получается, что ב_n - является регулярным, только если n - это не предельный ординал. Если вы уже совсем забыли, что такое континуум-гипотеза и бет-кардиналы, то подробнее про это можно почитать в конце второй части, и обратите особое внимание на приложения №6 и №7.

Ну и еще, так для справки, все трансфинитные кардиналы и ординалы, которые не являются регулярными называются сингулярными (singular). Для любого сингулярного ординала или кардинала всегда будет выполняться следующее правило cf(α) < α. Дальше я не буду пользоваться данным термином, чтобы не перегружать повествование избыточной терминологией, буду называть такие ордианлы и кардиналы просто нерегулярными. Для нерегулярного кардинала можно кстати дать еще одно определение: кардинал не является регулярным, если его можно получить объединением последовательности кардиналов, длина которой количественно меньше данного кардинала.

Итак, если вы усвоили что значит предельные и регулярные кардиналы, тогда давайте представим себе такой кардинал, который будет одновременно предельным и регулярным, но при этом большим нежели ℵ₀. Такой кардинал называют недостижимым и сейчас я объясню почему. Давайте в начале дадим ему точное определение: Недостижимый кардинал (Inaccessible cardinal) - это такой кардинал I, мощность которого равна самому кардиналу ℵ_I = I, но при этом он является регулярным (конфинальность данного кардинала равна по величине самому этому кардиналу: cf(I) = I).

Как мы знаем, уже лестница алефов (первая неподвижная точка нисходящей кардинальности) удовлетворяет первому требованию недостижимого кардинала, но ее можно представить в виде объединения последовательности предыдущих кардиналов: ℵ_ω ∪ ℵ_ωω ∪ ℵ_ωωω ∪ ... = ℵ_ωωω... = Ф(1,0), то есть такой последовательности, которая упорядочивается ординалом ω, значит конфинальность первой неподвижной точки α↦ω_α тоже будет равняться всего лишь ω, формально: сf(Ф(1,0)) = ω. Более того, любая высшая неподвижная точка так же будет соответствовать первому требованию (ℵ_α = α), но так же будет предельным кардиналом с конфинальностью по величине меньшей чем он сам, то есть не будет регулярным кардиналом. Вот вам примеры конфинальности некоторых других неподвижных точек α↦ω_α: сf(Ф(1,ω)) = ω; cf(Ф(1,Ω)) = ω₁; cf(Ф(1,Ф(1,0))) = ω; cf(Ф(2,0)) = ω; cf(Ф(Ω,0)) = ω₁. Можно даже вывести формулу, которая будет справедлива для любой неподвижной точки α↦ω_α, которую мы выражаем нашей Функцией Веблена для кардиналов: cf(Ф(x_n,...,x₁,x₀)) = cf(|ω+max(x_n)|), если ∃x_k > 0, при k > 0.

Значит, если все неподвижные точки α↦ℵ_α никогда не будут регулярными, то их свойства: ℵ_α = α и cf(α) < α, определяют их меньшими во величине, по сравнению с нашим недостижимым кардиналом I, который на основе своих свойств: ℵ_I = I и cf(I) = I, всегда оказывается больше любой мыслимой неподвижной точки α↦ℵ_α.

Однако у многих назревает законный вопрос, а откуда мы взяли этот недостижимый кардинал I, как мы его получили, и с чего мы взяли, что он существует? Да ниоткуда, мы просто так решили, что он есть - и все тут, ведь он недостижимый по определению, его нельзя достичь, значит его существование можно лишь принять как аксиому. Многие тогда могут возразить, но ведь раз он ненастоящий а выдуманный, то как мы можем его использовать. Им я напомню, что в математике вообще все является выдуманным, и слово "выдумать" в ней правомерно до тех пор пока ново-выдуманное не противоречит старо-выдуманному. Даже обычные числа люди выдумали (ввели как аксиому), ибо в природе нет ни "0", ни "1" - это абстракции. В теории множеств мы изначально отказались от чисел и вместо них выдумали пустое множество, а потом используя аксиому пары, аксиому объединения и аксиому бесконечности создали ряд конечных ординалов (натуральных чисел). И ординал |ω| = ℵ₀ - символизирующий объединение множества всех натуральных чисел, как раз и вводился аксиомой бесконечности. Мы уже так привыкли к бесконечности, что забываем, что это такая же аксиома, как и та которую мы пытаемся ввести про существование недостижимого кардинала. Нельзя показать существование бесконечности натуральных чисел, ведь она такая же недостижимая (ℵ₀ даже обладает одним из свойств недостижимого кардинала - он тоже одновременно предельный и регулярный), поэтому можно сказать, что обычную бесконечность мы тоже выдумали. Далее, используя аксиомы преобразования и выделения, мы смогли насоздавать множество зарекурсированных счетных ординалов (и сейчас продолжаем это делать). Ну а аксиома множества подмножеств позволяет нам создавать несчетные регулярные кардиналы, с растущей кардинальностью, которую так же в итоге можно зарекурсировать. Теперь настало время еще одной более сильной аксиомы - аксиомы недостижимого кардинала.

Здесь давайте еще немного поговорим о силе аксиом, я уже говорил, что под силой аксиомы мы подразумеваем то насколько большие сущности она позволяет создать - числа, рекурсии, ордианалы, кардиналы - чем они больше получаются - тем сильнее аксиома, от которой мы отталкивались при их создании. Более того, нам порой не нужно всякий раз придумывать новую аксиому, поскольку некая более сильная может покрыть их все. Например, аксиома бесконечности дает ℵ₀, и соотвественно все счетные ординалы с кардинальностью равной ℵ₀ (конечно их построение зависит от аксиом преобразования и выделения), однако она не может показать существование ℵ₁ - первого несчетного кардинала, его можно ввести только аксиоматически, так же как ℵ₂, ℵ₃, ... и т.д., это касается любого регулярного кардинала (ибо по определению не существует меньшего по величине ординала, с помощью которого его можно было бы создать). Однако, в свою очередь аксиома множества всех подмножеств дает сразу все несчетные ординалы (конечно опять же построение очень больших кардинальностей зависит от аксиом преобразования и выделения). Даже если принять, что обобщенная континуум-гипотеза неверна у нас все равно есть кардиналы ב_n, аксиома множества всех подмножеств гарантирует их существование, и следовательно исходя из соотношения ℵ_n ≤ ב_n, мы гарантировано имеем все алеф-кардиналы, поэтому без аксиомы множества всех подмножеств нельзя показать существование даже первого несчетного кардинала (ℵ₁). Теперь внимание, аксиома недостижимого кардинала позволяет отказаться от аксиомы множества всех подмножеств, поскольку та становится избыточной, ведь если существует кардинал с недостижимой кардинальностью, значит и существуют все кардиналы меньше его (поскольку этот кардинал всегда больше достижимых, следовательно их всегда можно получить, выделив в его составе).

Тут мы снова подходим к теореме Гёделя о неполноте и мечте Гильберта о единой системе аксиом для всей математики. Пусть мечта Гильберта так и осталась несбыточной, но аксиома недостижимого кардинала позволяет замкнуть эту мечту в рамках системы аксиом ZFC. Ведь по Второй теореме Гёделя о неполноте, чтобы доказать непротиворечивость некой системы аксиом включающей или выводящей бесконечность, нам необходима для такого доказательства более сильная система аксиом. Так вот для доказательства непротиворечивости меньших систем аксиом (например некоторых подсистем арифметики второго порядка) в соответствии с теоремой Гёделя мы использовали ZFC со всеми имеющимися в ее распоряжении несчетными ординалами (когда коллапсировали их, создавая PTO для этих подсистем), но для доказательства непротиворечивости ZFC нам нужна более сильная система аксиом, эта и будет система, которая включает в себя аксиому недостижимого кардинала (ZFC + Inaccessible cardinal). Без аксиомы множества всех подмножеств любой несчетный регулярный кардинал можно считать недостижимым (поскольку, по определению, он не может быть создан меньшими по величине ординалами), но в полной системе аксиом ZFC именно I будет тем кардиналом, который нельзя создать средствами этих аксиом. Вот и получается, что недостижимый кардинал, можно ввести в ZFC только аксиоматически, и именно эта аксиома докажет непротиворечивость ZFC без недостижимого кардинала. Ну и теперь мы точно знаем как определить термин Большие кардиналы (Large cardinal) - он как раз и применяется к таким кардиналам, которые не может описать ZFC, и которые вводятся аксиоматически дополнительно к имеющимся аксиомам.

Последнее, что еще скажу про недостижимый кардинал, перед тем как мы уже приступим к созданию коллапсирующей функции на его основе, это что, к сожалению, из-за недоказуемости континуум-гипотезы мы должны разделить недостижимые кардиналы, так же как ранее разделили несчетные на алеф-кардиналы и бет-кардиналы. Недостижимый кардинал, который не учитывает континуум-гипотезу и его определение лишь такое какое мы дали ему выше - называется слабонедостижимый кардинал. А вот сильнонедостижимый кардинал должен еще соотвествовать требованию: 2^I = I, то есть он должен быть сам для себя множеством всех своих подмножеств. Ну и получается, что из-за недоказуемости континуум-гипотезы, единственное что мы можем сказать про их соотношение, это так же как по аналогии было у алеф-кардиналов и бет-кардиналов, что слабонедостижимый ≤ сильнонедостижимый. Получается, что аксиома о недостижимом кардинале утверждает о существовании именно сильнонедостижимого кардинала, ну а исходя из данного соотношения слабонедостижмый тогда тоже получается существует благодаря существованию сильнонедостижимого кардинала. И если предположить, что континуум-гипотеза верна, то тогда слабонедостижимый и сильнонедостижимый это один и тот же кардинал, но в случае предположения о неправильности континуум-гипотезы может оказаться так, что слабонедостижимый будет даже меньше ב₁. Поскольку в коллапсирующих функциях мы ранее пользовались алеф-кардиналами, то предлагаю продолжить эту тенденцию и в нашей новой коллапсирующей функции задейстовать именно слабонедостижимый кардинал, и с этого момента я буду называть его просто недостижимый, чтобы не вносить лишнюю путаницу. В принципе ничто не мешает в определении коллапсирующей функции поменять все алеф-кардиналы на бет-кардиналы, а слабонедостижимый кардинал на сильнонедостижимый кардинал, все равно они обладают одинаковыми свойствами в той области, которая нам нужна для создания рекурсий на основе их коллапсирования.

Но все же нам для коллапсирующей функции нужны ординалы, а не кардиналы, и хорошо что, как я объяснял еще в конце второй части и уже много раз говорил об этом в данной части, всегда есть минимальный ординал соответствующий рассматриваемому кардиналу, это будет такой ординал, который упорядочивает множество всех ординалов идущих до него. Получается что первый недостижимый ординал (кардинальность которого равна недостижимому кардиналу) - это ординал, который упорядочивает множество всех достижимых ординалов. Он же в точности равен конфинальности недостижимого кардинала, следовательно так же является регулярным. А раз это ординал, то мы можем производить с ним элементарные арифметические операции: прибавлять к нему, умножать его и так далее, вплоть до сверхмощных арифметических рекурсий, которые мы тут уже насоздавали, таким образом, получая ординалы еще больше, то есть он более чем полностью подходит нам для коллапсирования. Этот начальный ординал, который соответствует недостижимому кардиналу будем так же обозначать заглавной буквой I, как и сам недостижимый кардинал, так что не путайтесь, и если видите в формуле арифметические операции или рекурсии над I, то знайте что речь идет об ординале.

Наконец-то после столь длительного, но необходимого отступления в теорию множеств, мы можем вернуться к коллапсированию. При коллапсировании недостижимых ординалов есть одна техническая тонкость, о которой я должен рассказать, чтобы вы понимали как далее будут создаваться рекурсии. Давайте вспомним функцию Бахмана из Приложения №21, в которой я привел уже ее расширенную версию, изначальная же функция Бахмана коллапсировала только первый несчетный кардинал и была ограничена по своей силе пределом Ординала Бахмана-Говарда ψ(ε_Ω+1), там же приводил сравнения с функцией Бухольца, чтобы показать что они работают по-разному. Это их отличие мы и должны здесь рассмотреть. Так ноль подставленный в функцию Бухольца возвращал один: ψ(0) = 1, а единица подставленная в функцию Бухольца возвращала первый трансфинитный ординал: ψ(1) = ω, и дальше работала по-принципу функции Веблена, пока не доходила до первой неподвижной точки α↦ω^α (ω^ωωω...), которую уже возвращал первый несчетный ординал подставленный в функцию ψ(Ω) = ε₀ = φ(1,0).

Так вот функция Бахмана работала иначе, она не возвращала ординалы, меньшие чем ε₀, а сразу начинала свою работу с ψ(0) = ε₀ = φ(1,0); ψ(1) = ε₁ = φ(1,1); ψ(2) = ε₂ = φ(1,2); и т.д. В своем определении она была проще, ординалы поставленные функцию возвращали соответствующие порядковые номера неподвижных точек α↦ω^α (ω^ωωω...). И так продолжалось до тех пор пока ψ(ψ(0)) = ε_ε0 = φ(1,φ(1,0)); ψ(ψ(ψ(0))) = ε_εε0 = φ(1,φ(1,φ(1,0))); ψ(ψ(ψ(ψ(0)))) = ε_εεε0 = φ(1,φ(1,φ(1,φ(1,0)))); ψ(ψ(ψ(ψ(ψ(...))))) = ε_εεε.. = φ(1,φ(1,φ(1,φ(1,...))) = ζ₀, после чего уже требовалась диагонализация, роль которой выполнял первый несчетный ординал подставленный в функцию ψ(Ω) = ζ₀ = φ(2,0). Так или иначе функция Бахмана на каких-то этапах сходилась с функцией Бухольца, например: φ(ω,0) = ψ(Ω^ω) = ψ(Ω^ω); φ(1,0,0) = ψ(Ω^Ω) = ψ(Ω^Ω); и.т.д. И обе они в целом (с учетом расширения Бахмановской) были одинаковы по силе.

Я все это так подробно объяснил, потому что при коллапсировании недостижимого кардинала подход Бухольца будет неприменим, по причине того, что арифметика ординалов и кардиналов отличается, и по его методу мы не сможем выразить все возможные кардинальности, поэтому нам потребуется подход Бахмана. Итак, давайте придумаем новую коллапсирующую функцию ψ_I(n), она аналогично функции Бахмана при подстановке в нее ординалов будет возвращать порядковые номера неподвижных точек только уже для α↦ω_α (ω_ωωω...). Дальше все получается очень просто и интуитивно, особенно если вы уловили суть аналогии: ψ_I(0) = Ф(1,0); ψ_I(1) = Ф(1,1); ψ_I(2) = Ф(1,2); и т.д. И точно так же мы можем добраться до ее диагонализации: ψ_I(ψ_I(0)) = Ф(1,Ф(1,0)); ψ_I(ψ_I(ψ_I(0))) = Ф(1,Ф(1,Ф(1,0))); ψ_I(ψ_I(ψ_I(ψ_I(0)))) = Ф(1,Ф(1,Ф(1,Ф(1,0)))); ψ_I(ψ_I(ψ_I(ψ_I(ψ_I(...))))) = Ф(1,Ф(1,Ф(1,Ф(1,...)))) = ψ_I(I) - которую диагонализируем с использованием нашего недостижимого ординала. Поскольку диагонализатор при коллапсировании должен быть больше чем получаемый ординал, то недостижимый ординал для этой роли будет идеальным кандидатом. Вот мы и получили более сильную Бахмановскую иерархию рекурсирования нисходящей кардинальности взамен Вебленской иерархии ("Ф"). Чтобы убедиться, что Бахмановская иерархия в данном случае так же будет сильнее, достаточно продолжить рекурсии: ψ_I(I×2) = Ф(2,1); ψ_I(I²) = Ф(3,0); ψ_I(I^ω) = Ф(ω,0); ψ_I(I^I) = Ф(1,0,0); ψ_I(I^I2) = Ф(1,0,0,0); ψ_I(I^Iω) = Ф(1,0,0,0,0,...) = Ф(¹_ω); ψ_I(I^II) = α↦Ф(¹_α) - после чего уже даже матричный вид Функции Веблена не справится с выражением рекурсий, а используя Бахмановскую Иерархию мы легко сможем продолжить их, наращивая степенную башню из недостижимого ординала внутри функции ψ_I(n). По итогам, добавив данную функцию к Функции Бухольца, мы получим более сильную коллапсирующую функцию, в которой ψ_I(n) будет выдавать несчетные ординалы с очень большой и сильно зарекурсированной кардинальностью, а Функция Бухольца будет делать из них еще более зарекурсированные счетные ординалы, которые мы, подставив в быстрорастущую иерархию, преобразуем через все фундаментальные последовательности, формируемые коллапсирующей функцией, в уже совсем невероятно зарекурсированные конечные числа. Вот такая уже сложная цепочка из рекурсий у нас получается, но это только первые шаги, дальше она будет только удлиняться и усложняться. Пока давайте остановимся и дадим формальное определение нашему новому расширению ординальной коллапсирующей функции.

Первыми кто определил подобную функцию (но все же не такую как наша) были немецкие математики Вольфрам Похлерс и Герхард Джагер. Сделали они это в 1982 году, еще до того как Бухольц создал свою функцию, с целью проанализировать подсистему Δ¹₂-CA-BI арифметики второго порядка, доказательственный ординал (PTO), которой как раз соответствовал пределу возможностей их коллапсирующей функции (но не пределу нашей функция, она сильнее), и являлся бесконечной степенной башней из недостижимых ординалов внутри функции ψ(I^III...) = ψ(^ωI), что, как вы должны помнить, по правилам ординальной арифметики можно записать так ψ(ε_I+1), о возможности такой записи я рассказывал еще в четвертой части. Этот ординал иногда называют Малым ординалом Ратъена (Small Rathjen ordinal), с деятельностью этого математика мы познакомимся далее, и пусть не он открыл этот ординал, но он, пожалуй, больше остальных посвятил себя ординальному анализу, написав больше всего работ и статей на эту тему, вероятно поэтому название ординала отсылает к нему.

Так же хочу отметить еще одну техническую тонкость этой коллапсирующей функции. После объединения определенной нами ψ_I(n) со стандартной функцией Бухольца возникает ситуация, когда функция становится не полностью аналогична Функции Бахмана. Так например, ψ(Ω) у Бахмана соответствует ζ₀ = φ(2,0), а ψ(Ω+1) в свою очередь соответствует ε_ψ(Ω)+1 = ε_ζ0+1 = φ(1,φ(2,0)+1). Но по правилам коллапсирующей функции, так же как это было для всех промежуточных подфункций Бухольца, при появлении диагонализатора высшего уровня: ψ(ψ_I(I)) функция должна записываться без всех промежуточных коллапсирующих функций, просто как ψ(I). Тогда, для того чтобы проверить что происходит дальше, можно выстроить последовательную цепочку рекурсирования: ψ(I) = ψ(Ф(2,0)); ψ(I+1) = ψ(Ф(2,0)+1); ψ(I+ψ(ψ_I(I))) = ψ(I+ψ(I)) = ψ(Ф(2,0)+ψ(Ф(2,0))); ψ(I+Ω) = ψ(I+ψ(I+ψ(I+...))) = ψ(Ф(2,0)+ψ(Ф(2,0)+ψ(Ф(2,0)+...))); ψ(I+Ω_ΩΩΩ...)    = ψ(I+ψ_I(0)) = ψ(Ф(2,0)+Ф(1,0)); ψ(I+ψ_I(I)) = ψ(Ф(2,0)+Ф(2,0)); и наконец только ψ(I+ψ_I(I+1)) будет соответствовать ψ(Ф(1,Ф(2,0)+1)). Теперь вы знаете все что необходимо об ординальной коллапсирующей функции с недостижимым кардиналом, и пора бы сравнить создаваемые ей ординалы с ординалами создаваемыми предыдущей определенной нами коллапсирующей функцией, чтобы прочувствовать уровень рекурсий и наглядно убедиться, что последняя сильнее.

Так с помощью недостижимого ординала мы доберемся до Малого ординала Ратъена ψ(ε_I+1), после чего по правилам ординальной арифметики ничто не запрещает нам наращивать рекурсии на недостижимом ординале внутри коллапсирующей функции, пусть хоть с использованием расширеной ординальной нотации Кантора: ψ(ζ_I+1), ψ(η_I+1), ..., ψ(Г_I+1), ..., или с использованием функции Веблена: ψ(φ(1,I+1)), ψ(φ(2,I+1)), ψ(φ(3,I+1)), ..., ψ(φ(1,0,I+1)), ..., но как вы понимаете нам нужны методы посерьезнее, желательно ввести Иерархию Бахмана над недостижимым ординалом. Ведь как мы помним из кардианльной арифметики: у всех ординалов I+1, I×2, I², I^I, ε_I+1, и т.д. - одинаковая кардинальность равная недостижимому кардиналу. Однако, чтобы диагонализировать рекурсии над ординалами с недостижимой кардинальностью, нам нужен ординал с кардинальностью еще больше. А разве может существовать кардинальность больше недостижимой? И на этом моменте внимательный читатель должен уверенно ответить: "может", особенно если вспомнит, к чему призывает аксиома бесконечности - ее основной посыл в том, что в математике не может существовать такой вещи, которую можно было бы назвать самый большой. Поэтому недостижимый кардинал - пусть и большой, но не самый большой. И мы можем придумать следующий регулярный кардинал после недостижимого, то есть это будет обычный очередной регулярный кардинал, и нисколечко не предельный (в отличие от недостижимого, который как мы помним и регулярный и предельный одновременно), запишем его так ℵ_I+1 - и определяется он очень просто - это кардинал, кардинальность которого равна ординалу I+1 (недостижимый ординал плюс один). Ну а в соответстиви с аксиомой выбора легко проверить, что он регулярный, ведь его кардинальность это очередной ординал, значит и сам он очередной кардинал и следовательно регулярный.

Вот так легко и просто мы получим бо́льший кардинал (ℵ_I+1 > I), причем не путайте его с ℵ_I - этот по определению недостижимого кардинала: ℵ_I = I, в сущности, и является просто недостижимым кардиналом. Ну а дальше думаю уже каждый выстроил в голове цепочку следующих кардиналов, начиная с ℵ_I+2 - кардинала, кардинальность которого равна ординалу I+2 (недостижимый ординал плюс два), и продолжая: ℵ_I+3 , ℵ_I+ω , ℵ_I×2 , ℵ_I² , ℵ_I^I , ℵ_εI+1, и т.д. Или даже можем определить такой кардинал: ℵ_ωI+1 - что будет значить кардинал с кардинальностью равной ординалу, кардинальность которого равна ординалу I+1 (недостижимый ординал плюс один). Тогда мы сможем выстроить уже такую последовательность: ℵ_I+1, ℵ_ωI+1 , ℵ_ωωI+1 , ..., ℵ_ωωω...I+1. Предел этой последовательности правильно следует выражать ординалом α↦ω_I+α - как мы помним такая запись значит: ω_{I+ωI+ωI+ωI+...}, что в соответствии с правилами ординальной арифметики эквивалентно ω_ωωω...I+1 (так происходит потому что бо́льший ординал в качестве второго слагаемого поглащает меньший ординал: ω_I+ωI+1 = ω_ωI+1). А дальше сможем определить всякие неподвижные точки над этой последовательностью: Ф(1,I+1) - первая неподвижная точка; Ф(1,I+2) - вторая фиксиронанная точка; ... Ф(1,I+I) - фиксиронанная точка под номером I; ... Ф(2,I+1) = α↦Ф(1,I+α) - неподвижная точка на неподвижной точке или 2-неподвижная точка; ... Ф(3,I+1) = α↦Ф(2,I+α) - неподвижная точка на неподвижной точке на неподвижной точке или 3-неподвижная точка; ... Ф(I,1) - I-неподвижная точка; ... Ф(1,0,I+1); ... Ф(¹_ω,I+1); ... и т.д. Так мы не просто введем Иерархию Бахмана над недостижимым ординалом, а целую коллапсирующую функцию Бухольца с функцией Веблена для кардинальности, типа той что приведена в приложении №23 для обычных несчетных ординалов.

Но и это еще не все, так же как обычные неподвижные точки нисходящей кардианльности мы диагонализировали недостижимым ординалом, так же и эти неподвижные точки кардиналов идущих после недостижимого мы тоже можем диганолизировать. Диагонализатором выступит следующий недостижимый кардинал: I₂ - определим его легко и просто как недостижимый для всех возможных неподвижных точек α↦ω_I+α последовательности {I, ℵ_I+1, ℵ_ωI+1 , ℵ_ωωI+1 , ..., ℵ_ωωω...I+1}, или как следующий кардинал после первого недостижимого, который является регулярным и одновременно предельным, так что для него выполняется ω_I+α = α и cf(α) = α. При определении следующего недостижимого кардинала мы пользуемся той же логикой что и для определения первого недостижимого кардинала. Для любого кардинала, являющегося неподвижной точкой α↦ω_I+α, выполняется первое требование ω_I+α = α, но так же всегда будет справедливо неравенство: cf(α) < α, то есть минимальный ординал необходимый для его создания всегда будет меньше его по величине, или, выражаясь терминами, такие кардиналы не будут регулярными. И поскольку cf(I₂) = I₂, то так же получается, что следующий недостижимый всегда будет больше любых неподвижных точек α↦ω_I+α. Конечно его существование так же аксиоматично, но тут снова можно припомнить философию аксиомы бесконечности, в соответствии с которой всегда можно определить "следующего". Однако перед тем как фантазия нарисует вам дальнейшую иерархию из следующего недостижимого за ним, и следующего за тем, и так далее, давайте здесь притормозим и ниже приведем еще одну таблицу с наглядным сравнением рекурсий, которые можно создать с использованием в коллапсирующей функции уже созданных на текущий момент "следующих" кардиналов.

Ну и как можно судить по таблице, Иерархия Бахмана снова побеждает Иерархию Веблена, думаю, вы уже перестали этому удивляться, но так или иначе на протяжении всей оставшейся части данной главы, да и всю следующую главу, мы будем наблюдать как в непрекращающейся гонке одна из этих иерархий сменяет другую. Иерархия Бахмана всегда будет выходить победителем в гонке не только как более сильная, но и как более наглядная, в чем вы могли сами убедиться, поэтому мы даже не будем формально определять коллапсирующую функцию, которая в стиле Веблена работает с неподвижными точками α↦ω_I+α, лучше сразу сформулируем функцию, коллапсирующую n-ные недостижимые кардиналы. В целом, нет ничего нового в том чем мы сейчас занимаемся, мы все так же наращиваем Иерархии Бахмана по методу Бухольца, по принципу, что коллапсирование ординалов с большей кардинальностью описывает рекурсии на ординалах с меньшей кардинальностью. Только цепочка коллапсирования становится все длиннее и сложнее, и на текущий момент мы имеем нижеследующее.

Конечное число ← фундаментальная последовательность в быстрорастущей иерархии ← счетный ординал ← коллапсирование ← несчетный ординал ←←← цепочка последовательного коллапсирования ←←← несчетный кардинал с n-ной кардинальностью ←←← цепочка рекурсивного коллапсирования ←←← несчетный кардинал с нисходящей кардинальностью ←←← цепочка рекурсивного коллапсирования ←←← неподвижные точки нисходящей кардинальности (α↦ω_α) ← коллапсирование ← недостижимый ординал ← коллапсирование ← следующий несчетный ординал после недостижимого ординала ←←← цепочка последовательного коллапсирования ←←← следующий несчетный ординал с n-ной кардинальностью после недостижимого ординала ←←← цепочка рекурсивного коллапсирования ←←← следующий несчетный ординал с нисходящей кардинальностью после недостижимого ординала ←←← цепочка рекурсивного коллапсирования ←←← следующие неподвижные точки нисходящей кардинальности после недостижимого ординала (α↦ω_I+α) ← коллапсирование ← ординал соответсвтующий второму недостижимому кардиналу ←←← ... ←←← ординал соответсвтующий n-ному недостижимый кардиналу .

Там где в этой цепи стоит многоточее мы используем ординал соответствующий третьему недостижимому кардиналу (I₃ - такой что недостижим для неподвижных точек α↦ω_I2+α, которые он и диагонализирует), затем ординал соответствующий четвертому недостижимому кардиналу (I₄ - такой что недостижим для неподвижных точек α↦ω_I3+α, которые он и диагонализирует), и так далее. И если ординалы ℵ_I+1, ℵ_ωI+1 , ℵ_ωωI+1 , ..., ℵ_ωωω...I+1, и соотвествующие им коллапсирующие подфункции уже есть в составе предыдущей рассмотренной нами коллапсирующей функции, то для работы с ординалами: I₂, I₃, I₄, ..., I_n - нужно определить новую коллапсирующую функцию.

Я не буду снова приводить большую сравнительную таблицу, выпишу лишь некоторые примеры, которые должны продемонстрировать, что коллапсирование всех преобразований с ординалами соответствующими n-ным недостижимым кардиналам будет происходить аналогично, но на более высоком рекурсивном уровне. Для начала более лаконично покажу как будет выглядеть переход от коллапсирования второго недостижимого кардинала (I₂) к коллапсированию третьего недостижимого кардинала (I₃):
ψ(Ω_I2+1) = ψ(ε_I2+1) = ψ(φ(1,I₂+1) = ψ(I₂^I₂I₂...)
ψ(Ω_I2+1×2) = ψ(ε_I2+2) = ψ(φ(1,I₂+2)
ψ(Ω_I2+1²) = ψ(ζ_I2+1) = ψ(φ(2,I₂+1)
ψ(Ω_I2+1^Ω_I2+1) = ψ(Г_I2+1) = ψ(φ(1,0,I₂+1)
ψ(Ω_I2+1^{Ω_I2+1Ω_I2+1}) = ψ(φ(¹_{φ(¹φ(¹...φ(¹I2¹0)...))})) = ψ(α↦φ(¹_I2+α))
ψ(Ω_I2+2) = ψ(ε_ΩI2+1+1) = ψ(Ω_I2+1^{Ω_I2+1Ω_I2+1...})
ψ(Ω_I2×2) = ψ(Ω_{I2+ψI2(ΩI2+ψI2(ΩI2+...))})
ψ(ψ_I3(0)) = ψ(ψ_α↦Ωα(ψ_I(ψ_α↦ΩI+α(ψ_I2(ψ_α↦ΩI2+α(ψ_I3(0)))))) = ψ(α↦Ω_I2+α) = ψ(Ω_{ΩΩ...ΩI2+1}) = ψ(Ф(1,I₂+1))
ψ(ψ_I3(1)) = ψ(Ω_{ΩΩ...ψI3(0)+1}) = ψ(Ф(1,I₂+2))
ψ(I₃) = ψ(ψ_α↦Ωα(ψ_I(ψ_α↦ΩI+α(ψ_I2(ψ_α↦ΩI2+α(ψ_I3(I₃))))))) = ψ(α↦ψ_I3(α)) = ψ(ψ_I3(ψ_I3(ψ_I3(ψ_I3(...))))) = ψ(Ф(2,I₂+1))
ψ(I₃×2) = ψ(I₃+ψ_I3(I₃+ψ_I3(I₃+...))) = ψ(Ф(2,I₂+2))
ψ(I₃²) = ψ(I₃×ψ_I3(I₃×ψ_I3(I₃×...))) = ψ(Ф(3,I₂+1))
ψ(I₃^I₃) = ψ(I₃^{ψ_I3(I₃ψ_I3(I₃ψ_I3(I₃...)))}) = ψ(Ф(1,0,I₂+1))
ψ(I₃^I₃I₃) = ψ(I₃^{I₃ψ_I3(I₃I₃ψ_I3(I₃I₃...))}) = ψ(Ф(¹_{Ф(¹Ф(¹...Ф(¹I2¹0)...))})) = ψ(α↦Ф(¹_I2+α))
ψ(Ω_I3+1) = ψ(ε_I3+1) = ψ(I₃^I₃I₃...)

А потом обобщу эту схему для n-ного недостижимого кардинала, и уж на этих примерах, я думаю, каждый поймет, как работает наша новая коллапсирующая функция. Напомню, что так же как и в случае с обычной функцией Бухольца стоит держать в голове основной принцип коллапсирования, который гласит, что чем бо́льший ординал мы помещаем внутрь коллапсирующей функции тем более зарекрусированный счетный ординал получаем на выходе. Так например, ψ(I₃+ψ_I(I₃)) < ψ(I₃+ψ_I2(I₃)), потому что в первом слагаемая часть коллапсирует до уровня обычных достижимых кардиналов, а во втором случае слагаемая часть коллапсирует до уровня достижимых кардиналов идущих после первого недостижимого. Тогда, как ни крути, получается что второй ординал будет больше. И несмотря на то что в первом случае слагаемая часть оказывается более зарекурсированной потому что проходит больше стадий коллапсирования, во втором случае слагаемая часть, хоть и с меньшей зарекурсированностью, но будет обладать большей кардинальностью. А полный получаемый ординал будет снова проходить все стадии коллапсирования, которых во втором случае в итоге будет намного больше.

ψ(Ω_In+1) = ψ(φ(1,I_n+1)) = ψ(ε_In+1) = ψ(I_n^I_nI_n...)
ψ(Ω_In+1×2) = ψ(φ(1,I_n+2))
ψ(Ω_In+1²) = ψ(φ(2,I_n+1))
ψ(Ω_In+1^Ω_In+1) = ψ(φ(1,0,I_n+1))
ψ(Ω_In+1^{Ω_In+1Ω_In+1}) = ψ(φ(¹_{φ(¹φ(¹...φ(¹In¹0)...))})) = ψ(α↦φ(¹_In+α))
ψ(Ω_In+1) = ψ(Ω_In+1^{Ω_In+1Ω_In+1...})
ψ(ψ_In+1(0)) = ψ(α↦Ω_In+α) = ψ(Ω_{ΩΩ...ΩIn+1}) = ψ(Ф(1,I_n+1))
ψ(ψ_In+1(1)) = ψ(Ω_{ΩΩ...ψIn(0)+1}) = ψ(Ф(1,I_n+2))
ψ(I_n+1) = ψ(α↦ψ_In(α)) = ψ(ψ_In(ψ_In(ψ_In(ψ_In(...))))) = ψ(Ф(2,I_n+1))
ψ(I_n+1×2) = ψ(I_n+1+ψ_In+1(I_n+1+ψ_In+1(I_n+1+...))) = ψ(Ф(2,I_n+2))
ψ(I_n+1²) = ψ(I_n+1×ψ_In+1(I_n+1×ψ_In+1(I_n+1×...))) = ψ(Ф(3,I_n+1))
ψ(I_n+1^I_n+1) = ψ(I_n+1^{ψ_In+1(I_n+1ψ_In+1(I_n+1ψ_In+1(I_n+1...)))}) = ψ(Ф(1,0,I_n+1))
ψ(I_n+1^I_n+1I_n+1) = ψ(I_n+1^{I_n+1ψ_In+1(I_n+1I_n+1ψ_In+1(I_n+1I_n+1...))}) = ψ(Ф(¹_{Ф(¹Ф(¹...Ф(¹In¹0)...))})) = ψ(α↦Ф(¹_In+α))
ψ(Ω_In+1+1) = ψ(ε_In+1+1) = ψ(I_n+1^{I_n+1I_n+1...})

А дальше, если вы хорошенько усвоили метод трансфинитной индукции, то прекрасно должны понимать, что там где есть второй недостижимый кардинал, можно определить и n-ный недостижимый кардинал, а где есть n-ный недостижымый кардинал, можно определить трансфинитный недостижимый кардинал, и далее можно определить рекурсивно-нисходящую лестницу этой трансфинитности, а потом и ее всевозможные неподвижные точки. Но давайте остановимся на нисходящей лестнице, поскольку пока только до нее определена наша текущая коллапсирующая функция.

Однако чтобы добраться до нисходящей лестницы из недостижимых кардиналов, давайте сначала разберемся с I_ω = sup(I_n)|n<ω - кардиналом, являющимся пределом для последовательности из n-ных недостижимых кардиналов. Тут есть одна важная техническая тонкость, дело в том, что I_ω - вообще-то не является недостижимым кардиналом, поскольку он не является регулярным.

Давайте разбираться почему так происходит. Когда мы говорим, что недостижимый кардинал должен являться одновременно и предельным и регулярным, мы имеем ввиду что этот кардинал - предельный, потому что он будет пределом для всех возможных достижимых кардиналов меньше него, однако его нельзя представить в виде последовательности объединения кардиналов, длина которой была бы меньше его по величине, что делает его регулярным. Как мы знаем для достижимых кардиналов можно определить множество пределов, это будут всякие неподвижные точки рекурсирования их кардинальности, но каждая такая неподвижная точка может быть создана на основе объединения какой-нибудь последовательности кардиналов, которая упорядочивается меньшим по величине ординалом, то есть регулярными они не являются. Или мы говорим, что их конфинальность: cf(α) < α, что делает их достижимыми. Напомню, что без аксиомы множества всех подмножеств любой трансфинитный регулярный кардинал (такой что cf(α) = α) тоже следовало бы считать недостижимым, ведь по определению он не может быть создан меньшим по величине ординалом. Однако поскольку аксиома множества всех подмножеств входит в состав ZFC, то в теории множеств принято считать недостижимыми только те кардиналы, которые являются одновременно регулярными и предельными (и при этом больше ℵ₀), ибо именно их невозможно создать средствами ZFC и приходится объявлять об их существовании дополнительными аксиомами.

Однако, если у нас есть аксиома недостижимого кардинала, то в соответсвии с аксиомой выбора для создания I_ω других аксиом не требуется. Мы можем создать I_ω, объединив бесконечную последовательность: I₁ ∪ I₂ ∪ I₃ ∪ ...,   предел длины, которой равен ω. Все что нам нужно для его создания это хотя бы один недостижимый кардинал, следствие аксиомы бесконечности о том, что он не может быть единственным недостижимым, ну и сама аксиома бесконечности для формирования этой бесконечной последовательности - наименьшее необходимое в этом списке - это ω. Следовательно: cf(I_ω) = ω, а раз конфинальность I_ω меньше его самого по величине, значит он нерегулярный и вполне достижимый. Поэтому недостижимым кардиналом под номером ω будет являться I_ω+1, который можно определить как недостижимый для любых неподвижных точек α↦ω_Iω+α. В принципе тут работает та же логика, что и в случае с обычными регулярными кардиналами. Поэтому и правила определения конфинальности недостижимых кардиналов из нашей нотации будут похожие: cf(I_n) = I_n, если n - очередной ординал и cf(I_n) = сf(n), если n - предельный ординал.

Тогда следующим кардиналом, который тоже нельзя назвать недостижимым, будет I_ω×2 - поскольку его так же можно получить объединив последовательность: I_ω ∪ I_ω+1 ∪ I_ω+2 ∪ I_ω+3 ∪ ... = I_ω×2, значит его конфинальность тоже cf(I_ω×2) = ω. Выходит, что недостижимым кардиналом под номером ω×2 будет уже только I_ω×2+1. Более того, получается, что все кардиналы I_α - где α - некий предельный ординал (например, I_ω² , I_ω^ω, I_ε0, и т.д.), технически не являются недостижимыми, и тогда α-ными недостижимыми кардиналами будут I_α+1. Даже кардинал I_I и ему подобные кардиналы не являются недостижимыми, а просто предельными, ведь в данном случае порядок недостижимого кардинала отмечен I, который как ординал является предельным (следовательно: cf(I_I) = сf(I) = I), потому что очередные (не предельные) ординалы это такие, которые могут быть получены операцией n+1, значит недостижимым будет только лишь I_I+1. Тем не менее, несмотря на то, что пробираясь через трансфинитные номера недостижимых кардиналов, мы будем натыкаться на такие кардиналы, которые технически не являются недостижимыми, это не значит, что они не могут выполнять свои обязанности внутри коллапсирующей функции.

Для начала продвинемся от I_ω к I_ω+1 - этот переход хоть и немного сильнее, но по своим принципам очень похож на переход от Ω_ω к Ω_ω+1, нам так же необходимо будет пройти через все предыдущие рекурсивные преобразования, основные из которых я привожу ниже:

ψ(I_ω) = ψ(sup(I_n)|n<ω) = ψ(ψ_α↦Ωα(ψ_I(ψ_α↦ΩI+α(ψ_I2(ψ_α↦ΩI2+α(ψ_I3(ψ_α↦ΩI3+α(ψ_I4(...)))))))))
ψ(I_ω+1) = ψ(I_ω)×ω
ψ(I_ω+ψ(Ω)) = ψ(I_ω+ψ_Ω1(Ω)) = ψ(I_ω+ε₀) = ψ(I_ω)×ε₀
ψ(I_ω+ψ(I_ω)) = ψ(I_ω+ψ(ψ_α↦Ωα(ψ_I(ψ_α↦ΩI+α(ψ_I2(ψ_α↦ΩI2+α(ψ_I3(ψ_α↦ΩI3+α(ψ_I4(...)))))))))) = ψ(I_ω)²
ψ(I_ω+ψ(I_ω+1)) = ψ(I_ω+ψ(I_ω)×ω) = ψ(I_ω)^ω
ψ(I_ω+ψ(I_ω+ψ(I_ω+1))) = ψ(I_ω+ψ(I_ω+ψ(I_ω)×ω)) = ψ(I_ω)^ψ(I_ω)ω
ψ(I_ω+Ω) = ψ(I_ω+ψ(I_ω+ψ(I_ω+ψ(I_ω+...)))) = ε_ψ(Iω)+1 = ψ(I_ω)^{ψ(I_ω)ψ(I_ω)...}
ψ(I_ω+ψ_I(0)) = ψ(I_ω+Ω_ΩΩΩ...)
ψ(I_ω+ψ_I(I_ω)) = ψ(I_ω+ψ_I(ψ_α↦ΩI+α(ψ_I2(ψ_α↦ΩI2+α(ψ_I3(ψ_α↦ΩI3+α(ψ_I4(...))))))))
ψ(I_ω+Ω_ψI(Iω)+1) = ψ(I_ω+ε_ψI(Iω)+1) = ψ(I+ψ_I(I_ω)^{ψ_I(I_ω)ψ_I(I_ω)...})
ψ(I_ω+ψ_I(I_ω+1)) = ψ(I_ω+Ω_{ΩΩ...ψI(Iω)+1})
ψ(I_ω+I) = ψ(I_ω+ψ_I(I_ω+ψ_I(I_ω+...)))
ψ(I_ω+ψ_ΩI+1(Ω_I+1)) = ψ(I_ω+ε_I+1) = ψ(I_ω+ I^III...)
ψ(I_ω+Ω_I+1) = ψ(I_ω+ψ_ΩI+1(I_ω+ψ_ΩI+1(I_ω+ψ_ΩI+1(I_ω+...))))
ψ(I_ω+ψ_I2(0)) = ψ(I_ω+Ω_ΩΩ...ΩI+1)
ψ(I_ω+ψ_I2(I_ω)) = ψ(I_ω+ψ_I2(ψ_α↦ΩI2+α(ψ_I3(ψ_α↦ΩI3+α(ψ_I4(...))))))
ψ(I_ω+Ω_ψI2(Iω)+1) = ψ(I_ω+ε_ψI2(Iω)+1) = ψ(I+ψ_I2(I_ω)^{ψ_I2(I_ω)ψ_I2(I_ω)...})
ψ(I_ω+ψ_I2(I_ω+1)) = ψ(I_ω+Ω_{ΩΩ...ψI2(Iω)+1})
ψ(I_ω+I₂) = ψ(I_ω+ψ_I2(I_ω+ψ_I2(I_ω+...)))
ψ(I_ω×2) = ψ(I_ω+I_ω) = ψ(I_ω+sup(I_n)|n<ω)
ψ(Ω_Iω+1) = ψ(ε_Iω+1) = ψ(I_ω^I_ωI_ω...)
ψ(ψ_Iω+1(0)) = ψ(Ω_{ΩΩ...ΩIω+1}) = ψ(Ф(1,I_ω+1))
ψ(I_ω+1) = ψ(ψ_α↦Ωα(ψ_I(ψ_α↦ΩI+α(ψ_I2(ψ_α↦ΩI2+α(ψ_I3(ψ_α↦ΩI3+α(ψ_I4(...ψ_{α↦ΩIω+α}(ψ_Iω+1(I_ω+1))...))))))))) = ψ(Ф(2,I_ω+1))

Ну а как только мы сдвинулись в трансфинитном порядке недостижимых кардиналов, дальше следует на этом порядке лишь накручивать всевозможные рекурсии, которые мы только можем себе позволить в рамках определенной нами коллапсирующей функции. И так, минуя некоторые важные преобразования, которые я приведу ниже, мы доберемся до той самой нисходящей лестницы из недостижимых кардиналов.

ψ(ψ_Iω+2(0)) = ψ(Ω_{ΩΩ...ΩIω+1+1}) = ψ(Ф(1,I_ω+1+1))
ψ(I_ω+2) = ψ(Ф(2,I_ω+1+1))
ψ(I_ω×2) = ψ(sup(I_ω+n)|n<ω)
ψ(I_ω²) = ψ(sup(I_ω×n)|n<ω)
ψ(I_ω^ω) = ψ(sup(I_ωⁿ)|n<ω)
ψ(I_ε0) = ψ(I_ψ(Ω))) = ψ(sup(I_ⁿω)|n<ω)
ψ(I_Ω) = ψ(I_{ψ(Iψ(Iψ(...)))}))
ψ(I_ψI(0)) = ψ(I_ΩΩΩ... )
ψ(I_I) = ψ(I_{ψI(IψI(IψI(...)))}))
ψ(Ω_II+1) = ψ(ε_II+1)
ψ(ψ_II+1(0)) = ψ(Ω_{ΩΩ...ΩII+1})
ψ(I_I+1) = ψ(ψ_II+1(ψ_II+1(ψ_II+1(...))))
ψ(ψ_II+2(0)) = ψ(Ω_{ΩΩ...ΩII+1+1})
ψ(I_I+2) = ψ(ψ_II+2(ψ_II+2(ψ_II+2(...))))
ψ(I_{ψΩI+1(ΩI+1)}) = ψ(I_εI+1)
ψ(I_ΩI+1) = ψ(I_{ψΩI+1(IψΩI+1(IψΩI+1(...)))})
ψ(I_ΩI+1²) = ψ(I_ζI+1)
ψ(I_ΩI+2) = ψ(I_εΩI+1+1)
ψ(I_ψI2(0)) = ψ(I_ΩΩ...ΩI+1)
ψ(I_I2) = ψ(I_{ψI2(IψI2(IψI2(...)))}))
ψ(I_I3) = ψ(I_{ψI3(IψI3(IψI3(...)))}))
ψ(I_Iω) = ψ(sup(I_In)|n<ω)
ψ(I_III...) = ψ(α↦I_α)

Теперь, как я и говорил, следует притормозить и сравнить те рекурсии, которые заключены в счетных ординалах созданных нами при помощью коллапсирования, с рекурсиями массивной нотации. Последнее расширение массивной нотации, на котором мы остановились, называлось Первично нисходящей массивной нотацией и коллапсирующая функция Бухольца работающая на α-ных несчетных кардиналах не могла сравниться с ней по силе, но даже последняя определенная нами коллапсирующая функция работающая уже на α-ных недостижимых кардиналах не сможет достичь предела этого расширения массивной нотации. Давайте проверим на примерах, действительно ли так силен метод конечно-последовательного сбрасывания массивов, который определил Hypcos в своем расширении нотации, что создает рекурсии сильнее чем мы уже успели накрутить в этой части. Поскольку мы все еще работаем с расширением массивной нотации, которое я в предыдущей части уже подробно разобрал, то без лишних пояснений, сразу привожу сравнительные примеры (процессы сбрасывания массивов так же выделены жирным шрифтом).

ψ(ψ_I(0)) ~~ {n,n(1,,1,,2)2} = {n,n(1,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0))+1 ~~ {n,n(2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0))×2 ~~ {n,n(1(1(1,,1(1,,1,,2)2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)+1) ~~ {n,n(1(1(1,,1(1,,1,,2)2)2)1,2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)+ψ(Ω)) ~~ {n,n(1(1(1,,1(1,,1,,2)2)2)1(1(1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)+ψ(ψ_I(0))) ~~ {n,n(1(1(1,,1(1,,1,,2)2)2)1(1(1,,1(1,,1,,2)2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)+ψ(ψ_I(0)+1)) ~~ {n,n(1(1(2,,1(1,,1,,2)2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)+ψ(ψ_I(0)+ψ(ψ_I(0)+1))) ~~ {n,n(1(1(1(1(1,,1(1,,1,,2)2)2)1,2,,1(1,,1,,2)2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)+ψ(ψ_I(0)+ψ(ψ_I(0)+ψ(ψ_I(0)+1)))) ~~ {n,n(1(1(1(1(2,,1(1,,1,,2)2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)+Ω) ~~ {n,n(1(1,,2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)+Ω₂) ~~ {n,n(1(1,,3)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)+Ω_ω) ~~ {n,n(1(1,,1,2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)+Ω_ω+1) ~~ {n,n(1(1,,2,2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)+Ω_Ω) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)+Ω_Ω+1) ~~ {n,n(1(1,,2(1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)+Ω_Ωω) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)+Ω_ΩΩω) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1(1,,1,2)2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)×2) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)×3) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)2)3,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)×ω) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)2)1,2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)×Ω) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)2)1(1,,2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)²) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)2)1(1,,1(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)³) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)2)1(1,,1(1,,1,,2)2)1(1,,1(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)^ω) ~~ {n,n(1(2,,1(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)^Ω) ~~ {n,n(1(1(1,,2)2,,1(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(0)^ψ_I(0)) ~~ {n,n(1(1(1,,1(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)+1) ~~ {n,n(1,,2(1,,1,,2)2)2} = {n,n(1(1,,2(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)+1+Ω_ω) ~~ {n,n(1(1,,1,2)2(1,,2(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)+1+ψ_I(0)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)2)2(1,,2(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)+1+ψ_ΩψI(0)+1(Ω_ψI(0)+1)) ~~ {n,n(1(1(1,,2(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2(1,,2(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)+1×2) ~~ {n,n(1(1,,2(1,,1,,2)2)3,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)+1²) ~~ {n,n(1(1,,2(1,,1,,2)2)1(1,,2(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)+1^Ω_ψI(0)+1) ~~ {n,n(1(1(1,,2(1,,1,,2)2)2,,2(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)+2) ~~ {n,n(1,,3(1,,1,,2)2)2} = {n,n(1(1(1,,3(1,,1,,2)2)2,,2(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)+ω) ~~ {n,n(1,,1,2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)+ω+1) ~~ {n,n(1,,2,2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)+Ω) ~~ {n,n(1,,1(1,,2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)+Ω+1) ~~ {n,n(1,,2(1,,2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)+Ωω) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_{ψI(0)+Ωω+1}) ~~ {n,n(1,,2(1,,1,2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)×2+1) ~~ {n,n(1,,2(1,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)×3) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,2)2)3(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)×ω) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,2)2)1,2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)×Ω) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,2)2)1'2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)²) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,2)2)1(1,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)^ω) ~~ {n,n(1,,1(2,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ψI(0)^Ω) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,2)2,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_{ψI(0)^ψI(0)}) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_{ψΩψI(0)+1(ΩψI(0)+1)}) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,2(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_{ψΩψI(0)+1(ΩψI(0)+2)}) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,3(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_{ψΩψI(0)+1(ΩψI(0)+ω)}) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,2(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_{ψΩψI(0)+1(ΩψI(0)+Ω)}) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1(1,,2)2(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_{ψΩψI(0)+1(ΩψI(0)×2)}) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1(1,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_{ψΩψI(0)+1(ΩψI(0)²)}) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1(1,,1(1,,1,,2)2)1(1,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_{ψΩψI(0)+1(ΩψI(0)^ψI(0))}) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1(1(1,,1(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_{ψΩψI(0)+1(ΩψΩψI(0)+1(ΩψI(0)+1))}) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1(1(1,,2(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ΩψI(0)+1) ~~ {n,n(1,,1(1,,2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ΩψI(0)+1+1) ~~ {n,n(1,,2(1,,2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ΩψI(0)+1+2) ~~ {n,n(1,,3(1,,2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_{ΩψI(0)+1+ω}) ~~ {n,n(1,,1,2(1,,2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_{ΩψI(0)+1+ψΩψI(0)+1(ΩΩψI(0)+1)}) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2(1,,2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_{ΩψI(0)+1×2}) ~~ {n,n(1,,1(1,,2(1,,1,,2)2)3(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_{ψΩψI(0)+2(ΩψI(0)+2)}) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,3(1,,1,,2)2)2,,2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ΩψI(0)+2) ~~ {n,n(1,,1(1,,3(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ΩψI(0)+ω) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ΩψI(0)+Ω) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,2)2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_{ΩψI(0)+Ωω}) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,2)2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ΩψI(0)×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_ΩΩψI(0)+1) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_{ΩΩψI(0)×2}) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1(1,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_{ΩΩΩψI(0)+1}) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1(1,,2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)3)2} = {n,n(1,,1(1,,1(1,,1(...)2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2} - где n-вложений
ψ(Ω_ψI(1)+1) ~~ {n,n(1,,2(1,,1,,2)3)2}
ψ(Ω_{ψI(1)+ψI(0)}) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)3)2}
ψ(Ω_ψI(1)×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,2)3)2(1,,1,,2)3)2}
ψ(Ω_ΩψI(1)+1) ~~ {n,n(1,,1(1,,2(1,,1,,2)3)2(1,,1,,2)3)2}
ψ(Ω_ΩψI(1)×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1(1,,1,,2)3)2(1,,1,,2)3)2(1,,1,,2)3)2}
ψ(ψ_I(2)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)4)2} = {n,n(1,,1(1,,1(1,,1(...)2(1,,1,,2)3)2(1,,1,,2)3)2(1,,1,,2)3)2} - где n-вложений
ψ(ψ_I(ω)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1,2)2}
ψ(ψ_I(Ω)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,2)2)2}
ψ(ψ_I(Ω₂)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,3)2)2}
ψ(ψ_I(Ω_ω)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,2)2)2}
ψ(ψ_I(Ω_ω+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,2,2)2)2}
ψ(ψ_I(ψ_I(0))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)2)2)2}
ψ(Ω_{ψI(ψI(0))+1}) ~~ {n,n(1,,2(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)2)2)2}
ψ(Ω_{ψI(ψI(0))×2}) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)2)2)2(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)2)2)2}
ψ(ψ_I(ψ_I(0)+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)2(1,,1(1,,1,,2)2)2)2}
ψ(ψ_I(ψ_I(0)×2)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)2)3)2}
ψ(ψ_I(Ω_ψI(0)+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,2(1,,1,,2)2)2)2}
ψ(ψ_I(ψ_I(1))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)3)2)2}
ψ(ψ_I(ψ_I(ψ_I(0)))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)2)2)2)2}
ψ(ψ_I(ψ_I(ψ_I(ψ_I(0))))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)2)2)2)2)2}
ψ(I) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2} = {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)1(...)2)2)2)2} - где n-вложений
ψ(I)×2 ~~ {n,n(1(1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2)2,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I+1) ~~ {n,n(1(1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2)1,2,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I+Ω) ~~ {n,n(1(1,,2)2,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I+Ω₂) ~~ {n,n(1(1,,3)2,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I+Ω₃) ~~ {n,n(1(1,,4)2,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I+Ω_ω) ~~ {n,n(1(1,,1,2)2,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I+ψ_I(0)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I+ψ_I(1)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)3)2,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I+ψ_I(ψ_I(0))) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)2)2)2,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I+ψ_I(I)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I+ψ_I(I)×2) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)3,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I+ψ_I(I)×ω) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)1,2,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I+Ω_ψI(I)+1) ~~ {n,n(1,,2(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I+Ω_ψI(I)+2) ~~ {n,n(1,,3(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I+Ω_ψI(I)+ω) ~~ {n,n(1,,1,2(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I+Ω_ψI(I)×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I+ψ_I(I+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(I+ψ_I(I+ψ_I(I))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(I+ψ_I(I+ψ_I(I+1))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)3(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(I×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)3)2} = {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)1(...)2(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2} - где n-вложений
ψ(I×ω) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)1,2)2}
ψ(I×Ω) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)1(1,,2)2)2}
ψ(I×ψ_I(0)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)2)2)2}
ψ(I×ψ_I(I)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2)2}
ψ(I²) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I³) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I^ω) ~~ {n,n(2,,1,,2)2} = {n,n(1,,1(2,,1,,2)2)2} = {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)...n-раз...2)2}
ψ(I^Ω) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^ψ_I(0)) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1(1,,1,,2)2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^ψ_I(I)) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^ψ_I(Iω)) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1(2,,1,,2)2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+1) ~~ {n,n(1(1(1,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2)1,2,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+Ω) ~~ {n,n(1(1,,2)2,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+ψ_I(0)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)2)2,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+ψ_I(I)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+ψ_I(I^I)) ~~ {n,n(1(1,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+Ω_ψI(I^I)+1) ~~ {n,n(1,,2(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+Ω_ψI(I^I)+2) ~~ {n,n(1,,3(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+Ω_ψI(I^I)+ω) ~~ {n,n(1,,1,2(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+Ω_ψI(I^I)×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+ψ_I(I^I+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)2(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+ψ_I(I^I+ψ_I(0))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)2)2(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+ψ_I(I^I+ψ_I(I))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+ψ_I(I^I+ψ_I(I^I))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+ψ_I(I^I+ψ_I(I^I+1))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+I) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+I×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)3(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+I²) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+I^ω) ~~ {n,n(1,,1(2,,1,,2)2(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+I^ψ_I(II)) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2,,1,,2)2(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+I^ψ_I(II)+1) ~~ {n,n(1,,1(2(1,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2,,1,,2)2(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I+I^ψ_I(II+1)) ~~ {n,n(1,,1(1(2,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2,,1,,2)2(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I×2) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)3)2}
ψ(I^I+1) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I^I×2) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I×3) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I×ω) ~~ {n,n(1,,1(2(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^I2) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,2)3,,1,,2)2)2}
ψ(I^Iω) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,2)1,2,,1,,2)2)2}
ψ(I^IΩ) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,2)1(1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^Iψ_I(IIω)) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,2)1(1(1,,1,,2)1,2,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^II) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^II×2) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2,,1,,2)3)2}
ψ(I^II+1) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2}
ψ(I^II×ω) ~~ {n,n(1,,1(1(2,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^III) ~~ {n,n(1,,1(1(1(1,,1,,2)2,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(I^IIII) ~~ {n,n(1,,1(1(1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1) ~~ {n,n(1,,1(1(1(...(1(1,,1,,2)2,,1,,2)...)2,,1,,2)2,,1,,2)2)2} - где n/2 вложений для четных n
ψ(Ω_I+1) ~~ {n,n(1,,1(1(1(...(1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2,,1,,2)...)2,,1,,2)2,,1,,2)2)2} - где (n-1)/2 вложений для нечетных n
ψ(Ω_I+1) ~~ {n,n(1,,2,,2)2} = {n,n(1,,1(1(1,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1+1) ~~ {n,n(1(1(1,,1(1(1,,2,,2)2,,1,,2)2)2)1,2,,1(1(1,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1+Ω) ~~ {n,n(1(1,,2)2,,1(1(1,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1+ψ_I(0)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)2)2,,1(1(1,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1+ψ_I(I)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2,,1(1(1,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1+ψ_I(Ω_I+1)) ~~ {n,n(1(1,,1(1(1,,2,,2)2,,1,,2)2)2,,1(1(1,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1+Ω_ψI(ΩI+1)+1) ~~ {n,n(1,,2(1(1,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1+ψ_I(Ω_I+1+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)2(1(1,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1+I) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2(1(1,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1+ψ_ΩI+1(Ω_I+1)) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,2,,2)2,,1,,2)3)2}
ψ(Ω_I+1+ψ_ΩI+1(Ω_I+1+1)) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,2,,2)2,,1,,2)1,2)2}
ψ(Ω_I+1+ψ_ΩI+1(Ω_I+1+I)) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,2,,2)2,,1,,2)1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2)2}
ψ(Ω_I+1+ψ_ΩI+1(Ω_I+1+ψ_ΩI+1(Ω_I+1))) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,2,,2)2,,1,,2)1(1(1,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1+ψ_ΩI+1(Ω_I+1+ψ_ΩI+1(Ω_I+1+I))) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2(1,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1+ψ_ΩI+1(Ω_I+1+ψ_ΩI+1(Ω_I+1+ψ_ΩI+1(Ω_I+1)))) ~~ {n,n(1,,1(1(1(1,,2,,2)2,,1,,2)2(1,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1×2) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,2,,2)3,,1,,2)2)2} = {n,n(1,,1(1(1(...)2(1,,2,,2)2,,1,,2)2(1,,2,,2)2,,1,,2)2)2} - где n-вложений
ψ(Ω_I+1×3) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,2,,2)4,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1×ω) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,2,,2)1,2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1×Ω) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,2,,2)1(1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1×I) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,2,,2)1(1,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1×ψ_ΩI+1(Ω_I+1)) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,2,,2)1(1(1,,2,,2)2,,1,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1²) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,2,,2)1(1,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1^ω) ~~ {n,n(2,,2,,2)2} = {n,n(1,,1(1(2,,2,,2)2,,1,,2)2)2} = {n,n(1,,1(1(1,,2,,2)1(1,,2,,2)1(1,,2,,2)...n-раз...2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1^Ω_I+1) ~~ {n,n(1,,1(1(1(1,,2,,2)2,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1^Ω_I+12) ~~ {n,n(1,,1(1(1(1,,2,,2)3,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1^Ω_I+1ω) ~~ {n,n(1,,1(1(1(1,,2,,2)1,2,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1^Ω_I+1Ω) ~~ {n,n(1,,1(1(1(1,,2,,2)1(1,,2)2,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1^Ω_I+1I) ~~ {n,n(1,,1(1(1(1,,2,,2)1(1,,1,,2)2,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+1^Ω_I+1Ω_I+1) ~~ {n,n(1,,1(1(1(1,,2,,2)1(1,,2,,2)2,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+2) ~~ {n,n(1,,3,,2)2} = {n,n(1,,1(1(1(1,,3,,2)2,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+2×2) ~~ {n,n(1,,1(1(1(1,,3,,2)3,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+2²) ~~ {n,n(1,,1(1(1(1,,3,,2)1(1,,3,,2)2,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+2^Ω_I+2) ~~ {n,n(1,,1(1(1(1(1,,3,,2)2,,3,,2)2,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+3) ~~ {n,n(1,,4,,2)2} = {n,n(1,,1(1(1(1(1,,4,,2)2,,3,,2)2,,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+ω) ~~ {n,n(1,,1,2,,2)2}
ψ(Ω_I+ω+1) ~~ {n,n(1(1(1,,1(1,,1,2,,2)2)2)1,2,,1(1,,1,2,,2)2)2}
ψ(Ω_I+ω+ψ_I(Ω_I+ω)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,2,,2)2)2,,1(1,,1,2,,2)2)2}
ψ(Ω_I+ω+Ω_{ψI(ΩI+ω)+1}) ~~ {n,n(1,,2(1,,1,2,,2)2)2}
ψ(Ω_I+ω+ψ_I(Ω_I+ω+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)2(1,,1,2,,2)2)2}
ψ(Ω_I+ω+I) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2(1,,1,2,,2)2)2}
ψ(Ω_I+ω+ψ_ΩI+1(Ω_I+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,2,,2)2(1,,1,2,,2)2)2}
ψ(Ω_I+ω+ψ_ΩI+1(Ω_I+ω)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,2,,2)3)2}
ψ(Ω_I+ω+ψ_ΩI+1(Ω_I+ω+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,2,,2)1,2)2}
ψ(Ω_I+ω+ψ_ΩI+1(Ω_I+ω+ψ_ΩI+1(Ω_I+ω))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,2,,2)1(1,,1,2,,2)2)2}
ψ(Ω_I+ω+ψ_ΩI+1(Ω_I+ω+ψ_ΩI+1(Ω_I+ω+1))) ~~ {n,n(1,,1(2,,1,2,,2)2)2}
ψ(Ω_I+ω+ψ_ΩI+1(Ω_I+ω+ψ_ΩI+1(Ω_I+ω+I))) ~~ {n,n(1(1,,1,,2)2,,1,2,,2)2}
ψ(Ω_I+ω+ψ_ΩI+1(Ω_I+ω+ψ_ΩI+1(Ω_I+ω+ψ_ΩI+1(Ω_I+ω)))) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+ω+ψ_ΩI+1(Ω_I+ω+ψ_ΩI+1(Ω_I+ω+ψ_ΩI+1(Ω_I+ω+1)))) ~~ {n,n(1,,1(2(1,,1,2,,2)2,,1,,2)2)2}
ψ(Ω_I+ω+Ω_I+1) ~~ {n,n(1(1,,2,,2)2(1,,1,2,,2)2,,1,,2)2}
ψ(Ω_I+ω+ψ_ΩI+2(Ω_I+2)) ~~ {n,n(1(1,,3,,2)2(1,,1,2,,2)2,,1,,2)2}
ψ(Ω_I+ω+ψ_ΩI+2(Ω_I+ω)) ~~ {n,n(1(1,,1,2,,2)3,,1,,2)2}
ψ(Ω_I+ω+ψ_ΩI+2(Ω_I+ω+ψ_ΩI+2(Ω_I+ω))) ~~ {n,n(1(1,,1,2,,2)1(1,,1,2,,2)2,,1,,2)2}
ψ(Ω_I+ω+ψ_ΩI+2(Ω_I+ω+ψ_ΩI+2(Ω_I+ω+1))) ~~ {n,n(1(2,,1,2,,2)2,,1,,2)2}
ψ(Ω_I+ω+ψ_ΩI+2(Ω_I+ω+ψ_ΩI+2(Ω_I+ω+Ω_I+1))) ~~ {n,n(1(1,,2,,2)2,,1,2,,2)2}
ψ(Ω_I+ω+Ω_I+2) ~~ {n,n(1(1,,3,,2)2(1,,1,2,,2)2,,1,,2)2}
ψ(Ω_I+ω+ψ_ΩI+3(Ω_I+ω+ψ_ΩI+3(Ω_I+ω+Ω_I+2))) ~~ {n,n(1(1,,3,,2)2,,1,2,,2)2}
ψ(Ω_I+ω+Ω_I+3) ~~ {n,n(1(1,,4,,2)2(1,,1,2,,2)2,,1,,2)2}
ψ(Ω_I+ω×2) ~~ {n,n(1(1,,1,2,,2)2,,1,2,,2)2}
ψ(Ω_I+ω²) ~~ {n,n(1(1,,1,2,,2)1(1,,1,2,,2)2,,1,2,,2)2}
ψ(Ω_I+ω^ω) ~~ {n,n(1(2,,1,2,,2)2,,1,2,,2)2}
ψ(Ω_I+ω^Ω_I+ω) ~~ {n,n(1(1(1,,1,2,,2)2,,1,2,,2)2,,1,2,,2)2}
ψ(Ω_I+ω+1) ~~ {n,n(1,,2,2,,2)2} = {n,n(1(1(1(...)2,,1,2,,2)2,,1,2,,2)2,,1,2,,2)2} - где n-вложений
ψ(Ω_I+ω+2) ~~ {n,n(1,,3,2,,2)2}
ψ(Ω_I+ω×2) ~~ {n,n(1,,1,3,,2)2}
ψ(Ω_I+ω×2+1) ~~ {n,n(1,,2,3,,2)2}
ψ(Ω_I+Ω) ~~ {n,n(1,,1(1,,2)2,,2)2}
ψ(Ω_I+Ω+1) ~~ {n,n(1,,2(1,,2)2,,2)2}
ψ(Ω_I+Ωω) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,2)2,,2)2}
ψ(Ω_I+ψI(0)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,2)2)2,,2)2}
ψ(Ω_I+ψI(I)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2,,2)2}
ψ(Ω_{I+ψI(ΩI+ω)}) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,2,,2)2)2,,2)2}
ψ(Ω_I×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)2,,2)2} = {n,n(1,,1(1,,1(1,,1(1,,1(1,,1(...)2,,2)2)2,,2)2)2,,2)2} - где n-вложений
ψ(Ω_I×2+1) ~~ {n,n(1,,2(1,,1,,2)2,,2)2}
ψ(Ω_I×3) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)3,,2)2}
ψ(Ω_{ψΩI+1(ΩI+1)}) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,2,,2)2,,1,,2)2,,2)2}
ψ(Ω_{ψΩI+1(ΩI×2)}) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1(1,,1,,2)2,,2)2,,1,,2)2,,2)2}
ψ(Ω_{ψΩI+1(ΩψΩI+1(ΩI+1))}) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1(1(1,,2,,2)2,,1,,2)2,,2)2,,1,,2)2,,2)2}
ψ(Ω_ΩI+1) ~~ {n,n(1,,1(1,,2,,2)2,,2)2}
ψ(Ω_ΩI×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,2)2,,2)2,,2)2}
ψ(Ω_ΩΩI+1) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(2,,1,,2)2,,2)2,,2)2}
ψ(Ω_ΩΩI×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1(1,,1,,2)2,,2)2,,2)2,,2)2}
ψ(Ω_ΩΩΩI+1) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1(2,,1,,2)2,,2)2,,2)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(0)) ~~ {n,n(1,,1,,3)2} = {n,n(1,,1(1,,1,,3)2,,2)2} = {n,n(1,,1(1,,1(1,,1(1,,1(...)2,,2)2,,2)2,,2)2,,2)2} - где n-вложений
ψ(ψ_I2(0)+1) ~~ {n,n(1(1(1,,1(1,,1,,3)2,,2)2)1,2,,1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(0)+Ω) ~~ {n,n(1(1,,2)2,,1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(0)+ψ_I(0)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,3)2)2}
ψ(ψ_I2(0)+ψ_I(I)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,3)2)2}
ψ(ψ_I2(0)+ψ_I(Ω_I+1)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,2,,2)2)2,,1(1,,1,,3)2)2}
ψ(ψ_I2(0)+ψ_I(Ω_I×2)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1(1,,1,,2)2,,2)2)2,,1(1,,1,,3)2)2}
ψ(ψ_I2(0)+ψ_I(ψ_I2(0))) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,3)2)2,,1(1,,1,,3)2)2}
ψ(ψ_I2(0)+Ω_{ψI(ψI2(0))+1}) ~~ {n,n(1,,2(1,,1,,3)2)2}
ψ(ψ_I2(0)+ψ_I(ψ_I2(0)+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)2(1,,1,,3)2)2}
ψ(ψ_I2(0)+I) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2(1,,1,,3)2)2}
ψ(ψ_I2(0)+ψ_ΩI+1(Ω_I+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,2,,2)2(1,,1,,3)2)2}
ψ(ψ_I2(0)+ψ_ΩI+1(Ω_I×2)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,2)2,,2)2(1,,1,,3)2)2}
ψ(ψ_I2(0)+ψ_ΩI+1(ψ_I2(0))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,3)3)2}
ψ(ψ_I2(0)+ψ_ΩI+1(ψ_I2(0)+ψ_ΩI+1(ψ_I2(0)))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2)2}
ψ(ψ_I2(0)+ψ_ΩI+1(ψ_I2(0)+ψ_ΩI+1(ψ_I2(0)+1))) ~~ {n,n(1,,1(2,,1(1,,1,,3)2,,2)2)2}
ψ(ψ_I2(0)+ψ_ΩI+1(ψ_I2(0)+ψ_ΩI+1(ψ_I2(0)+I))) ~~ {n,n(1(1,,1,,2)2,,1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(0)+ψ_ΩI+2(ψ_I2(0)+ψ_ΩI+2(ψ_I2(0)+Ω_I+1))) ~~ {n,n(1(1,,2,,2)2,,1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(0)+ψ_ΩI+3(ψ_I2(0)+ψ_ΩI+3(ψ_I2(0)+Ω_I+2))) ~~ {n,n(1(1,,3,,2)2,,1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(0)+Ω_I+ω) ~~ {n,n(1(1,,1,2,,2)2,,1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(0)+Ω_I×2) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)2,,2)2,,1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(0)×2) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,3)2,,2)2,,1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(0)×ω) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,3)2,,2)1,2,,1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(0)²) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,3)2,,2)1(1,,1(1,,1,,3)2,,2)2,,1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(0)^ω) ~~ {n,n(1(2,,1(1,,1,,3)2,,2)2,,1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(0)^ψ_I2(0)) ~~ {n,n(1(1(1,,1(1,,1,,3)2,,2)2,,1(1,,1,,3)2,,2)2,,1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(Ω_ψI2(0)+1) ~~ {n,n(1,,2(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(Ω_ψI2(0)+1²) ~~ {n,n(1(1,,2(1,,1,,3)2)1(1,,2(1,,1,,3)2)2,,1(1,,1,,3)2)2}
ψ(Ω_ψI2(0)+1^Ω_ψI2(0)+1) ~~ {n,n(1(1(1,,2(1,,1,,3)2)2,,2(1,,1,,3)2)2,,1(1,,1,,3)2)2}
ψ(Ω_ψI2(0)+2) ~~ {n,n(1,,3(1,,1,,3)2)2}
ψ(Ω_ψI2(0)+ω) ~~ {n,n(1,,1,2(1,,1,,3)2)2}
ψ(Ω_ψI2(0)+I) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)2(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(Ω_{ψI2(0)+ΩI+1}) ~~ {n,n(1,,1(1,,2,,2)2(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(Ω_ψI2(0)×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,3)2,,2)2(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(Ω_ΩψI2(0)+1) ~~ {n,n(1,,1(1,,2(1,,1,,3)2,,2)2(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(Ω_ΩψI2(0)×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1(1,,1,,3)2,,2)2(1,,1,,3)2,,2)2(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(Ω_{ΩΩψI2(0)+1}) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,2(1,,1,,3)2,,2)2(1,,1,,3)2,,2)2(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,3)3,,2)2}
ψ(ψ_I2(Ω)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,3)1(1,,2)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(I)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,2)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(Ω_I+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,3)1(1,,2,,2)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(Ω_I×2)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1(1,,1,,2)2,,2)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(ψ_I2(0))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1(1,,1,,3)2,,2)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(ψ_I2(ψ_I2(0)))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1(1,,1,,3)2,,2)2,,2)2,,2)2}
ψ(I₂) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂+1) ~~ {n,n(1(1(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2)1,2,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂+ψ_I(I₂)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2)2,,1(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2)2}
ψ(I₂+Ω_ψI(I2)+1) ~~ {n,n(1,,2(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2)2}
ψ(I₂+ψ_I(I₂+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)2(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2)2}
ψ(I₂+I) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2)2}
ψ(I₂+Ω_I+1) ~~ {n,n(1,,1(1,,2,,2)2(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2)2}
ψ(I₂+Ω_I+2) ~~ {n,n(1,,1(1,,3,,2)2(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2)2}
ψ(I₂+Ω_I+ω) ~~ {n,n(1(1,,1,2,,2)2,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂+ψ_I2(0)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,3)2,,2)2,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂+ψ_I2(ψ_I2(0))) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1(1,,1,,3)2,,2)2,,2)2,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂+ψ_I2(I₂)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂+Ω_ψI2(I2)+1) ~~ {n,n(1,,2(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂+Ω_ψI2(I2)×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂+ψ_I2(I₂+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,3)2(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂+ψ_I2(I₂+ψ_I2(I₂))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,3)1(1(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂+ψ_I2(I₂+ψ_I2(I₂+1))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)3,,2)2}
ψ(I₂²) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂^ω) ~~ {n,n(2,,1,,3)2} = {n,n(1,,1(2,,1,,3)2,,2)2} = {n,n(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)...n-раз...2,,2)2}
ψ(I₂^Ω) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,2)2,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂^I) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,2)2,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂^I₂) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,3)2,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂^I₂2) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,3)3,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂^I₂ω) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,3)1,2,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂^I₂Ω) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,3)1(1,,2)2,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂^{I₂ψ_I(IIω)}) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,3)1(1(1,,1,,2)1,2,,1,,2)2,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂^I₂I) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,3)1(1,,1,,2)2,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂^{I₂ψ_I2(I₂I₂ω)}) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,3)1(1,,1(1(1,,1,,3)1,2,,1,,3)2,,2)2,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂^I₂I₂) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂^I₂I₂×2) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,1,,3)3,,2)2}
ψ(I₂^I₂I₂+1) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂^I₂I₂×ω) ~~ {n,n(1,,1(1(2,,1,,3)2,,1,,3)2,,2)2}
ψ(I₂^I₂I₂I₂) ~~ {n,n(1,,1(1(1(1,,1,,3)2,,1,,3)2,,1,,3)2,,2)2}
ψ(Ω_I2+1) ~~ {n,n(1,,1(1(1(...(1(1,,1,,3)2,,1,,3)...)2,,1,,3)2,,1,,3)2,,2)2} - где n/2 вложений для четных n
ψ(Ω_I2+1) ~~ {n,n(1,,1(1(1(...(1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,1,,3)...)2,,1,,3)2,,1,,3)2,,2)2} - где (n-1)/2 вложений для нечетных n
ψ(Ω_I2+1) ~~ {n,n(1,,2,,3)2} = {n,n(1,,1(1(1,,2,,3)2,,1,,3)2,,2)2}
ψ(Ω_I2+1×2) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,2,,3)3,,1,,3)2,,2)2}
ψ(Ω_I2+1²) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,2,,3)1(1,,2,,3)2,,1,,2)2,,2)2}
ψ(Ω_I2+1^ω) ~~ {n,n(2,,2,,3)2} = {n,n(1,,1(1(2,,2,,3)2,,1,,3)2,,2)2}
ψ(Ω_I2+1^Ω_I2+1) ~~ {n,n(1,,1(1(1(1,,2,,3)2,,2,,3)2,,1,,3)2,,2)2}
ψ(Ω_I2+1^{Ω_I2+1Ω_I2+1}) ~~ {n,n(1,,1(1(1(1,,2,,3)1(1,,2,,3)2,,2,,3)2,,1,,3)2,,2)2}
ψ(Ω_I2+2) ~~ {n,n(1,,3,,3)2} = {n,n(1,,1(1(1(1,,3,,3)2,,2,,3)2,,1,,3)2,,2)2}
ψ(Ω_I2+ω) ~~ {n,n(1,,1,2,,3)2}
ψ(Ω_I2+I) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)2,,3)2}
ψ(Ω_I2+ψI2(0)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,3)2,,2)2,,3)2}
ψ(Ω_{I2+ψI2(ΩI2+I)}) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1(1,,1,,2)2,,3)2,,2)2,,3)2}
ψ(Ω_I2×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,3)2,,3)2}
ψ(Ω_ΩI2+1) ~~ {n,n(1,,1(1,,2,,3)2,,3)2}
ψ(Ω_ΩI2×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,3)2,,3)2,,3)2}
ψ(Ω_ΩΩI2+1) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,2,,3)2,,3)2,,3)2}
ψ(ψ_I3(0)) ~~ {n,n(1,,1,,4)2} = {n,n(1,,1(1,,1,,4)2,,3)2} = {n,n(1,,1(1,,1(1,,1(1,,1(...)2,,3)2,,3)2,,3)2,,3)2} - где n-вложений
ψ(ψ_I3(0)+ψ_I(0)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,4)2)2}
ψ(ψ_I3(0)+ψ_I(ψ_I3(0))) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,4)2)2,,1(1,,1,,4)2)2}
ψ(ψ_I3(0)+Ω_{ψI(ψI3(0))+1}) ~~ {n,n(1,,2(1,,1,,4)2)2}
ψ(ψ_I3(0)+ψ_I(ψ_I3(0)+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)2(1,,1,,4)2)2}
ψ(ψ_I3(0)+I) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2(1,,1,,4)2)2}
ψ(ψ_I3(0)+ψ_I2(0)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,3)2,,2)2,,1(1,,1,,4)2,,2)2}
ψ(ψ_I2(0)+ψ_I2(ψ_I3(0))) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,4)2,,2)2,,1(1,,1,,4)2,,2)2}
ψ(ψ_I3(0)+Ω_{ψI2(ψI3(0))+1}) ~~ {n,n(1,,2(1,,1,,4)2,,2)2}
ψ(ψ_I3(0)+ψ_I2(ψ_I3(0)+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,3)2,,2)2(1,,1,,4)2,,2)2}
ψ(ψ_I3(0)+I₂) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,3)2,,2)1(1,,1(1,,1,,3)2,,2)2(1,,1,,4)2,,2)2}
ψ(ψ_I3(0)×2) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,4)2,,3)2,,1(1,,1,,4)2,,3)2}
ψ(Ω_ψI3(0)+1) ~~ {n,n(1,,2(1,,1,,4)2,,3)2}
ψ(Ω_ψI3(0)×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,4)2,,3)2(1,,1,,4)2,,3)2}
ψ(Ω_ΩψI3(0)+1) ~~ {n,n(1,,1(1,,2(1,,1,,4)2,,3)2(1,,1,,4)2,,3)2}
ψ(Ω_ΩψI3(0)×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1(1,,1,,4)2,,3)2(1,,1,,4)2,,3)2(1,,1,,4)2,,3)2}
ψ(Ω_{ΩΩψI2(0)+1}) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,2(1,,1,,4)2,,3)2(1,,1,,4)2,,3)2(1,,1,,4)2,,3)2}
ψ(ψ_I3(1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,4)3,,3)2}
ψ(ψ_I3(ψ_I3(0))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,4)1(1,,1(1,,1,,4)2,,3)2,,3)2}
ψ(I₃) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,4)1(1,,1,,4)2,,3)2}
ψ(I₃+ψ_I3(I₃)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,4)1(1,,1,,4)2,,3)2,,1(1,,1,,4)1(1,,1,,4)2,,3)2}
ψ(I₃+ψ_I3(I₃+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,4)2(1,,1,,4)2,,3)2}
ψ(I₃×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,4)1(1,,1,,4)3,,3)2}
ψ(I₃²) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,4)1(1,,1,,4)1(1,,1,,4)2,,3)2}
ψ(I₃^ω) ~~ {n,n(2,,1,,4)2} = {n,n(1,,1(2,,1,,4)2,,3)2} = {n,n(1,,1(1,,1,,4)1(1,,1,,4)1(1,,1,,4)1(1,,1,,4)...n-раз...2,,3)2}
ψ(I₃^I₃) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,4)2,,1,,4)2,,3)2}
ψ(I₃^I₃I₃) ~~ {n,n(1,,1(1(1,,1,,4)1(1,,1,,4)2,,1,,4)2,,3)2}
ψ(Ω_I3+1) ~~ {n,n(1,,1(1(1(...(1(1,,1,,4)2,,1,,4)...)2,,1,,4)2,,1,,4)2,,3)2} - где n/2 вложений для четных n
ψ(Ω_I3+1) ~~ {n,n(1,,1(1(1(...(1(1,,1,,4)1(1,,1,,4)2,,1,,4)...)2,,1,,4)2,,1,,4)2,,3)2} - где (n-1)/2 вложений для нечетных n
ψ(Ω_I3+1) ~~ {n,n(1,,2,,4)2} = {n,n(1,,1(1(1,,2,,4)2,,1,,4)2,,3)2}
ψ(Ω_I3×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,4)2,,4)2}
ψ(ψ_I4(0)) ~~ {n,n(1,,1,,5)2} = {n,n(1,,1(1,,1,,5)2,,4)2}
ψ(I₄) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,5)1(1,,1,,5)2,,4)2}
ψ(ψ_I5(0)) ~~ {n,n(1,,1,,6)2} = {n,n(1,,1(1,,1,,6)2,,5)2}
ψ(I₅) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,5)1(1,,1,,5)2,,4)2}
ψ(I_ω) ~~ {n,n(1,,1,,1,2)2}
ψ(I_ω+1) ~~ {n,n(1(1(1,,1(1,,1,,1,2)2)2)1,2,,1(1,,1,,1,2)2)2}
ψ(I_ω+ψ(Ω)) ~~ {n,n(1(1(1,,1(1,,1,,1,2)2)2)1(1(1,,2)2)2,,1(1,,1,,1,2)2)2}
ψ(I_ω+ψ(I_ω)) ~~ {n,n(1(1(1,,1(1,,1,,1,2)2)2)1(1(1,,1(1,,1,,1,2)2)2)2,,1(1,,1,,1,2)2)2}
ψ(I_ω+ψ(I_ω+1)) ~~ {n,n(1(1(2,,1(1,,1,,1,2)2)2)2,,1(1,,1,,1,2)2)2}
ψ(I_ω+Ω) ~~ {n,n(1(1,,2)2,,1(1,,1,,1,2)2)2}
ψ(I_ω+ψ_I(0)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2)2)2,,1(1,,1,,1,2)2)2}
ψ(I_ω+ψ_I(I_ω)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,1,2)2)2,,1(1,,1,,1,2)2)2}
ψ(I_ω+Ω_ψI(Iω)+1) ~~ {n,n(1,,2(1,,1,,1,2)2)2}
ψ(I_ω+ψ_I(I_ω+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)2(1,,1,,1,2)2)2}
ψ(I_ω+I) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2(1,,1,,1,2)2)2}
ψ(I_ω+ψ_ΩI+1(Ω_I+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,2,,2)2(1,,1,,1,2)2)2}
ψ(I_ω+ψ_ΩI+1(I_ω)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,1,2)3)2}
ψ(I_ω+ψ_ΩI+1(I_ω+ψ_ΩI+1(I_ω))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,1,2)1(1,,1,,1,2)2)2}
ψ(I_ω+ψ_ΩI+1(I_ω+ψ_ΩI+1(I_ω+1))) ~~ {n,n(1,,1(2,,1,,1,2)2)2}
ψ(I_ω+ψ_ΩI+1(I_ω+ψ_ΩI+1(I_ω+I))) ~~ {n,n(1(1,,1,,2)2,,1,,1,2)2}
ψ(I_ω+Ω_I+1) ~~ {n,n(1(1,,2,,2)1(1,,1(1,,1,,1,2)2,,2)2,,1,,2)2}
ψ(I_ω+Ω_I+ω) ~~ {n,n(1(1,,1,2,,2)2,,1(1,,1,,1,2)2,,2)2}
ψ(I_ω+ψ_I2(0)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,3)2,,2)2,,1(1,,1,,1,2)2,,2)2}
ψ(I_ω+ψ_I2(I_ω)) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,1,2)2,,2)2,,1(1,,1,,1,2)2,,2)2}
ψ(I_ω+Ω_ψI2(Iω)+1) ~~ {n,n(1,,2(1,,1,,1,2)2,,2)2}
ψ(I_ω+ψ_I2(I_ω+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)2(1,,1,,1,2)2)2}
ψ(I_ω+I₂) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2(1,,1,,1,2)2,,2)2}
ψ(I_ω+ψ_ΩI2+1(Ω_I2+1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,2,,3)2(1,,1,,1,2)2,,2)2}
ψ(I_ω+ψ_ΩI2+1(I_ω)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,1,2)3,,2)2}
ψ(I_ω+ψ_ΩI2+1(I_ω+ψ_ΩI2+1(I_ω))) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,1,2)1(1,,1,,1,2)2,,2)2}
ψ(I_ω+ψ_ΩI2+1(I_ω+ψ_ΩI2+1(I_ω+1))) ~~ {n,n(1,,1(2,,1,,1,2)2,,2)2}
ψ(I_ω+ψ_ΩI2+1(I_ω+ψ_ΩI2+1(I_ω+I₂))) ~~ {n,n(1(1,,1,,3)2,,1,,1,2)2}
ψ(I_ω+ψ_ΩI3+1(I_ω+ψ_ΩI3+1(I_ω+I₃))) ~~ {n,n(1(1,,1,,4)2,,1,,1,2)2}
ψ(I_ω+ψ_ΩI4+1(I_ω+ψ_ΩI4+1(I_ω+I₄))) ~~ {n,n(1(1,,1,,5)2,,1,,1,2)2}
ψ(I_ω×2) ~~ {n,n(1(1,,1,,1,2)2,,1,,1,2)2}
ψ(I_ω×ω) ~~ {n,n(1(1,,1,,1,2)1,2,,1,,1,2)2}
ψ(I_ω²) ~~ {n,n(1(1,,1,,1,2)1(1,,1,,1,2)2,,1,,1,2)2}
ψ(I_ω^ω) ~~ {n,n(1(2,,1,,1,2)2,,1,,1,2)2}
ψ(I_ω^I_ω) ~~ {n,n(1(1(1,,1,,1,2)2,,1,,1,2)2,,1,,1,2)2}
ψ(Ω_Iω+1) ~~ {n,n(1,,2,,1,2)2}
ψ(Ω_Iω+I) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2)2,,1,2)2}
ψ(Ω_Iω×2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,1,2)2,,1,2)2}
ψ(ψ_Iω+1(0)) ~~ {n,n(1,,1,,2,2)2} = {n,n(1,,1(1,,1,,2,2)2,,1,2)2}
ψ(ψ_Iω+1(0)+I_ω) ~~ {n,n(1(1,,1,,1,2)2,,1(1,,1,,2,2)2,,1,2)2}
ψ(ψ_Iω+1(0)+Ω_Iω+1) ~~ {n,n(1(1,,2,,1,2)2,,1(1,,1,,2,2)2,,1,2)2}
ψ(ψ_Iω+1(0)×2) ~~ {n,n(1(1,,1(1,,1,,2,2)2,,1,2)2,,1(1,,1,,2,2)2,,1,2)2}
ψ(Ω_ψIω+1(0)+1) ~~ {n,n(1,,2(1,,1,,2,2)2,,1,2)2}
ψ(ψ_Iω+1(1)) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2,2)3,,1,2)2}
ψ(I_ω+1) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2,2)1(1,,1,,2,2)2,,1,2)2}
ψ(ψ_Iω+2(0)) ~~ {n,n(1,,1,,3,2)2}
ψ(I_ω+2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,3,2)1(1,,1,,3,2)2,,2,2)2}
ψ(I_ω×2) ~~ {n,n(1,,1,,1,3)2}
ψ(Ω_Iω×2+1) ~~ {n,n(1,,2,,1,3)2}
ψ(ψ_Iω×2+1(0)) ~~ {n,n(1,,1,,3,2)2}
ψ(I_ω×2+1) ~~ {n,n(1,,1(1,,1,,2,3)1(1,,1,,2,3)2,,1,3)2}
ψ(I_ω²) ~~ {n,n(1,,1,,1,1,2)2}
ψ(I_ω^ω) ~~{n,n(1,,1,,1(2)2)2}
ψ(I_ε0) ~~ {n,n(1,,1,,1(1(1,,2)2)2)2}
ψ(I_Ω) ~~ {n,n(1,,1,,1(1,,2)2)2}
ψ(I_ψI(0)) ~~ {n,n(1,,1,,1(1,,1(1,,1,,2)2)2)2}
ψ(I_ψI(IψI(0))) ~~ {n,n(1,,1,,1(1,,1(1,,1,,1(1,,1(1,,1,,2)2)2)2)2)2}
ψ(I_I) ~~ {n,n(1,,1,,1(1,,1,,2)2)2} = {n,n(1,,1,,1(1,,1(1,,1,,1(1,,1(1,,1,,1(...)2)2)2)2)2)2} - где n-вложений
ψ(Ω_II+1) ~~ {n,n(1,,2,,1(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_II+1(0)) ~~ {n,n(1,,1,,2(1,,1,,2)2)2}
ψ(I_I+1) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,2)1(1,,1,,2)2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(ψ_II+2(0)) ~~ {n,n(1,,1,,3(1,,1,,2)2)2}
ψ(I_I+2) ~~ {n,n(1,,1(1,,1(1,,1,,3)1(1,,1,,3)2,,2)2(1,,1,,2)2)2}
ψ(I_I+ω) ~~ {n,n(1,,1,,1,2(1,,1,,2)2)2}
ψ(I_I×2) ~~ {n,n(1,,1,,1(1,,1,,2)3)2}
ψ(I_{ψΩI+1(ΩI+1)}) ~~ {n,n(1,,1,,1(1,,1(1,,1,,1(1,,2,,2)2)2,,2)2}
ψ(I_ΩI+1) ~~ {n,n(1,,1,,1(1,,2,,2)2)2}
ψ(I_ΩI+1²) ~~ {n,n(1,,1,,1(1,,1(1(1,,2,,2)1(1,,2,,2)2,,1,,2)2)2)2}
ψ(I_ΩI+2) ~~ {n,n(1,,1,,1(1,,3,,2)2)2}
ψ(I_ψI2(0)) ~~ {n,n(1,,1,,1(1,,1(1,,1,,2)2,,2)2)2}
ψ(I_ψI2(Iω)) ~~ {n,n(1,,1,,1(1,,1(1,,1,,1,2)2,,2)2)2}
ψ(I_I2) ~~ {n,n(1,,1,,1(1,,1,,3)2)2} = {n,n(1,,1,,1(1,,1(1,,1,,1(1,,1(1,,1,,1(...)2)2,,2)2)2,,2)2)2} - где n-вложений
ψ(I_I3) ~~ {n,n(1,,1,,1(1,,1,,4)2)2} = {n,n(1,,1,,1(1,,1(1,,1,,1(1,,1(1,,1,,1(...)2)2,,3)2)2,,3)2)2} - где n-вложений
ψ(I_Iω) ~~ {n,n(1,,1,,1(1,,1,,1,2)2)2}
ψ(I_IIω) ~~ {n,n(1,,1,,1(1,,1,,1(1,,1,,1,2)2)2)2}
ψ(I_III...) ~~ {n,n(1,,1,,1,,2)2} = {n,n(1,,1,,1(1,,1,,1,,2)2)2} = {n,n(1,,1,,1(1,,1,,1(1,,1,,1(1,,1,,1(...)2)2)2)2)2} - где n-вложений