Часть VI Рекурсии на стационарных рекурсиях

Два непересекающихся бесконечных множества могут иметь одинаковый предел, значит всегда можно определить ординал, который будет пределом для любых непересекающихся бесконечных множеств - принцип стационарности, основа определения Аксиомы Махло кардинала.

Приветствую всех кто добрался до этой главы. Путешествие по гугологии подобно прохождению сложной компьютерной игры, в которой возможно не все дойдут до финала, но с каждым уровнем становится все сложнее и сложнее, и  прохождение этих уровней требует идеального освоения навыков и знаний, полученных на предыдущих уровнях. Так или иначе перфекционистов ждет разочарование, в отличие от большинства компьютерных игр, гугология - это бесконечная игра, и ни у кого не получится пройти ее до конца. Так что лучше сравнить ее с подобными аркадными играми, вроде тетриса или пакмана, в которых так же нет конца, но со временем сложность прохождения возрастает настолько, что становится запредельной для человеческой реакции, так что уже никто не может пройти их дальше. Станет ли когда-нибудь сложность в понимании больших чисел настолько же сложной, что уже никто не сможет понять их масштаб - мы этого пока не знаем. Но я все равно приветствую тех кто дошел до этого момента и продолжает играть вместе со мной.

В прошлой части мы определяли все новые и новые ординальные коллапсирующие функции, чтобы обойти по рекурсивной способности метод конечно-последовательного сбрасывания массивов внедренный Hypcos в его расширениях массивной нотации. В итоге иерархия коллапсирования стала настолько сложной, что я уже не смогу целиком детально ее расписать. Если вкратце, то мы определили ординалы, которые назвали недостижимыми, коллапсирование рекурсий на них создает еще более сильные рекурсии на несчетных ординалах, которые в свою очередь создают еще более сильные рекурсии на счетных ординалах, а те через фундаментальные последовательности определяемые на основе формального определения коллапсирующих функций, создают уже совсем невероятные рекурсии на конечных числах. Так вот, к концу прошлой главы мы пришли к выводу, что этой безумной цепи коллапсирования нам недостаточно, и нам нужны некие принципиально бо́льшие ординалы, чтобы диагонализировать вебленскую иерархию недостижимых ординалов.

Дальше, чтобы в вашем понимании не было путаницы, я сразу предупреждаю, что могу не делать различий между понятиями ординал и кардинал, потому что на столь больших масштабах изучения бесконечности это уже становится не так важно. Так или иначе у каждого сверхбольшого кардинала есть минимальный ординал соответствующий ему по величине, с которым можно делать ординальные арифметические операции и наращивать всевозможные рекурсии на них. Следовательно такие понятия как регулярный ординал / регулярный кардинал, или недостижимый ординал / недостижимый кардинал можно интерпретировать одинаково.

Так, как же придумать кардинал, который будет больше любого недостижимого? Для этого нужна какая-то, простите за каламбур, кардинально новая концепция. Такая, которая создаст следующий кардинал из списка "Больших кардиналов" - списка дополнительных к ZFC аксиом, которые делают теорию множеств сильнее. Такую аксиому еще в 1911 году предложил немецкий математик Пауль Махло, сделав при этом свою фамилию нарицательным словом, потому что кардинал, который создает эта аксиома, так и стал называться в честь него - Махло кардиналом.

Давайте детально разбираться в принципах, на которых основано определение этого кардинала. И в начале разберем, что такое клубное сомножество. Это понятие применимо к ординалам и их свойству сквозной упорядоченности. Так, например, если мы говорим о множестве всех счетных ординалов, то в этом множестве нет сквозной упорядоченности, ибо каждый существующий порядковый ординал от нуля и до ω₁ (не включительно) входит в это множество. Очень важно заметить, что ω₁ не входит в множество счетных ординалов, поскольку он является пределом этого множества, и по определению, не может быть счетным, иначе сам бы входил в это множество. Следовательно ω₁ упорядочивает множество счетных ординалов, не входя в него, так же как ω упорядочивает множество всех конечных чисел, не входя в него. Но вернемся к сквозной упорядоченности, ее легко определить на счетных ординалах, для этого определим множество всех очередных счетных ординалов. Пределом этого множества так же будет ω₁, но по пути к нему встретится множество промежуточных пределов, это будут предельные ординалы, такие как ω, ω×2, ω^ω, ε₀, ζ₀, Г₀, ... - все они являются счетными, но не являются очередными. Следовательно множество всех очередных счетных ординалов будет обладать сквозной упорядоченностью, поскольку не все счетные ординалы входят в него. Тогда множество всех предельных ординалов, которые как раз в него не входят, будет называться клубным сомножеством по отношению к множеству всех очередных счетных ординалов. Каждый предельный ординал, из этого клуба будет упорядочивать некое подмножество очередных ординалов, но не будет в него входить, от этого и происходит название клубное сомножество - как будто это ординалы с особым статусом объединившиеся в некий клуб. Но самое интересное в том, что предел множества всех предельных счетных ординалов это тоже ω₁.

Теперь, внимание, далее следует важное определение: множество стационарное на ординале - это множество, для которого данный ординал будет пределом, но при этом он так же будет пределом и для его клубного сомножества предельных ординалов, так что каждый элемент этого множества и его клубного сомножества будет меньше данного ординала. Из определения получается, что множество очередных счетных ординалов стационарно на ω₁. 

Основываясь на этом определении, можно легко и просто сформулировать нужную нам аксиому существования, бо́льшего чем недостижимые, кардинала. Махло кардинал - это кардинал, для которого множество всех возможных регулярных кардиналов меньших него стационарно. Разберем детальнее, что это значит. Для каждой последовательности регулярных кардиналов можно определить предельный кардинал, который так же будет предельным ординалом:
ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂, ℵ₃, ..., ℵ_ω
I, ℵ_I+1, ℵ_I+2, ℵ_I+3, ..., ℵ_I+ω
I₂, ℵ_I2+1, ℵ_I2+2, ℵ_I2+3, ..., ℵ_I2+ω
I, I₂, I₃, I₄, ..., I_ω
I(2,0), I(2,1), I(2,2), I(2,3), ..., I(2,ω)
I(1,0), I(2,0), I(3,0), I(4,0), ..., ψ_I(ω,0)(0)
I(1,0), I(1,0,0), I(1,0,0,0), I(1,0,0,0,0), ..., ψ_I(¹ω)(0)

Тогда Махло кардинал, будет таким, который будет больше любого такого предельного кардинала, так чтобы множество регулярных кардиналов было для него стационарным. То есть Махло кардинал является пределом для всех регулярных ординалов меньше него, но и для их клубного сомножества предельных ординалов Махло кардинал тоже будет пределом, являясь бо́льшим по отношению к каждому члену этого клуба. Из этого следует, что по своим свойствам Махло кардинал так же должен быть регулярным, то есть соответствовать требованию: cf(М) = М (здесь и далее, будем обозначать Махло кардинал и соответствующий ему минимальный ординал большой буквой М). Регулярность Махло кардинала доказывается от обратного, вкратце, если бы он не был регулярным, то должен был бы существовать меньший по величине регулярный ординал, с помощью которого его можно было бы образовать, и тогда он являлся бы частью клуба предельных кардиналов, но как мы помним по определению он является для всех них пределом, значит не входит в их множество, и следовательно больше их. Ну а раз Махло кардинал является регулярным и при этом он предел, значит он так же предельный, тогда получается что по своим свойствам он еще и недостижимый (которые по определению регулярные и предельные одновременно). Тем не менее, он будет больше любого ранее определенного нами недостижимого кардинала или гипер-недостижимого кардинала с любой мыслимой степенью недостижимости (потому что они всегда регулярные, а значит где-то за ними есть предельный кардинал из клубного сомножества; Махло кардинал же по определению является пределом и для тех и для других). Получается что множество всех мыслимых недостижимых и гипер-недостижимых кардиналов меньших него так же стационарно для Махло кардинала, как и множество всех регулярных кардиналов меньше него. То есть уже нет никаких сомнений, что Махло кардинал будет больше любого недостижимого, которого мы способны выразить с помощью иерархии Веблена, или какой-либо иной иерархии, способной учитывать степени недостижимости. Значит он идеально походит нам в качестве диагонализатора для ординальной коллапсирующей функции.

Однако перед тем как мы будем разбираться в новой коллапсирующей функции основанной на Махло кардинале, следует вспомнить, что из-за недоказуемости обобщенной континуум-гипотезы мы были вынуждены разделить недостижимые кардиналы на слабонедостижимые и сильнонедостижимые, так же как раньше разделили несчетные на алеф-кардиналы и бет-кардиналы, это же придется сделать и с Махло кардиналом. Махло кардинал для которого стационарно множество регулярных алеф-кардиналов (и соответственно слабонедостижимых тоже) будет называться Слабым Махло кардиналом, а Махло кардинал для которого стационарно множество регулярных бет-кардиналов (и соответственно сильнонедостижимых тоже) будет называться Сильным Махло кардиналом. Если предположить правильность континуум-гипотезы, то Слабый Махло кардинал и Сильный Махло кардинал это один и то же кардинал, однако если предположить ложность континуум-гипотезы, то так же как это было с недостижимыми: Слабый Махло кардинал < Сильный Махло кардинал, и мы так же не можем предположить насколько первый меньше второго, он может быть даже меньше континуума (ב₁). К сожалению, аксиома выбора, не дает нам возможности ответить на этот вопрос, ведь, как вы должны помнить, принятие этой аксиомы делает невозможным доказательство или опровержение континуум-гипотезы. Кроме того аксиома о существовании Махло кардинала, которую добавляют к ZFC чтобы усилить эту аксиоматическую систему, говорит о существовании именно Сильного Махло кардинала, а его существование получается автоматически гласит о существовании Слабого Махло кардинала. Так же получается, что если мы приминаем аксиому о существовании Махло кардинала, значит аксиома о существовании недостижимого кардинала становится избыточной. Потому что, вооружившись аксиомой выделения, из Махло кардинала можно сделать любой недостижимый кардинал с любой степенью недостижимости, ибо они все уже должны быть в составе Махло кардинала, вот настолько он большой. Так или иначе, нам по-прежнему неважно верна континуум-гипотеза или нет, и неважно какой взять кардинал для диагонализации: сильный или слабый, все равно и тот и другой будут обладать одинаковыми свойствами нужными нам для создания иерархии коллапсирования. Поэтому далее я не буду уточнять о Сильном или о Слабом Махло кардинале идет речь, поскольку для наших целей это не имеет значения.

Ну а теперь наконец-то займемся определением коллапсирующей функции работающей с Махло кардиналом. Первым кто ее определил бы немецкий математик Михаэль Ратъен и сделал это он в 1991 году. Функция, которую я приведу в этой книге будет слегка отличаться от изначальной функции Ратъена (она будет немного сильнее), но все основные принципы и даже обозначения будут сохранены без изменений. За основу он так же брал функцию Бухольца, но ему пришлось ее немного изменить, чтобы основанная на ней функция коллапсирующая Махло кардиналы работала корректно. Изменения эти имеют в основном технический характер, но все же нам необходимо их разобрать.

Давайте сперва вспомним как работала функция Бухольца. Прежде всего стоит отметить, что функция принимала в себя два аргумента: ψ_π(n) - где π - это регулярный кардинал, на основе которого происходит коллапсирование, а n - это ординал, основной аргумент функции, который собственно и коллапсируется, он может быть любым, но не должен превосходить по кардинальности π. В целом функция ψ_π(n), в случае |n| = π, на выходе понижала кардинальность n, но увеличивала рекурсию получившегося ординала, так что ψ_Ωk+1(Ω_k+1) = ε_Ωk+1, и ψ_Ωk(Ω_k+α) = ω^{ψ_Ωk(Ω_k)+α}. В итоге, функции рекурсивно подставлялись друг в друга по мере убывания кардинальности аргумента π, так в основном и наращивались рекурсии. Предельные кардиналы, могли подставляться только в качестве n, и использовались как диагонализаторы этих последовательностей из коллапсирующих функций, например: ψ(Ω_ω) = ψ_Ω1(Ω_ω) = ψ_Ω1(ψ_Ω2(ψ_Ω3(ψ_Ω4(ψ_Ω5(...))))). В целом, исходя из принципов работы функции, можно было вывести общее свойство: ψ_Ωk+1(α) = ω^Ω_k+α, где Ω_k = ω_k, но Ω₀ = 0. Это свойство позволяло, минуя сложное рекурсивное определение коллапсирующей функции, с легкостью вычислять результаты коллапсирования. Ниже приведена таблица результатов коллапсирования функции Бухольца для некоторых аргументов.

Здесь вернемся к функции Ратъена. На самом деле это не одна, а целых две функции, и кроме ψ-функции Ратъен определил еще и χ-функцию. Принципиальное отличие между ними заключается в том, что если ψ-функция возвращает любые ординалы, то χ-функция возвращает всегда только регулярные ординалы. По определению, если n < I, то χ(n) - возвращает n-ный несчетный регулярный ординал (считая с нуля). Тут важно отметить, что ω-ный регулярный ординал это ω_ω+1, потому что, как вы должны помнить из прошлой части, |ω_ω| = ℵ_ω - регулярным не является. Следовательно, пользуясь обозначениями коллапсирующей функции, мы получим следующие преобразования: χ(0) = Ω, χ(1) = Ω₂, χ(2) = Ω₃, χ(ω) = Ω_ω+1, χ(Ω) = χ(χ(0)) = Ω_Ω+1, χ(Ω) = χ(χ(1)) = Ω_Ω+2, χ(Ω_ΩΩΩ...) = Ω_{(ΩΩΩ...+1)} = Ω_Ф(1,0)+1, и т.д. В целом, принципы коллапсирования позволяют определить общее свойство χ(n) = Ω_n+1, гласящее что n-ный несчетный кардинал равен кардиналу, который предшествует n-ному несчетному регулярному кардиналу. Однако работает это свойство только пока аргумент функции меньше недостижимого кардинала (n < I).

Теперь у нас есть функция, которая может генерировать регулярные кардиналы, и она будет необходима для нашего последовательного рекурсивного коллапсирования недостижимых кардиналов с разной степенью недостижимости. Однако как быть с предельными кардиналами, которые не являются регулярными, они так же участвуют в этой цепи коллапсирования в качестве диагонализаторов объединяющих бесконечные последовательности из регулярных кардиналов, функция χ(n) - не может их генерировать. Для того чтобы создавать такие ординалы Ратъен изменил ψ-функцию Бухольца. Как ни странно, но после данного изменения рекурсивное определение на языке теории множеств этой части функции стало проще, хотя обобщенный принцип коллапсирования стал сложнее. Но что самое важное, теперь стало возможно легко и просто определить фундаментальные последовательности на основе теоретико-множественного определения, что мы и сделаем, когда я ниже приведу формальное описание функции. Общее свойство коллапсирования теперь стало следующим:
ψ_χ(k)(α) = ω^Ω_k+β, где α = k+β - если α > k, k - предельный ординал или ноль.
ψ_χ(k)(α) = ω^Ω_k+β+1, где α = k+β - если α > k, k - очередной ординал.
ψ_χ(k)(α) = ω^Ω_α - если α ≤ k, k - предельный ординал или ноль.
ψ_χ(k)(α) = ω^Ω_α+1 - если α ≤ k, k - очередной ординал.

Ну а в таблице я привел примеры работы функции, и как видно, коллапсирование теперь стало немного более запутанным на начальных стадиях, при относительно малых аргументах функции, но с ростом аргумента все выравнивается и становится таким же как было у Бухольца. Все равно мы начинаем использовать очередной уровень ψ-функции только с появлением диагонализатора (ψ_Ωk+1(Ω_k+1) = ε_Ωk+1), когда рекурсии доходят до уровня бесконечной тетрации и выравнивание уже произошло. Однако данное изменение становится невероятно полезным для простой генерации предельных кардиналов, ведь на основе данного изменения можно вывести еще одно очевидное свойство: ψ_χ(α)(α) = Ω_α, и ψ_χ(α)(α+n) = ω^Ω_α+n, где α - предельный ординал. Конечно можно было бы прибегнуть к другому способу выражения предельных кардиналов и без изменения ψ-функции, но именно данный способ в добавок поможет нам ввести диагонализатор верхенего уровня в ψ-функции, но про это я расскажу дальше.

До момента пока не появляется необходимость коллапсировать ординалы бо́льшие, чем первая неподвижная точка нисходящей кардинальности (α↦Ω_α = Ω_ΩΩΩ...), ψ-функция и χ-функция идеально работают в тандеме, проходя весь путь коллапсирования проложенный функцией Бухольца. Я думаю уже каждый, кто смог дочитать до этого момента и хоть немного разобрался рекурсиях, сможет самостоятельно переписать большинство выражений коллапсирующей функции Бухольца, заменив в них все обозначения с Ω на выражения записанные с помощью χ-функции. Конечно в таком виде все будет выглядеть более громоздко, но это своего рода жертва, которую нужно всякий раз приносить в дар мощным рекурсиям, поскольку, вводя все более сильные рекурсии, мы жертвуем лаконичной записью относительно малых рекурсий, чтобы иметь возможность кратко записать большие рекурсии.

Однако, начиная с кардинала Ω_ΩΩΩ... , для ψ и χ подфункций Ратъена все меняется, и здесь его коллапсирующая функция начинает буксовать. Исходя из строго рекурсивного теоретико-множественного определения функции, получается что ψ_π(n) = Ω_ΩΩΩ..., в случае Ω_ΩΩΩ...≤ n ≤ M, и Ω_ΩΩΩ...≤ π ≤ M. Ну а χ-функция не может сдвинуться с места, начиная с недостижимого кардинала: χ(I) = I. Такой ступор следует напрямую из свойств недостижимого кардинала, ведь по определению это регулярный кардинал имеющий кардинальность равную самому этому кардиналу, значит и его порядковый номер в списке регулярных кардиналов равен ему же самому. Кроме того сам по себе I напрямую не определен в функции, он наличествует в ее определении лишь как составная часть Махло кардинала, значит его необходимо сгенерировать, это и приводит к тому что χ(n) = I, в случае I ≤ n ≤ M. Вот здесь на сцену и выходит наш Махло кардинал, получается что его необходимо ввести как диагонализатор высшего уровня, чтобы сдвинуть нашу функцию с мертвой точки. Причем, поскольку по определению Махло кардинал является пределом одновременно как для регулярных кардиналов, так и для предельных на них кардиналах, то он выступает диагонализатором сразу в обоих ψ и χ подфункциях. Тогда χ(M) = I, ну и следовательно: ψ_M(M) = ψ_χ(M)(M) = ψ_I(M) = Ω_ΩΩΩ... Стоит заметить, что использование Махло кардинала как диагонализатора для ψ-функции стало возможно только благодаря ее вышеописанному изменению. А раз на сцену вышел диагонализатор высшего уровня, тогда по правилам коллапсирующей функции, для получения итогового счетного ординала, мы не должны писать всю цепь подфункций, они и так подразумеваются, значит ψ(M) = ψ(Ω_ΩΩΩ...).

Здесь давайте еще раз подробнее обсудим, что такое диагонализатор высшего уровня и почему он так важен для коллапсирующей функции. Как я уже объяснял это еще в третьей части, не всякая ординальная коллапсирующая функция будет являться ординальной нотацией. Вспомним главные требования к ординальной нотации, ну во-первых она обязательно должна быть вполне упорядочена, и это понятно, поскольку необходимо для того чтобы в ней можно было бы определить фундаментальные последовательности, которые и являются рекурсивной способностью в чистом виде, так чтобы их можно было использовать для создания больших конечных чисел. Однако упорядоченность является не единственным требованием, например, в соответствии с аксиомой выбора любой ординал будет вполне упорядоченным, даже несчетный. Нам же нужны именно рекурсивные счетные ординалы, так чтобы у нас была теоретическая возможность записать каждый из них конечным образом, только в этом случае можно определить порядковые отношения между ними. Поэтому только такая ординальная коллапсирующая функция является ординальной нотацией, которая имеет нормальную форму, или иными словами дает теоретическую возможность записать любой ординал (вплоть до ее предела) конечным образом. Я называю возможность теоретической, потому что "любой" ординал может быть сколь угодно большим и сложным, то есть теоретически мы можем исписать средствами нотации хоть всю вселенную или мультивселенную, но запись должна быть конечной. При этом, как вы можете догадаться, в соответствии с теоремой Гёделя, ординал являющийся пределом ординальной нотации не получится записать конечным способом. И самое главное для того чтобы создать полноценную ординальную нотацию в ней необходимо определить алгоритм рекурсивного арифметического соотношения ординалов, что мы с вами не делаем ни для одной из используемых коллапсирующих функций, потому что это сложный и по сути ненужный нам процесс. Вместо этого мы определяем фундаментальные последовательности, которые перекладывают рекурсии из выраженных функцией ординалов на конечные числа. Так или иначе, если бы коллапсирующая функция не позволяла бы записывать какие-то ординалы конечным способом (не обладала бы нормальной формой), то тогда бы алгоритм рекурсивного арифметического соотношения ординалов зависал, и был бы не рабочим, то есть создание ординальной нотации на основе коллапсирующей функции не получилось бы, так же и все определенные фундаментальные последовательности тоже либо прерывались, либо зацикливались, и следовательно не работали, ну и никакого толку от такой коллапсирующей функции для нас бы не было.

Так вот диагонализаторы высшего уровня как раз и дают возможность конечной записи ординалов. Например, запись ψ(Ω_ω+1) подразумевает ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_Ωω+1(Ω_ω+1)...))), и считается более корректной поскольку является конечной. Но диагонализатор верхнего уровня не только позволяет не писать всю цепь коллапсирующих подфункций, так же он дает возможность отобразить все происходящее внутри этих подразумевающихся подфункций. Ниже я приведу ряд примеров для демонстрации того как это работало в предыдущих коллапсирующих функциях:

ψ(Ω₂+1) = ψ_Ω(ψ_Ω2(Ω₂))×ω = ψ_Ω(ψ_Ω2(Ω₂)+1)
ψ(Ω₂+ψ_Ω2(Ω₂)) = ψ_Ω(ψ_Ω2(Ω₂)×2)
ψ(Ω₂+ψ_Ω2(Ω₂+1)) = ψ_Ω(ψ_Ω2(Ω₂)×ω)

ψ(Ω_ω+1+1) = ψ(Ω_ω+1)×ω = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_Ωω+1(Ω_ω+1)...))+1)
ψ(Ω_ω+1+ψ_Ω2(Ω_ω+1)) = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_Ωω+1(Ω_ω+1)...))×2)
ψ(Ω_ω+1+ψ_Ω2(Ω_ω+1+1)) = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_Ωω+1(Ω_ω+1)...))×ω) = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_Ωω+1(Ω_ω+1)...)+1))
ψ(Ω_ω+1+ψ_Ωω+1(Ω_ω+1)) = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_Ωω+1(Ω_ω+1)×2...)))
ψ(Ω₂+ψ_Ωω+1(Ω_ω+1+1)) = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_Ωω+1(Ω_ω+1)×ω...))) = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_Ωω+1(Ω_ω+1+1)...)))

ψ(I+1) = ψ(I)×ω = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_I(I)...))+1)
ψ(I+ψ_I(0)) = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_ΩΩΩ...+1(...ψ_I(I)...)+Ω_ΩΩΩ......)))
ψ(I+ψ_I(I)) = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_ΩΩΩ...+1(...ψ_I(I)...)×2...)))
ψ(I+ψ_I(I)+1) = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_ΩΩΩ...+1(...ψ_I(I)...)×2...))+1)
ψ(I+ψ_I(I)+ψ_I(I)) = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_ΩΩΩ...+1(...ψ_I(I)...)×3...)))
ψ(I+ψ_I(I)×ω) = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_ΩΩΩ...+1(...ψ_I(I)...)×ω...))) = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_ΩΩΩ...+1(ψ_ΩΩΩ...+2(...ψ_I(I)...)+1)...)))
ψ(I+Ω_ψI(I)+1) = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_ΩΩΩ...+1(ψ_ΩΩΩ...+2(...ψ_I(I)...)×2)...)))
ψ(I+ψ_I(I+1)) = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_I(I+1)...)))

Коллапсирующая функция Ратъена не является исключением из этого правила, она так же использует эти преобразования, чтобы с использованием диагонализатора верхнего уровня можно было записывать выражения функции конечным способом. Поэтому, исходя из описанных выше свойств функции, мы можем расписать диагонализатор высшего уровня следующим образом: ψ(M) = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_χ(M)(M)...))) = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_χ(M)(...ψ_χ(M+1)(...ψ_χ(M+2)(...ψ_M(M)...)...)...)...))). Дальнейшие же преобразования подчиняются тем же правилам, что и в предыдущих коллапсирующих функциях, например: ψ(M+1) =  ψ(M)×ω = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_M(M)...)+1)), и ψ(M+ψ_χ(M)(M)) = ψ_Ω(ψ_Ω2(ψ_Ω3(...ψ_χ(M)(...ψ_M(M)...)×2...))). Это важное свойство обязательно нужно запомнить и всегда держать в голове, особенно когда вы будете изучать сравнительные таблицы, чтобы правильно осознавать масштаб происходящих в функции рекурсий.

Тогда если с диагонализатором разобрались, то можем продвигаться дальше. Выражение χ(ψ_χ(M)(M)) = χ(Ω_ΩΩΩ...) сгенерирует нам кардинал Ω_{(ΩΩΩ...+1)}, а его полное коллапсирование будет выглядеть так ψ(M+χ(ψ_χ(M)(M))). Затем, исходя из рекурсивного теоретико-множественного определения функции, мы получим ψ_χ(M)(M+1) = χ(χ(χ(χ(...ψ_χ(M)(M)...)))) - вторую неподвижную точку Ω_ΩΩΩ... или Ф(1,1) или ψ(ψ_I(1)), как мы записывали ее раньше, аналогично ее полное коллапсирование должно выглядеть так ψ(M+ψ_χ(M)(M+1)). Учитывая таким образом n-ные неподвижные точки Ω_ΩΩΩ..., как ψ(M+ψ_χ(M)(M+n)), мы со временем придем к неподвижной точке на неподвижных точках Ф(2,0) = Ф(1,Ф(1,Ф(1,...))) = ψ(M+ψ_χ(M)(M+ψ_χ(M)(M+ψ_χ(M)(M+...)))), которая так же как и в предыдущих коллапсирующих функциях диагонализируется недостижимым кардиналом (ψ(I)), но только уже в виде следующей записи: ψ(M+I) = ψ(M+χ(M)).

С этого момента функция Ратъена использует все рекурсивные наработки предыдущих коллапсирующих функций, только выражает их иначе, с использованием диагонализатора верхнего уровня (Махло кардинала), тем самым поэтапно выстраивая иерархию Бахмана на уровнях недостижимости.

Таким образом, мы имеем следующие соотношения: для последующих регулярных кардиналов ψ(Ω_I+1) = ψ(M+χ(M+1)), ψ(Ω_I+2) = ψ(M+χ(M+2)), а для предельного нерегулярного ординала в соотвествии с правилами коллапсирования: ψ(Ω_I+ω) = ψ(M+ψ_χ(M+ω)(M+ω)), а затем снова  ψ(Ω_I+ω+1) = ψ(M+χ(M+ω)), ψ(Ω_I+ω+2) = ψ(M+χ(M+ω+1)), и так далее до ψ(Ω_I+ω×2)  = ψ(M+ψ_χ(M+ω×2)(M+ω×2)), и так далее, и так далее. Кстати, на основе того что мы выяснили про диагонализатор высшего уровня, можно вывести следующее общее правило: ψ(M+ψ_χ(M+n)(M+n)) = ψ(M+ψ_M(M+n)) - где n - предельный ординал, которое может сделать запись функции более краткой. Однако я не буду использовать подобное сокращение, чтобы не усложнять для вас понимание процессов коллапсирования.

Дойдя до ψ(Ω_ΩΩ...ΩI+1) = ψ(ψ_I2(0)), мы получим неподвижную точку из последовательности вложенного сложения χ-подфункций ψ(M+χ(M+χ(M+χ(M+χ(M+...))))), которая будет диагонализирована так ψ(M+M) = ψ(M×2). На этом сопоставлении можно уследить логику, которая далее будет повсеместно встречаться в коллапсирующей функции: находясь внутри функции неподвижные точки подфункции α↦ψ_π(α) будут диагонализировны χ-подфункцией, которая ранее была аргументом π в ψ-подфункции. В свою очередь неподвижные точки α↦χ(α) всегда диагонализируются чистым (находящимcя не под функцией) Махло кардиналом. Причем под α подразумевается не просто аргумент, а аргумент вместе с арифметическим действием, которое совершается над диагонализатором высшего уровня, как в приведенном выше примере диагонализации: ψ(α↦M+χ(α)) = ψ(M+M).

Особый интерес так же представляет выражение вот такого ординала ψ(Ω_ψI2(0)+1). Тут следует понимать, что предельные ординалы выражаемые ψ-подфункцией зачастую меньше регулярных ординалов выражаемых χ-подфункцией, а те в свою очередь всегда меньше Махло-кардинала и всех определенных на нем через арифметические действия ординалов. Поэтому, если ψ_I2(0) соответствует ψ_χ(M×2)(M×2), то следующий регулярный кардинал Ω_ψI2(0)+1 должен соответствовать χ(M+ψ_χ(M×2)(M×2)), а не χ(M×2), потому что, если вы все правильно поняли, второй ординал выражаемый через χ-подфункцию должен быть больше первого. Ну и тогда получается, что следующая неподвижная точка ψ(Ω_{ΩΩ...ψI2(0)+1}) = ψ(ψ_I2(1)), пройдя через последовательность ψ(M×2+χ(M+χ(M+χ(M+χ(M+...ψ_χ(M×2)(M×2)...))))), будет диагонализирована так ψ(M×2+ψ_χ(M×2)(M×2+1)). Дальше же все происходит аналогично, и как выражение ψ(I) из прежней коллапсирующей функции соответствовало ψ(α↦M+ψ_χ(M)(α)) = ψ(M+χ(M)), так же и ψ(I₂) будет соответствовать ψ(α↦M×2+ψ_χ(M×2)(α)) = ψ(M×2+χ(M×2)).

Такие сопоставления с прежней функцией будут продолжаться до тех пор пока мы не встретим кардинал I_ω, который, как мы помним по определению прошлой коллапсирующей функции, регулярным не является (и соответственно недостижимым так же не является). Он просто предельный, значит и выражаться будет новой коллапсирующей функцией так ψ_χ(M×ω)(M×ω), и только следующий за ним регулярный станет Ω_Iω+1 =  χ(M×ω). Однако, дальше все происходит по прежней схеме: ψ_Iω+1(0) = ψ_χ(M×ω+M)(M×ω+M) = ψ_{χ(M×(ω+1))}(M×(ω+1)) и I_ω+1 =  χ(M×ω+M) =  χ(M×(ω+1)), затем ψ_Iω+2(0) = ψ_{χ(M×(ω+1))}(M×(ω+1)) и I_ω+2 =  χ(M×(ω+2)), до тех пор пока мы не доберемся до I_ω×2, который опять не является регулярным, и соответствует ψ_{χ(M×(ω×2))}(M×(ω×2)), и лишь Ω_Iω×2+1 будет χ(M×(ω×2)). В целом мы снова можем вывести общее правило диагонализации, но уже для умножения: I_n = ψ_χ(M×n)(M×n) = ψ_M(M×n) - где n - предельный ординал, кроме лаконичной записи это правило так же поможет разобраться с такими кардиналами как I_I, который, как мы помним, регулярным не является, ибо сам I - недостижимый кардинал, как ординал, по своим свойствам предельный, следовательно I_I = ψ_χ(M×χ(M))(M×χ(M)) и  Ω_II+1 =  χ(M×χ(M)), так же как I_II = ψ_{χ(M×χ(M×χ(M)))}(M×χ(M×χ(M))) и Ω_III+1 = χ(M×χ(M×χ(M))). В конечном итоге мы дойдем до очередной неподвижной точки I_III... = χ(M×χ(M×χ(M×χ(M×...)))), и по правилам диагонализации получим ψ(ψ_I(2,0)(0)) = ψ(I_III...) = ψ(α↦M×χ(α)) = ψ(M×M) = ψ(M²).

Получается интресная картина, следующие n-ные регулярные кардиналы идущие после недостимижого выражались нашей коллапсирующей функцией через сложение над Махло ординалом. Следующие n-ные недостижимые кардиналы выражались через умножение над Махло ординалом. Следовательно, исходя из такой логики и правил коллапсирующей функции, следующие n-недостижимые кардиналы должны выражаться через степень над Махло ординалом. Вот так и выстраиваются начальные этапы Иерархии Бахмана на выражении недостижимости кардиналов. Подробно останавливаться на каждом n-недостижимом не будем, здесь все преобразования будут те же что и раньше, только на новом уровне. Приведу ряд только некоторых интересных примеров:
Ω_{ψI(2,0)(0)+1} =  χ(M×ψ_χ(M²)(M²))
Ω_{ψI(3,0)(0)+1} =  χ(M²×ψ_χ(M³)(M³))
Ω_{ψI(4,0)(0)+1} =  χ(M³×ψ_χ(M⁴)(M⁴))

В этих примерах еще раз наглядно показывается, что функция всегда должна учитывать меньшие кардиналы, констурирование которых она делает возможным. Ведь как только мы вводим M², то сразу на основе него получаем ординал ψ_χ(M²)(M²) соответствующий ψ_I(2,0)(0), а значит следующий за ним регулярный должен быть χ(M×ψ_χ(M²)(M²)), просто потому что у нас уже есть ψ_χ(M²)(M²) и мы можем использовать его в χ-подфункции. И такая логика справедлива для всех конструкций создающих n-недостижимые кардиналы с их последующим коллапсированием.

Но давайте сразу перейдем к их пределу ψ_I(ω,0)(0) = sup(I(n,0))|n<ω, этот кардинал не является недостижимым и в соотвествии с правилами нашей новой коллапсирующей функции будет выражен ψ_M(M^ω) = ψ_χ(M^ω)(M^ω), а полное коллапсирование можно записать еще короче ψ(ψ_I(ω,0)(0)) = ψ(M^ω). Дальше мы получим следующий за ним регулярный Ω_{ψI(ω,0)(0)+1} соотвествующий χ(M^ω), и как можно заметить тут не работает то правило, что мы выразили выше в примерах, потому что по правилам ординальной арифметики M^ω-1 = M^ω, и мы просто не можем создать выражение меньшее чем χ(M^ω), чтобы выразить этот ординал, полное коллапсирование будет выглядеть так ψ(Ω_{ψI(ω,0)(0)+1}) = ψ(M^ω+χ(M^ω)). Эта маленькая деталь дальше приведет к значимому расхожению функции Ратьена с нашей прежней функцией коллапсирования недостижимых кардиналов. Так уже ψ_I(ω,0)(1) = sup(I(n,ψ_I(ω,0)(0)+1)|n<ω будет выражаться ψ_χ(M^ω×2)(M^ω×2) = ψ_{χ(M^ω+M^ω)}(M^ω+M^ω) = ψ_M(sup(M^ω+Mⁿ)|n<ω). Следовательно выражение ординала, который мы раньше получали так: ψ(I(ω,0)) =  ψ(ψ_I(ω,0)(ψ_I(ω,0)(ψ_I(ω,0)(...)))), вводя ω-недостижимый кардинал как диагонализатор неподвижной точки пределов на n-недостижимых кардиналах, в коллапсирующей функции Ратъена будет таким: ψ(M^ω+1) = ψ(M^ω×M) = ψ(M^ω×χ(M^ω×χ(M^ω×χ(M^ω×...)))). И только ψ(I(ω,0)×2) будет соответствовать ψ(M^ω+1+χ(M^ω+1)). Похожие расхождения будут и при коллапсировании n-ных ω-недостижимых кардиналов и их пределов. Вот, к примеру, какие соответствия будут при коллапсировании следующего ω-недостижимого кардинала:
ψ(ψ_I(ω,1)(0)) = ψ(sup(I(n,I(ω,0)+1)|n<ω) = ψ(M^ω+1+M^ω) = ψ(sup(M^ω+1+Mⁿ)|n<ω)
ψ(ψ_I(ω,1)(1)) = ψ(M^ω+1+M^ω+M^ω) = ψ(M^ω+1+M^ω×2)
ψ(I(ω,1)) = ψ(M^ω+1×2) = ψ(M^ω+1+M^ω+1)
ψ(I(ω,1)×2) = ψ(M^ω+1×2+χ(M^ω+1×2))

Можно вывести даже общее правило для таких расхождений.
ψ(ψ_I(ω,α)(0)) = ψ(M^ω+1×α+M^ω)
ψ(ψ_I(ω,α)(1)) = ψ(M^ω+1×α+M^ω×2)
ψ(I(ω,α)) = ψ(M^ω+1×2) = ψ(M^ω+1+M^ω+1)
ψ(I(ω,α)×2) = ψ(M^ω+1×2+χ(M^ω+1×2))

Дальше, однако для (ω+n)-недостижимым кардиналов, снова все выравнивается и расхождения не наблюдаются. В этом можно убедиться на примере коллапсирования (ω+1)-недостижимого кардинала.
ψ(ψ_I(ω+1,0)(0)) = ψ(α↦I(ω,α)) = ψ(M^ω+2) = ψ(M^ω+1×M)
ψ(Ω_{ψI(ω+1,0)(0)+1}) = ψ(M^ω+2+χ(M^ω+1×ψ_χ(M^ω+2)(M^ω+2)))
ψ(I(ω+1,0)) = ψ(α↦ψ_I(ω+1,0)(α)) = ψ(M^ω+2+χ(M^ω+2))
ψ(Ω_I(ω+1,0)+1) = ψ(M^ω+2+χ(M^ω+2+1))

Однако на (ω×2)-недостижимом кардинале это расхождение снова вернется.
ψ(ψ_I(ω×2,0)(0)) = ψ(M^ω×2)
ψ(Ω_{ψI(ω×2,0)(0)+1}) = ψ(M^ω×2+χ(M^ω×2))
ψ(I(ω×2,0)) = ψ(M^ω×2+1)
ψ(I(ω×2,0)×2) = ψ(M^ω×2+1+χ(M^ω×2+1))

В целом можно проследить закономерность, что расхождение будет сохраняться для коллапсирования всех α-недостижимых кардиналов, где α - предельный ординал. Причина этого в том, что прежняя функция не делала раличий при диагонализации обычных пределов α→ω на n-недостижимых кардиналах и неподвижных точек α↦f(α) на n-недостижимых кардиналах, принципы диагонализации были одинаковые, хотя ситуации весьма разные. Функция Ратъена же в свою очередь естественным образом учитывает разницу между этими ситуациями, поэтому мы получаем небольшое расхождение. Но это, казалось бы совсем небольшое расхождение, да и к тому же постоянно выравнивающееся, послужит нам помощником в упрощенном выражении коллапсирующей иерархии. Просто сравните сопоставления, которые я приведу ниже, и убедитесь, что итоговые записи, созданных в результате коллапсирования, счетных ординалов стали намного лаконичнее.
ψ(ψ_I(α,0)(0)) = ψ(M^α)
ψ(I(α+1,0)) = ψ(M^α+1)
где α - предельный ординал

Отсюда сразу перейдем к коллапсированию первой неподвижной точки α↦α-недостижимых кардиналов. Ранее мы выражали это ординал следующим образом ψ_I(1,0,0)(0) = α↦I(α,0) = I(I(I(I(...,0),0),0),0). А в соответсвии с правилами нашей новой коллапсирующей функции этот ординал выглядел бы вот так χ(M^{χ(Mχ(Mχ(M...)))}) и должен диагонализироваться ψ_M(M^M) = ψ_χ(M^M)(M^M). Не буду останавливаться на повторном разъяснении того как достичь следующую подобную неподвижную точку, а чтобы освежить память можете заново прочитать об этом в прошлой части, скажу только что для нашей новой коллапсирующей функции в выражении следующей неподвижной точки α↦α-недостижимых кардиналов никаких рассхождений не будет, аналогично, к примеру: ψ_I(1) = ψ_I(1,0)(1) = ψ_χ(M)(M+1), она тоже будет выражена ψ_I(1,0,0)(1) = ψ_χ(M^M)(M^M+1). Так же никаких сюрпризов не будет при выражении гипер-недостижимого кардинала, подобно тому как раньше обычный недостижимый I = I(1,0) мы выражали через χ-подфункцию χ(M), так же и гипер-недостижимый тоже будет выражен через χ-подфункцию: I(1,0,0) = χ(M^M). Поскольку он диагонализирует неподвижную точку на неподвижных точках α↦α-недостижимых кардиналов, то так же как коллапсирование обычного недостижимого, который диагонализировал фиксиованную точку на неподвижных точках обычных регулярных кардиналов: ψ(Ф(2,0)) = ψ(Ф(1,Ф(1,Ф(1,...)))) = ψ(M+ψ_χ(M)(M+ψ_χ(M)(M+ψ_χ(M)(M+...)))) = ψ(M+χ(M)), полное коллапсирование гипер-недостижимого будет происходить подобным образом: ψ(M^M+ψ_χ(M^M)(M^M+ψ_χ(M^M)(M^M+ψ_χ(M^M)(M^M+...)))) = ψ(M^M+χ(M^M)).

С этого момента функция ведет себя очень предсказуемо, и мы уже с легкостью можем выразить Вебленскую иерархию на степени недостижимости кардиналов, через иерархию Бахмана, которую предоставляет нам функция Ратъена. Например, кардинал I(2,3,4,1,2,1) будет выражен так χ(M^{M4×2+M3×3+M2×4+M+2}×2). Общая закономерность будет такой I(n_k, ..., n₄,n₃,n₂,n₁,n₀) = χ(M^{Mk-1×n_k+...+M3×n₄+M2×n₃+M×n₂+n₁}×(n₀+1)).

Дальше, когда мы совершим переход к выражению матричного вида иерархии веблена, нам опять встретится небольшое расхождение, поскольку нам снова придется коллапсировать предел α→ω для I(¹_α), который мы раньше выражали таким образом ψ_I(¹ω)(0), в функции Ратъена диагонализируется так ψ_M(M^Mω) = ψ_χ(M^Mω)(M^Mω). Расхождение будет работать похожим образом на те что были ранее.
ψ(ψ_I(¹ω)(0)) = ψ(sup(I(¹_n))|n<ω) = ψ(M^Mω) = ψ(sup(M^Mn)|n<ω)
ψ(Ω_{ψI(¹ω)(0)+1}) = ψ(M^Mω+χ(M^Mω))
ψ(ψ_I(¹ω)(1)) = ψ(sup(I(¹_n^{ψ_I(1ω)(0)+1}₀))|n<ω) = ψ(M^Mω×2) = ψ(M^Mω+M^Mω) = ψ(M^Mω+sup(M^Mn)|n<ω)
ψ(I(¹_ω)) = ψ(α↦ψ_I(¹ω)(α)) = ψ(M^Mω+1) = ψ(M^Mω×M) = ψ(M^Mω×χ(M^Mω×χ(M^Mω×...)))
ψ(I(¹_ω)×2) = ψ(M^Mω+1+χ(M^Mω+1))
ψ(Ω_I(¹ω)+1) = ψ(M^Mω+1+χ(M^Mω+1+1))

Так же как и раньше расхождение будет нивелировано при коллапсировании кардиналов I(¹_α), где α - очередной ординал.
ψ(ψ_I(¹ω+1)(0)) = ψ(M^Mω+1) = ψ(M^Mω×M) = ψ(M^{Mω×χ(MMω×...)})
ψ(Ω_{ψI(¹ω+1)(0)+1}) = ψ(M^Mω+1+χ(M^{Mω×ψ_χ(MMω+1)(MMω+1)}))
ψ(I(¹_ω+1)) = ψ(M^Mω+1+χ(M^Mω+1))

Однако всякий раз расхождение будет возвращаться при коллапсировании кардиналов I(¹_α), где α - предельный ординал. И так пока мы не дойдем до орднала α↦I(¹_α), который является обычной неподвижной точкой, а не предельным ординалом типа α→ω, и расхождений при его коллапсировании быть ниаких не должно ψ_I(¹1,0)(0) = ψ_M(M^MM) = ψ_χ(M^MM)(M^MM).
ψ(ψ_I(¹1,0)(0)) = ψ(M^MM) = ψ(M^Mχ(MM...))
ψ(Ω_{ψI(¹1,0)(0)+1}) = ψ(M^MM+χ(M^{Mψ_χ(MMM)(MMM)}))
ψ(ψ_I(¹1,0)(1)) = ψ(M^MM+ψ_χ(M^MM)(M^MM+1)) = ψ(M^MM+χ(M^{Mχ(MM...ψ_χ(MMM)(MMM)...)}))
ψ(I(_¹1,0)) = ψ(M^MM+χ(M^MM)) = ψ(M^MM+ψ_χ(M^MM)(M^MM+ψ_χ(M^MM)(M^MM+...)))
ψ(Ω_I(¹1,0)+1) = ψ(M^MM+χ(M^MM+1))

Вобщем то на этом матричный вид иерархии Веблена уже исчерпал себя, а в функции Ратъена мы можем и дальше городить степенную башню, наращивая все более сильные рекурсии на представлении высших степеней недостижимости, что при их полном коллапсировании дает невероятно зарекурсивроанные счетные ординалы, пропустив которые через фундаментальные последовательности, мы получим невероятно гигантские конечные числа. Но чтобы не быть голословным, давайте я приведу формальное определение нашей новой ординальной коллапсирующей функции, с ее теоретико-множественным определением, свойствами и фундаментальными последовательностями, чтобы у нас был прочный фундамент для получения этих гигантских чисел. Так же сразу ниже вас ждет исполинская таблица с полным и подробным сопоставлением ординалов выраженных в прошлых и текущей коллапсирующих функциях.