Часть III Рекурсии на бесконечных рекурсиях

Не может существовать нечто, что можно было бы назвать самым большим, всегда можно создать что-то, что будет еще больше, а значит можно создать то, что будет даже больше бесконечности - одно из следствий Аксиомы бесконечности

В этой части мы возвращаемся к основной теме, к созданию больших чисел. Для начала вспомним все, что мы уже знаем о больших числах. Во-первых, любое по-настоящему большое число является формализацией, то есть некой условной записью. Представить это число в его естественном количественном виде непосильная задача для человеческого мозга. Во-вторых, мы знаем, что существуют нотации для создания чисел, то есть это некие условные записи цифр и знаков, которые дают нам возможность выразить числа. С математической точки зрения нотации представляют собой функции, в которые мы подставляем меньшие числа (цифры), чтобы получить бо́льшие числа. Чем больше в результате получается число, тем сильнее считается нотация. Но что лежит в основе силы нотаций, то есть функций, которыми они по сути являются? Ответ: чаще всего это рекурсии (есть и другие методы, которые даже еще сильнее, но мы их рассмотрим в дальнейшем). Так или иначе, при создании самого большого числа, все сводится к созданию самой быстрорастущей функции. То есть основным критерием таких функций будет следующее правило: подставляя меньшие аргументы (значения, которые функция принимает) мы получаем все бо́льшие результаты. В этой и следующих нескольких частях мы рассмотрим именно рекурсивные функции, вероятно это будет самой обширной темой моего повествования.

Перед тем как продолжить давайте дадим более общее определение понятию функция в математике, нежели чем то что вы проходили в школе. В теории множеств функцией называют зависимость между множествами, когда каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества. Например, функция f[сопоставление по составу] на множестве A{медная гайка, медный гвоздь, железная гайка, железный гвоздь} по множеству B{железо, медь}, записывается так f(a) = b, где a - элемент множества A, b - сопоставляемый ему элемент из множества B. При этом, a - называют аргументом функции, b - называют значением функции, множество A - называют областью определения функции, множество B - называют областью значений функции. Вот один из примеров работы функции: f(медная гайка) = медь.

Вроде бы все очевидно, и порой даже кажется, что теория множеств лишь усложняет интуитивные вещи. Но ее прелесть в том, что методы теории множеств одинаково применимы как к простым так и к сложным вещам. Вообще разновидностей функций великое множество, но нам нужен именно определенный вид - быстрорастущие функции. Для создания такого вида функций нужно сопоставить множеству натуральных чисел, такое множество, чтобы меньшие числа множества натуральных сопоставлялись с как можно бо́льшими числами из этого множества. Вот сравните три функции: счет чисел: f(n) = n+1, удвоение числа: f(n) = 2×n и квадрат числа: f(n) = n². В первом случае каждому из элементов множества натуральных чисел {0,1,2,3,4,...} сопоставляются элементы {1,2,3,4,5,...}, во втором случае сопоставляются элементы {0,2,4,6,8,...}, а в третьем случае элементы {0,1,4,9,16,...}. Очевидно, что третья функция растет быстрее всех, вторая чуть медленнее, и самым медленным ростом из этих трех функций обладает первая. Но заметьте что разгоняются они по разному, и глядя на первые сопоставления, можно сделать совсем иной вывод. Поэтому важно скорость роста функций определять не по первым элементам, а перспективно, или как говорят математики, по мере того как аргумент стремится к бесконечности. Формально сравнение скорости роста функций определяется так:

Аргументов у функции может быть несколько, разница будет лишь в том, что сопоставляться у нас будут не два множества, а больше. Например, функция f(n,m) = 2×n+m сопоставляет два множества натуральных чисел M и N, с результирующим множеством. Но для нас это не особо важно, мы всегда можем в определении функции сделать так: m = n и упростить ее: f(n) = 2×n+n, что так же ее усилит, и более того, как вы поймете в дальнейшем, это станет ключевым правилом для создания рекурсий.

Нотация - это тоже функция, а цифры являются ее аргументами. И как я объяснял в первой части, даже десятичная нотация является функцией, просто мы к ней привыкли, но мы можем выразить ее результат иначе, допустим, в натуральном виде, палочками. Например, число "12" в десятичной нотации - это два аргумента (в данном случае это базовые цифры 1 и 2), которые подставлены в функцию десятичного позиционного счисления: 12 = ||||||||||||, или число "κα" в древнегреческой нотации - это два аргумента, которые подставлены в функцию десятичного непозиционного счисления: κα = |||||||||||||||||||||.

Кроме того хотелось бы, чтобы запись числа выглядела лаконично. Не как гугол в десятичной нотации (Рисунок №1) и не как число Грема в гипероперационной нотации (Рисунок №15). Так что сила функции или нотации будет определяться не только скоростью роста, но и краткостью записи. Поэтому давайте мы с вами определим границы для записи числа, которое позволяет сделать нотация или функция. Договоримся о следующем: запись не должна превышать по содержанию 20 символов. Тогда максимальное число в десятичной нотации будет равно 99999999999999999999 (девяносто девять секстиллионов девятьсот девяносто девять квинтиллионов девятьсот девяносто девять квадриллионов девятьсот девяносто девять триллионов девятьсот девяносто девять миллиардов девятьсот девяносто девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять). Для выражения логарифмической нотации возьмем не запись вида 10ⁿ, а метод программистов (это позволит использовать дополнительный символ), но и в этом случае логарифмическая нотация закончится на E9999999999999999999, что больше чем гугол, но даже близко не дотягивает до гуголплекса. После логарифмической записи сразу рассмотрим гипероперационную, которая позволяет создавать вообще уже невообразимые числа, но записать число Грэма в 20 символах и ей не по зубам. Для этого мы можем воспользоваться расширенным гипероператором - нотацией, которую я создал в первой части, и записать Число Грэма так: 3[6,64]3. В общем, я думаю, основной принцип понятен.

Ну и как я говорил в первой части, рекурсии большинства быстрорастущих функций и нотаций, которые мы будем с вами рассматривать, становятся настолько сильными, что их невозможно визуализировать и чтобы осознавать масштабы создаваемых чисел нам нужен другой инструмент, который так же должен выступать в качестве универсального стандарта для сравнения силы этих нотаций и функций. Хорошо что такой измерительный эталон существует. В математике есть семейство функций, которые называют Функциями быстрорастущей иерархии, по-английски: Fast-growing hierarchy (FGH)^[140]. Вот их обычно и используют, чтобы сопоставлять с другими быстрорастущими функциями и измерять скорость, с которой они растут. Поэтому если мы хотим добраться до самых больших придуманных чисел, нам нужно понять что же это за функции быстрорастущей иерархии. Для начало дам формальное определение:
f₀(n) = n+1.
f_α+1(n) = f_αⁿ(n) = f_α(f_α(f_α(...f_α(n)...))) - n вложений.
f_α(n) = f_α[n](n), где α - предельный ординал,
α[n] - n-ный элемент фундаментальной последовательности ординала α.

Скорее всего многие ничего из этого определения не поняли, поэтому давайте разбираться наглядно, на примерах. Первая в семействе функций быстрорастущей иерархии это f₀(n), по сути, как следует из определения, это просто итерация n+1, или проще говоря, обычный счет:
f₀(1) = 1+1 = 2
f₀(2) = 2+1 = 3
f₀(3) = 3+1 = 4
f₀(4) = 4+1 = 5

Ничего сложного, это очень медленно растущая функция, но не самая медленная, которую только можно задать на натуральных числах. Например, можно придумать такую функцию: счет нечетных чисел, которая будет расти еще медленнее, результирующее множество будет выглядеть так {0,1,1,2,2,...}. Ноль - четное число - значит функция вернет ноль. Единица - нечетное число - функция вернет один. Двойка - четная, но до нее уже была нечетная единица - значит функция по-прежнему вернет один. Три - нечетное число, уже второе по счету - значит функция вернет два. И так далее. Можно придумать еще более медленно растущую функцию: счет чисел кратных трем. Потом, счет чисел кратных четырем. Ну и далее, в том же духе, короче говоря, самой медленно растущей функции не существует так же как и самой быстрорастущей. Более того, зачастую, они напрямую зависят друг от друга, определив некую быстрорастущую функцию всегда можно определить и обратную ей медленно растущую, и наоборот. Необходимо понимать, что пределов в гугологии нет. Покуда существует аксиома бесконечности не может быть ничего самого самого: ни множества всех множеств, ни самого большого ординала или кардинала, ни самого большого натурального числа, ни самой быстро или медленно растущей функции. Но все же это не значит, что мы не должны попытаться проверить способности нашего разума в постижении того, что скрывает эта бесконечность, и какие числа могут встретиться на вечном пути к ней.

Но вместо того чтобы грезить о недостижимом финише вернемся к нашей отправной точке, к функции счета. Конечно это очень медленный способ достижения больших чисел. Функция банального сложения (n+m) растет и то быстрее, потому как мы можем подставить любое число m, а не только 1. Теперь внимание! Функция дублирования: n+n, считается еще более быстрорастущей, чем сложение. Это очень важно понимать! В случае сложения (n+m) мы зависим от двух аргументов и чтобы увеличить результат нам нужно увеличить оба слагаемых, в случае дублирования же участвует всего один аргумент: n+n = 2×n, а значит для увеличения результата требуется меньше изменений внутри функции. Сформулируем это правило: среди двух почти одинаково растущих функций более быстрорастущей считается та, которая использует меньше аргументов. Это называют принципом диагонализации, а почему этот принцип имеет такое название я поясню на примере таблицы сложения, которую проходят в первом классе. В левом верхнем углу таблицы находятся самые малые ее значения, а в правом нижнем углу самые большие. Кратчайший путь от самых малых до самых больших значений будет пролегать по диагонали, как раз по тому пути и проходит функция дублирования: n+n.

Теперь давайте измерим эти функции нашим измерительным эталоном - функциями быстрорастущей иерархии. Следующей в этом семействе будет функция f₁(n), она определяется рекурсивно от предыдущей функции f₀(n). Объясняю что это значит: чтобы вычислить f₁(n) нужно сначала вычислить f₀(n), причем не просто вычислить а подставить саму в себя n-ное количество раз. Вот как это выглядит:
f₁(1) = f₀(1) = 1+1 = 2
f₁(2) = f₀(f₀(2)) = (2+1)+1 = 4
f₁(3) = f₀(f₀(f₀(3))) = ((3+1)+1)+1 = 6
f₁(4) = f₀(f₀(f₀(f₀(4)))) = (((4+1)+1)+1)+1 = 8
и т.д.
f₁(n) = f₀(f₀(f₀(...(n)...))) - n вложений

Когда функцию нужно рекурсивно вложить саму в себя несколько раз, это обычно записывают так fⁿ( ). То есть, мы можем более кратко записать: f₁(n) = f₀ⁿ(n). Так же выходит, что f₁(n) эквивалентна дублированию, то есть f₁(n) = 2×n, значит это одинаково быстрорастущие функции.

Идем дальше. Умножение (n×m) растет еще быстрее, поскольку мы вольны умножать не только на 2, а на любое число m. Возведение в квадрат имеет еще более быстрый рост, это происходит по той же причине, из-за которой дублирование растет быстрее сложения, банально, функции требуется всего один аргумент вместо двух: n² = n×n. Принцип диагонализации снова в действии, достаточно взглянуть на всем нам знакомую таблицу умножения, чтобы увидеть, что квадраты чисел расположены в ней по диагонали, и это кратчайший путь от малых значений к большим.

Возведение в куб (n³ = n×n×n) будет расти еще быстрее, возведение в четвертую степень (n⁴ = n×n×n×n) еще быстрее, и так далее... С увеличением показателя степени (n^m = n×n×n×... - m-раз) скорость роста функции будет увеличиваться.

Интересно то, что знакомый нам со второй части булеан 2ⁿ, растет быстрее любой степенной функции. Потому что это уже не степенная, а показательная функция. Дело в том, что n^m отличается от mⁿ, потому что во-первых степень некоммутативная операция, то есть от перестановки основания с показателем результат изменится, и бо́льший вклад в рост этой функции дает именно показатель. Ну а во-вторых, важно понимать, что из принципа диагонализации следует, что аргумент n - основной, а аргумент m - дополнительный (еще иногда в математике основной аргумент называют свободной переменной, а дополнительный - параметром). Значит мы должны считать функции более быстрорастущими, если увеличение именно основного аргумента приводит к бо́льшим результатам. Этот принцип наглядно можно продемонстрировать на следующих примерах:
5² = 25 < 2⁵ = 32
10³ = 1000 < 2¹⁰ = 1024
17⁴ = 83521 < 2¹⁷ = 131072
23⁵ = 6436343 < 2²³ = 8388608
30⁶ = 729000000 < 2³⁰ = 1073741824
37⁷ = 94931877133 < 2³⁷ = 137438953472
и т.д.

Из этих примеров следует, что для того чтобы соответствовать заданной скорости роста в функции n^m аргумент m тоже должен расти, при том что в функции mⁿ аргумент m может оставаться неизменным, и это доказывает, что показательные функции растут быстрее степенных.

Здесь снова переходим к функциям быстрорастущей иерархии. Следующая на очереди f₂(n), которая определяется так же рекурсивно f₂(n) = f₁ⁿ(n).
f₂(n) = f₁(f₁(f₁(...(n)...))) - n вложений, где каждый f₁(n) = f₀(f₀(f₀(...(n)...))) - n вложений.

Иными словами мы уже имеем рекурсию внутри рекурсии. Вот так это рассчитывается:
f₂(1) = f₁(1) = f₀(1) = 1+1 = 2
f₂(2) = f₁(f₁(2)) = f₁(4) = 8
f₂(3) = f₁(f₁(f₁(3))) = f₁(f₁(6)) = f₁(12) = 24
f₂(4) = f₁(f₁(f₁(f₁(4)))) = f₁(f₁(f₁(8))) = f₁(f₁(16)) = f₁(32) = 64
Следовательно, f₂(n) растет быстрее, чем булеан и равна: 2ⁿ×n.

А вот перед тем как разбирать уровень роста f₃(n), мы можем рассмотреть еще несколько других функций, которые растут намного медленнее нее и в то же время очень быстро для наших привычных масштабов. Например, функция 10ⁿ, которая лежит в основе логарифмической нотации, та самая при помощи которой обычно кратко записывают астрономически большие числа, типа размера вселенной, количества атомов в ней, или все тот же пресловутый гугол: 10¹⁰⁰. Эта функция растет быстрее чем f₂(n), так же как и любая другая показательная функция mⁿ, при условии, что ее основание m > 2. Однако нотация и функция, которая лежит в ее основе, это немного не одно и тоже. Для нотации важны правила записи аргументов. Например, десятичная и логарифмическая нотации принимают в качестве аргументов не все числа, а только те, которые выражены цифрами. И если другие функции тоже ограничить, разрешив подставлять в качестве аргументов лишь однозначные числа, то мы можем сравнить скорость роста чисел, которые можно записывать нотациями. Для десятичной нотации, например, скорость роста можно определить так:
9×9 < 99 < 9×9×9
9×9×9 < 999 < 9×9×9×9
9ⁿ < (n-значная десятичная нотация состоящая из цифр 9) < 9ⁿ⁺¹
Логарифмическая нотация растет быстрее
9⁹ < E9 < 9^9×9
9^9×9 < E99 < 9^9×9×9
9⁹ⁿ < (n-значная логарифмическая нотация состоящая из цифр 9) < 9⁹ⁿ⁺¹

Если мы введем функцию maxdec(n), которая будет определять максимальное число, которое можно написать в десятичной нотации с использованием n цифр, то получим соответствие maxdec(n) = 10ⁿ-1 и получается, что даже в таком виде мы имеем скорость роста меньше, чем у показательной функции с произвольным основанием mⁿ (однако аналогичная функция для логарифмической нотации maxlog(n) = 10¹⁰ⁿ-1 будет намного быстрее, и этот уровень роста мы еще рассмотрим в дальнейшем).

Функция nⁿ, назовем ее самостепень, растет еще быстрее, чем любая показательная функция mⁿ, причину этого я уже объяснял дважды и повторятся не буду, это все тот же принцип диагонализации. Где-то между ними затесался факториал (mⁿ < n! < nⁿ), любимая функция комбинаторики, та самая, которая считает число возможных перестановок в системе: n! = 1×2×3×...×n. Скорость роста этой функции уже поражает воображение, так например, число перестановок в обычной колоде карт соизмеримо с астрономическими величинами. Интересно то, что факториал стартует медленнее логарифмической нотации, но уже на E25 < 25! ≈ 1,55×10²⁵ обгоняет ее. Факториал (n!) всегда обгонит показательную функцию mⁿ какое бы основание степени мы не взяли (обгон точно произойдет на значении n, большем чем m×e, где e ≈ 2,7182818284... - Число Эйлера). Однако при этом факториал никогда не догонит самостепень. Это наглядный пример того, как принцип диагонализации делает функции еще более быстрорастущими, и что между функцией c двумя и более аргументами и ее диагонализацией по уровню скорости роста может вклиниться еще какая-нибудь функция.
2⁴ = 16 < 4! = 24 < 4⁴ = 256
3⁷ = 2187 < 7! = 5040 < 7⁷ = 823543
4⁹ = 262144 < 9! = 362880 < 9⁹ = 387420489
5¹² = 244140625 < 12! = 479001600 < 12¹² = 8916100448256
и т.д.

Вот вам еще несколько таких примеров. Аналог факториала, только для сложения называется функцией треугольного числа: T(n) = 1+2+3+4+...+n. Данная функция растет быстрее функции умножения на произвольное число (n×m), всякий раз обгоняя ее на значении n, большем чем m×2, однако ее рост медленнее чем у функции квадрата (n×n). Можно даже вывести строгое соответствие между ростом этих функций n² = T(n)+T(n-1).
(3×2) = 6 = T(3) = 6 < 3² = 9
(4×2) = 8 < T(4) = 10 < 4² = 16
(5×3) = 15 = T(5) = 15 < 5² = 25
(6×3) = 18 < T(6) = 21< 6² = 36
(7×4) = 28 = T(7) = 28 < 7² = 49
(8×4) = 32 < T(8) = 36 < 8² = 64
(9×5) = 45 = T(9) = 45 < 9² = 81
(10×5) = 50 < T(10) = 55 < 10² = 100
(11×6) = 66 = T(11) = 66 < 11² = 121
и т.д.

Другая знаменитая функция, которая носит имя итальянского математика Фибоначчи, тоже вклинивается по скорости роста, но уже между степенными (n^m) и показательными функциями (mⁿ). Функция Фиббоначи - это одна из первых известных человечеству рекурсивно-определенных функций: следующее значение функции есть сумма двух предыдущих, или более формально F(n) = {F(n > 1) = F(n-1)+F(n-2); F(1) = 1; F(0) = 0}^[141]. Функция создает следующую последовательность чисел {0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...} и имеет глубокий смысл, она выводится из принципов золотого сечения, а ее проявления можно повсюду отследить в природе. Что касается ее скорости роста, то Функция Фиббоначи F(n) всегда обгонит степенную функцию (n^m) (это точно произойдет на значении n, большем m×log_Ф(n), где Ф ≈ 1,6180339887... - Золотое сечение). Однако уже булеан (2ⁿ) обходит Функцию Фиббоначи F(n) сразу и по всем значениям n.
14² = 196 < F(14) = 233 < 2¹⁴ = 16384
22³ = 10648 < F(22) = 10946 < 2²² = 4194304
32⁴ = 1048576 < F(32) = 1346269 < 2³² = 4294967296
42⁵ = 130691232 < F(42) = 165580141 < 2⁴² = 4398046511104
и т.д.

А вот вам еще две вклинивающиеся функции суперфакториал: n$ = 1!×2!×3!×...×n!, и гиперфакториал: n^$ = 1¹×2²×3³×...×nⁿ, которые растут намного быстрее чем обычный факториал, быстрее чем самостепень (nⁿ) и даже быстрее функции n^n×m, но все же медленнее чем nⁿ². Cуперфакториал^[142] и гиперфакториал^[143] редко используют на практике, но нам для наглядности изучения скорости роста функций они подходят, причем как следует из названия гиперфакториал растет быстрее, чем суперфакториал. Интересно, что скорость роста обоих функций сложно точно определить по отдельности, однако она легко определяется при их совместном использовании: n$×n^$ = n!ⁿ⁺¹.
4^4×1 = 256 < 4$ = 288 < 4⁴² = 4294967296
8^8×2 ≈ 2,8×10¹⁴ < 8$ ≈ 5×10¹⁵ < 8⁸² ≈ 6,2×10⁵⁷
11^11×3 ≈ 2,3×10³⁴ < 11$ ≈ 2,65×10³⁵ < 11¹¹² ≈ 10¹²⁶
14^14×4 ≈ 1,5×10⁶⁴ < 14$ ≈ 6,9×10⁶⁴ < 14¹⁴² ≈ 4,4×10²²⁴
и т.д.
3^3×1 = 27 < 3^$ = 108 < 3³² = 19683
5^5×2 = 9765625 < 5^$ = 86400000 < 5⁵²≈ 3×10¹⁷
7^7×3 ≈ 5,6×10¹⁷ < 7^$ ≈ 3,3×10¹⁸ < 7⁷²≈ 2,5×10⁴¹
10^10×4 = 10⁴⁰ < 10^$ ≈ 2,15×10⁴⁴ < 10¹⁰² = 10¹⁰⁰
и т.д.

Степенная башня даже из трех этажей обгоняет и эти функции. Здесь мы уже найдем введеную нами ранее функцию maxlog(n), которая определяет максимальное число, которое можно написать в логарифмической нотации с использованием n цифр, и соотвествует 10¹⁰ⁿ-1, что быстрее чем nⁿ², nⁿ¹⁰ и 2²ⁿ. Чтобы впредь не путаться в соотвествиях, думаю стоит расставить варианты трехэтажной степенной башни в порядке скорости их роста в зависимости от наличия и положения постоянного аргумента внутри башни: n^nm < m^mn < n^mn < mⁿⁿ  < nⁿⁿ (где, напомню, m - играет роль постоянного аргумента функции).

И даже между этими вариантами степенной башни можно вклинить функции, занимающие промежуточное место по скорости роста. Например, то что можно назвать мультипликативной функцией Фиббоначи: MF(n) = {MF(n > 1) = MF(n-1)×MF(n-2); MF(1) = 2; MF(0) = 1}, когда следующее значение функции есть произведение двух предыдущих. Только чтобы функция корректно работала, в ее определении первых два члена надо заменить с {0,1} на {1,2} и тогда мы получим последовательность {1,2,2,4,8,32,256,8192,2097152,...} общая скорость роста которой оценивается так n^nm < MF(n) < 2²ⁿ. Существует интересная закономерность связывающая эту функцию с обычной функцией Фиббоначи: MF(n) = 2^F(n).
11¹¹¹ ≈ 2,85×10¹¹ < MF(11) ≈ 3,6×10¹⁶ < 2²¹¹ ≈ 3,2×10⁶¹⁶
18¹⁸² ≈ 5,1×10⁴⁰⁶ < MF(18) ≈ 5,55×10⁴⁸⁰ < 2²¹⁸ ≈ 1,6×10⁷⁸⁹¹³
27²⁷³ ≈ 3,4×10²⁸¹⁷³ < MF(27) ≈ 8,6×10³⁶⁵⁴² < 2²²⁷ ≈ 1,2×10^40403562
и т.д.

Так же для примера еще одной вклинившейся функции мы можем определить функцию вложенного треугольного числа Tⁿ(n), которая считается рекурсивно: T¹(1) = T(1), T²(2) = T(T(2)), T³(3) = T(T(T(3))), и т.д., скорость ее роста будет лежать в пределах между m²ⁿ < Tⁿ(n) < n²ⁿ.
2²⁴ = 65536 < T⁴(4) = 1186570 < 4²⁴= 4294967296
3²⁶ ≈ 3,4×10³⁰ < T⁶(6) ≈ 2×10³³ < 6²⁶ ≈ 6,3×10⁴⁹
4²⁸ ≈ 1,3×10¹⁵⁴ < T⁸(8) ≈ 5,7×10¹⁶¹ < 8²⁸ ≈ 1,5×10²³¹
и т.д.

Ну а чем больше у степенной башни будет этажей, тем больше будет скорость роста, к тому же, как вы могли заметить, при наличии постоянных аргументов в башне бо́льший вклад в рост функции дает положение именно основного аргумента n, чем выше он находится в башне, тем функция растет быстрее. В конечном счете мы можем выразить произвольную степенную башню как тетрацию ^mn. Как я отмечал в первой части, скорость роста этой функции огромна, и уже ³4 ≈ 10¹⁵⁴ будет больше, чем гугол. Аналогично как и в степени, если мы сделаем основным аргументом не основание, а показатель тетрации ⁿm, то увеличим ее скорость роста, назовем такую функцию показательно-тетрационной. Кроме того мы можем определить то, что можно назвать самотетрацией ⁿn и в соответствии с принципом диагонализации она будет расти еще быстрее.

И так же между функциями ^mn, ⁿm и ⁿn по скорости роста можно вставить другие функции. Например, то что можно назвать степенной функцией Фиббоначи: ↑F(n) = {↑F(n > 1) = ↑F(n-1)^↑F(n-2); ↑F(n) = 2; ↑F(n) = 1}, когда следующее значение функции определяется как возведение текущего значения в степень равную предыдущему значению. Последовательность будет выглядеть так {1,2,2,4,16,65536,65536¹⁶,...}. Данную функцию можно усилить, поменяв показатель и основание в определении функции, и для корректной работы изменив первые два члена с {1,2} на {2,2}. Получившуюся функцию можно будет назвать показательно-степенной функцией Фиббоначи: F↑(n) = {F↑(n) = (F↑(n-2)^F↑(n-1); F↑(1) = 2; F↑(0) = 2}, когда следующее значение функции определяется как возведение предыдущего значения в степень равную текущему значению. В итоге ее последовательность будет такой: {2,2,4,16,4294967296,16^4294967296,...}. Или еще для одного примера возьмем то, что называют степенным факториалом n^! = n^...321, который будет расти еще быстрее^[144], чем обе представленные выше функции. Скорость роста всех трех функций можно определить так: ^mn < ↑F(n) < F↑(n) < n^! < ⁿ2. А еще мы можем определить функцию, которая будет расти быстрее показательно-тетрационной, но медленнее самотетрации, назовем ее вложенный факториал n!ⁿ, который считается рекурсивно: 1!¹ = 1! , 2!² = (2!)! , 3!³ = ((3)!)!)! , 4!⁴ = (((4)!)!)!)! и т.д., скорость ее роста будет лежать в пределах между ⁿm < n!ⁿ < ⁿn.

Где-то здесь, за пределами этих функций, по уровню скорости роста и располагается f₃(n). К сожалению, не существует точного соответствия f₃(n) с тетрацией или с другими арифметическими действиями, поэтому мы уже не можем одной формулой выразить правило ее вычисления. Мы знаем, только, что она точно растет быстрее самотретации: ⁿn < f₃(n). Но думаю, если вы вспомните предыдущие функции быстрорастущей иерархии, то принцип вычисления и этой функции вам станет понятен, поэтому сразу привожу примеры:
f₃(1) = f₂(1) = f₁(1) = f₀(1) = 1+1 = 2
f₃(2) = f₂(f₂(2)) = f₂(8) = 2048
f₃(3) = f₂(f₂(f₂(3))) = f₂(f₂(24)) = f₂(402653184) = 2^402653184×402653184 ≈ 10¹⁰⁹
f₃(4) = f₂(f₂(f₂(f₂(4)))) = f₂(f₂(f₂(64))) = f₂(f₂(2⁶⁴×64)) = f₂(2^(264×64)×2⁶⁴×64) = 2^{2(264×64)×264×64}×2^(264×64)×2⁶⁴×64 ≈ 10¹⁰¹⁰²¹

Отсюда при выражении высших арифметических действий я предлагаю сразу прибегать к гипероперационной записи. Можно точно сказать, что самотетрация ⁿn = n[4]n растет медленне чем f₃(n), но функция ⁿ⁺¹n = n[4](n+1) растет уже быстрее чем f₃(n). Значит и любая пентация n[5]m, где m>2, тоже растет быстрее чем f₃(n). Потом можно разместить тетрационную функцию Фиббоначи ↑↑F(n) = ↑F[4](n), за ней показательно-тетрационную функцию Фиббоначи F↑↑⁽ⁿ⁾ = F↑[4]⁽ⁿ⁾, следом тетрационный факториал: ^!n   = n[4]! = n[4]...3[4]2[4]1 = ^123...n, затем идет показательно-пентационная функция m[5]n. Дальше, аналогично предыдущему уровню, идет вложенный степенной факториал n^!n = n[3]!ⁿ, а за ним самопентация n[5]n. И только потом располагается f₄(n), так что: n[5]n < f₄(n) < n[5](n+1). И давайте я в последний раз приведу примеры с правилами вычисления функции быстрорастущей иерархии:
f₄(1) = f₃(1) = f₂(1) = f₁(1) = f₀(1) = 1+1 = 2
f₄(2) = f₃(f₃(2)) = f₂(2048) ≈ 10[4](10¹¹)
f₄(3) = f₃(f₃(f₃(3))) ≈ 10[4]10[4](10¹⁰⁹)
f₄(4) = f₃(f₃(f₃(f₃(4)))) ≈ 10[4]10[4]10[4](10¹⁰¹⁰²¹)

И так далее по тому же принципу, увеличивая уровень арифметического действия, можно пройтись по всему гипероператору, располагая функции по скорости роста. Мы даже можем вывести общие принципы сопоставления функций:
n[1]1 = f₀(n) < n[1]2 < n[1]m < n[2]2
n[2]2 = f₁(n) < n[2]m < n[1]! <  n[3]2 <  n[3]m < F[1](n) < 2[3]n
2[3]n < f₂(n) < m[3]n < n[2]! < n[3]n < (n[2]!)[3]2 < (n[2]!)[3]m
(n[2]!)[3]m < n[3](n[2]m) < n$ < n^$ < n[3]n[3]m < F[2](n) = 2[3]F[1](n) < 2[3]2[3]n < m[3]2[3]n
m[3]2[3]n < n[1]!ⁿ < n[3]2[3]n < n[3]m[3]n < m[3]n[3]n < n[4]3 ≤ n[4]m
n[4]m < ↑F[3](n) < F↑[3](n) < n[3]! < 2[4]n < m[4]n < n[2]!ⁿ < n[4]n < f₃(n) < n[4](n+1) < n[5]m
n[5]m < ↑F[4](n) < F↑[4](n) < n[4]! < 2[5]n < m[5]n < n[3]!ⁿ < n[5]n < f₄(n) < n[5](n+1) < n[k]m
n[k]m < ↑F[k-1](n) < F↑[k-1](n) < n[k-1]! < 2[k]n < m[k]n < n[k-2]!ⁿ < n[k]n < f_k-1(n) < n[k](n+1) < f_k(n)
Примечание: во всех выражениях m > 2 и k > 5;
n$ - суперфакториал, n^$ - гиперфакториал;
n[1]! - треугольное число, n[2]! - факториал;
n[3]! - степенной факториал, n[4]! - тетрационный факториал и т.д;
n[1]!ⁿ - вложенное треугольное число, n[2]!ⁿ - вложенный факториал и т.д;
F[1](n) - функция Фиббоначи, F[2](n) - мультипликативная функция Фиббоначи;
↑F[3](n) - степенная функция Фиббоначи, F↑[3](n) - показательно-степенная функция Фиббоначи и т.д.
↑F[4](n) - тетрационная функция Фиббоначи, F↑[4](n) - показательно-тетрационная функция Фиббоначи и т.д.

Можем так же выразить все что здесь записали, без использования гипероператора, выражая высшие арифметические действия в более привычной для математиков Стрелочной нотации Кнута:
n+1 = f₀(n) < n+2 < n+m < n×2
n×2 = f₁(n) < n×m < T(n) <  n↑2 <  n↑m < F(n) < 2↑n
2↑n < f₂(n) < m↑n < n! < n↑n < (n!)↑2 < (n!)↑m
(n!)↑m < n↑(n×m) < n$ < n^$ < n↑n↑m < MF(n) = 2^F(n) < 2↑2↑n < m↑2↑n
m↑2↑n < Tⁿ(n) < n↑2↑n < n↑m↑n < m↑n↑n < n↑↑3 ≤ n↑↑m
n↑↑m < ↑F(n) < F↑(n) < n↑! < 2↑↑n < m↑↑n < n!ⁿ < n↑↑n < f₃(n) < n↑↑(n+1) < n↑↑↑m
n↑↑↑m < ↑↑F(n) < F↑↑(n) < n↑↑! < 2↑↑↑n < m↑↑↑n < n↑!ⁿ < n↑↑↑n < f₄(n) < n↑↑↑(n+1) < n↑^km
n↑^km < ↑^k-1F(n) < F↑^k-1(n) < n↑^k-1! < 2↑^kn < m↑^kn < n↑^k-2!ⁿ < n↑^kn < f_k+1(n) < n↑^k(n+1) < f_k+2(n)
Примечание: во всех выражениях m > 2 и k > 3;
n$ - суперфакториал, n^$ - гиперфакториал;
T(n) - треугольное число, n! - факториал;
n↑! - степенной факториал, n↑↑! - тетрационный факториал и т.д;
Tⁿ(n) - вложенное треугольное число, n!ⁿ - вложенный факториал и т.д;
F(n) - функция Фиббоначи, MF(n) - мультипликативная функция Фиббоначи;
↑F(n) - степенная функция Фиббоначи, F↑(n) - показательно-степенная функция Фиббоначи;
↑↑F(n) - тетрационная функция Фиббоначи, F↑↑(n) - показательно-тетрационная функция Фиббоначи и т.д.

Казалось бы ну и в чем же прелесть функций быстрорастущей иерархии, если уже на гипероперторе (функции, рекурсии которой вполне можно наглядно продемонстрировать) они почти сравниваются с ним по скорости роста. Вот для этого нам и потребуется бесконечность, но обо всем по порядку. Для начала в функциях быстрорастущей иерархии перейдем на новый уровень рекурсий. Как мы уже уяснили n[k]n растет быстрее чем n[k]m или m[k]n при любом гипероператоре, начиная со сложения, умножения и так далее, потому что согласно принципу диагонализации для роста функции нужно меньше аргументов. Этот же принцип можно применить и к функциям быстрорастущей иерархии: f_n(n) будет расти быстрее, чем f_k(n). Но так же она будет расти и быстрее, чем гипероператор типа n[k]m, или типа n[k]n и даже быстрее, чем n[n]n. Она растет даже быстрее Стрелочной нотации Кнута, которая отличается от гипероператора лишь: n↑^km = n[k+2]m, но все же n[n]n < n↑ⁿn. В итоге мы получили очень быстрорастущую функцию:
n[k]m < m[k]n < n[k]n < n[n]n < ↑F[n](n) < F↑[n](n) < n[n]! < n[n]!ⁿ < n↑ⁿn < f_n(n)

Перед тем как идти дальше, давайте рассмотрим как создаются быстрорастущие функции. Зачастую большие рекурсии задаются не одной функцией, и в состав сложной рекурсивной функции входят другие функции попроще. В программировании рекурсивные функции принято делить на примитивные и частично-определенные. Примитивно-рекурсивным функциям можно дать простое определение, это такие функции, которые можно переписать на языке программирования с использованием циклов, в которых число итераций известно на момент начала цикла, то есть на момент написания программы можно точно определить, что в ней не возникнет бесконечной петли и она не зависнет. Если разложить примитивно-рекурсивную функцию на составляющие, то они должны быть трех видов: функция нуля O(x) = 0, которая всегда обнуляет результат в независимости от аргумента; функция следования S(x) = x+1, которая увеличивает аргумент на единицу; функция проекции U(n,i,x₁,x₂,x₃,...x_i,...,x_n) = x_i, где 1 ≤ i ≤ n, которая выбирает один из своих аргументов^[145]. Если рекурсивную функцию нельзя разложить на эти составляющие, то такая рекурсия не является примитивной и относится к частично-определенным, то есть в процессе ее вычисления могут возникать исключения, неопределенные значения или бесконечные циклы. Одна из первых открытых и самых простых частично-определенных функций, которая при этом вычисляется для любых аргументов, называется Функцией Аккермана^[146]. Этой функцией сегодня тестируют вычислительные способности компиляторов программного кода. Определяется функция следующим образом:
A(m,n) = n+1, если m = 0;
A(m,n) = A(m-1,1), если m > 0 и n = 0;
A(m,n) = A(m-1,A(m,n-1)), если m > 0 и n > 0.

Такую функцию нельзя переписать на языке программирования с использованием циклов, в которых число итераций известно на момент начала цикла. Однако эта функция вычисляется для любого аргумента, который мы в нее подставим и кроме того растет очень и очень быстро. Результат вычисления Функции Аккермана можно выразить на языке гипероператора A(m,n) = (2[m](n+3))-3, и это значит растет она быстрее чем n[n]n и даже n↑ⁿn, но все же медленнее чем f_n(n). Кроме того возможность выразить Функцию Аккермана через гипероператор доказывает, что функции k[n]m и соответственно k↑ⁿm, в которых n - свободная переменная, не являются примитивно-рекурсивными (для программистов: это значит, что их нельзя написать без использования цикла "while", который нельзя выразить как цикл "for").

Числа, которые создаются этими функциями очень большие, но они вполне могут быть описаны в рамках аксиом Пеано (аксиом арифметики первого порядка), которые мы с вами рассмотрели в предыдущей части. Однако иногда аксиоматику арифметики раскладывают на подсистемы для того, чтобы было удобнее изучать арифметические построения. Одна из таких подсистем называется Примитивно-рекурсивной арифметикой (PRA), аксиомы такой подсистемы применимы только к примитивно-рекурсивным функциям, и математическая индукция ограничена только в пределах этих функций^[147]. То есть в соответствии с теоремой Геделя о Неполноте невозможно создать такую примитивную рекурсию (без использования циклов while), которая могла бы создать числа сопоставимые с числами создаваемыми f_n(n). То есть в PRA можно создать функцию гипероператора любого уровня, но не самогипероператор n[n]n. Кроме того, основываясь на аксиомах этой подсистемы, невозможно создать такую неоднородность в бесконечности, которая бы превысила уровень ω^ω, то есть множество алгебраических чисел еще возможно, но вычисление интегралов уже лежит за пределами этой подсистемы аксиом. Получается, что ω^ω это теоретико-доказательственный ординал или Proof-Theoretic Ordinal (далее буду писать просто "PTO") для Примитивно-рекурсивной арифметики, а что это такое мы выяснили еще во второй части, это максимальный ординал упорядочивающий множество, которое доказуемо способна создать теория (там же мы выяснили, что этот ординал всегда будет лежать за пределами теории). Стоит отметить, что множество алгебраических чисел мы "расселили" в отель с помощью формулы факториазции простых чисел, в которой не использовалась даже тетрация, не говоря уже о бо́льших гипероператорах, что могут быть построены в рамках PRA. Однако, как вы должны помнить, если расселять не всевозможные решения степенных уравнений, а только решения уравнений с определенной степенью, то метод факторизации простых чисел становится избыточен, потому что создает бо́льшую разряженность при расселении, нежели симплексное распределение, которое расселяет вплотную, следовательно факторизация простых чисел является более быстрорастущей функцией. Так вот PRA допускает и более разряженное расселение, ведь в данном случае, когда мы говорим о макcимально-возможной рекурсии, которую можно создать в рамках теории, то это должно соотноситься с максимально возможными методами расселения в наш "натуральный отель" счетных множеств, которые только может выделить теория.

Другая еще более простая подсистема называется Элементарно-функциональной арифметикой (EFA), это такая подсистема, акиомы которой определены только для сложения, умножения и степени, а математическая индукция, соответственно, ограничена только в пределах этих действий^[148]. Такая подсистема будет еще слабее, и максимально-возможная рекурсия, которую можно создать на основе аксиом этой подсистемы будет слабее f₃(n), то есть уже тетрация лежит за пределами возможностей этой теории. А максимальная неоднородность, которую можно создать в бесконечности, будет равна ω³, это и будет PTO теории, то есть, например, множество решений квадратных уравнений EFA описать еще способна, но вот множество решений кубических уравнений уже нет, то есть создание полноценной алгебры уже невозможно в рамках этой теории. Хотя опять же методы "расселения" множества решений квадратных уравнений в наш "натуральный отель" могут быть разные, вплоть до использования степенных башен.

Подсистему арифметики можно упростить еще сильнее, взять к примеру, Рудиментарно-функциональную арифметику (RFA), это такая подсистема, аксиомы которой определены только для сложения и умножения, а математическая индукция ограничена только в пределах этих действий^[149]. Уже в основе f₂(n) лежит такая рекурсия, которая в принципе не может быть создана на основе аксиом RFA, то есть даже функция булеана, неопределяемая в рамках данной теории. При этом максимальная неоднородность, которую можно создать в бесконечности (то есть PTO теории) будет равна ω². Получается что RFA способна описать лишь множество рациональных чисел и на ней возможно описание только линейной алгебры.

Но пожалуй самой простой подсистемой является Арифметика Робинсона (обозначают как Q, не путайте с обозначением рациональных чисел), в этой подсистеме определены аксиомы сложения и умножения, но не существует аксиомы индукции^[150], поэтому невозможно определить понятие диагонализации, а значит функции квадрата и дублирования не могут быть корректно определены. Отсюда можно сделать вывод, что это самая слабая подсистема и уже рекурсия уровня f₁(n) будет лежать за пределами ее возможностей. На основе аксиом Арифметики Робинсона невозможно доказать даже теорему о коммунитативности слагаемых (a+b = b+a), можно лишь показать справедливость этого правила для частных случаев, а это в свою очередь не позволит создать отрицательные числа, а значит в рамках теории мы навсегда останемся только в натуральных числах и создать какую-либо неоднородность в бесконечности вовсе не получится (полноценная алгебра в Q вообще невозможна), поэтому PTO теории будет лишь ω.

Получается, что в соответствии с Теоремой Геделя о Неполноте, для любой аксиоматической системы, которая включает или выводит натуральные числа (тем самым включая или подразумевая бесконечность), существует максимально возможная рекурсия для создания больших чисел и максимально возможный ординал для упорядочивания бесконечности. Значит у нас есть, как минимум, два способа для измерения силы аксиоматических систем (на самом деле их три, но о третьем я расскажу намного позже, когда мы разберемся с рекурсиями).

Расширенный гипероператор - нотация, которую я продемонстрировал вам в первой части, и на которой лаконично можно выразить Число Грэма, растет быстрее чем f_n(n) и любые примитивные рекурсии. Чтобы померить ее скорость роста функциями быстрорастущей иерархии нам и понадобятся трансфинитные ординалы. Функцию f_n(n) принято обозначать как f_ω(n). Это всего лишь хитрый трюк. Из второй части мы помним, что ω - это первый трансфинитный ординал, обозначающий упорядоченность в бесконечности. Но в функциях быстрорастущей иерархии значек ω не связан с бесконечностью, он используется чтобы создавать диагонализационные рекурсии. Когда мы разбирали трансфинитные ординалы, вы должны были убедиться, что каждый ординал, который на порядок больше предыдущего, построен на новой рекурсии. Всякий раз когда мы создавали неоднородность в бесконечности, пытаясь заселить в отель все более сложную систему из бесконечных постояльцев, в сущности мы просто создавали рекурсии. Вот и математики решили, зачем изобретать велосипед, и позаимствовали эти рекурсии для функций быстрорастущей иерархии.

Теперь следите за тем, как создаются рекурсии на основе трансфинитных ординалов: f_ω+1(n) = f_ω(f_ω(f_ω(...(n)...))) - n вложений, или как мы уже знаем, более корректно это можно записать так f_ω+1(n) = f_ωⁿ(n).

Это очень сильный скачек вперед. То есть в выражении f_ω(f_ω(n)) мы изначально вычисляем f_ω(n) = f_n(n), а затем, внимание, f_ω(f_n(n)) = f_fn(n)(f_n(n)). А выражение f_ω(f_ω(f_ω(n))) уже расписывается таким образом: f_ω(f_ω(f_ω(n))) = f_ω(f_ω(f_n(n))) = f_ω(f_fn(n)(f_n(n))) = f_{ffn(n)(fn(n))}(f_fn(n)(f_n(n))). В итоге получаем, что общая схема рекурсии такова: f_ω+1(n) = f_{ff...fn(n)...(...)(...)}(...) - n раз. Поэтому f_ω+1(n) растет намного быстрее, чем скажем f_n[n]n(n). И уже такое число: f_ω+1(64) будет намного больше, чем Число Грэма.

Соответственно, дальше идет: f_ω+2(n) = f_ω+1ⁿ(n) = f_ω+1(f_ω+1(f_ω+1(...(n)...))) - n вложений, за ним следует f_ω+3(n) = f_ω+2ⁿ(n) = f_ω+2(f_ω+2(f_ω+2(...(n)...))) - n вложений, и так далее. И уже где-то здесь по скорости роста расположился первый уровень расширенного гипероператора:
f_ω(n) > n[n]n
f_ω+1(n) > n[n,n]n = n[n[n[...n...]n]n]n  n вложений
f_ω+2(n) > n[n,n,n]n = n[n,n[n,n[n,...n...]n]n]n  n вложений
f_ω+3(n) > n[n,n,n,n]n = n[n,n,n[n,n,n[n,n,...n...]n]n]n  n вложений
f_ω+k(n) > n[n,n,n,n,...k+1 раз...]n

Переход на следующий уровень рекурсии выглядит так: f_ω+n(n) = f_ω+ω(n) = f_ω×2(n). Дальше опять происходит резкий скачек, выражение f_ω+ω(f_ω+ω(n)) будет вычисляться так f_ω+fω+n(n)(f_ω+n(n)), еще бо́льшая вложенность f_ω+ω(f_ω+ω(f_ω+ω(n))) будет вычисляться так f_{ω+fω+fω+n(n)(fω+n(n))}(f_ω+fω+n(n)(f_ω+n(n))), тогда получается, что общая схема рекурсии будет такой: f_ω×2+1(n) = f_{ω+fω+fω+...fω+n(n)...(...)(...)}(...) - n раз.

Ну а дальше по тому же принципу: f_ω×2+2(n) = f_ω×2+1ⁿ(n) = f_ω×2+1(f_ω×2+1(f_ω×2+1(...(n)...))) - n вложений, затем f_ω×2+3(n) = f_ω×2+2ⁿ(n) = f_ω×2+2(f_ω×2+2(f_ω×2+2(...(n)...))) - n вложений, и так далее. Таковой будет скорость роста второго уровня расширенного гипероператора:
f_ω×2(n) > n[[n]]n = n[n,n,n,n,...n раз...]n
f_ω×2+1(n) > n[[n,n]]n = n[[n[[n[[...n...]]n]]n]]n  n вложений
f_ω×2+2(n) > n[[n,n,n]]n = n[[n,n[[n,n[[n,...n...]]n]]n]]n  n вложений
f_ω×2+3(n) > n[[n,n,n,n]]n = n[[n,n,n[[n,n,n[[n,n,...n...]]n]]n]]n  n вложений
f_ω×2+k(n) > n[[n,n,n,n,...k+1 раз...]]n

Аналогичным образом можно создать функции быстрорастущей иерархии, которые будут сопоставимы с третьим уровнем расширенного гипероператора: f_ω×2+n(n) = f_ω×2+ω(n) = f_ω×3(n). Ну и дальше, по общей схеме: f_ω×3+1(n) = f_{ω×2+fω×2+fω×2+...fω×2+n(n)...(...)(...)}(...) - n раз.

А потом снова f_ω×3+2(n) = f_ω×3+1ⁿ(n) = f_ω×3+1(f_ω×3+1(f_ω×3+1(...(n)...))) - n вложений, затем таким же образом: f_ω×3+3(n) = f_ω×3+2ⁿ(n) = f_ω×3+2(f_ω×3+2(f_ω×3+2(...(n)...))) - n вложений, и так далее. Так будет расти уже трижды расширенный гипероператор:
f_ω×3(n) > n[[[n]]]n = n[[n,n,n,n,...n раз...]]n
f_ω×3+1(n) > n[[[n,n]]]n = n[[[n[[[n[[[...n...]]]n]]]n]]]n  n вложений
f_ω×3+2(n) > n[[[n,n,n]]]n = n[[[n,n[[[n,n[[[n,...n...]]]n]]]n]]]n  n вложений
f_ω×3+3(n) > n[[[n,n,n,n]]]n = n[[[n,n,n[[[n,n,n[[[n,n,...n...]]]n]]]n]]]n  n вложений
f_ω×3+k(n) > n[[[n,n,n,n,...k+1 раз...]]]n

Плагаю, что общая схема уже давно всем стала понятна: f_ω×m+n(n) = f_ω×m+ω(n) = f_ω×(m+1)(n). После чего следует скачек: f_ω×(m+1)+1(n) = f_{ω×m+fω×m+fω×m+...fω×m+n(n)...(...)(...)}(...) - n раз. А потом каждый раз рекурсируем так: f_ω×m+k+1(n) = f_ω×m+kⁿ(n) = f_ω×m+k(f_ω×m+k(f_ω×m+k(...(n)...))) - n вложений.

Так можно продолжать и дальше до уровня f_ω×n(n) = f_ω×ω(n) = f_ω²(n). Многие уже вероятно уловили принцип построения рекурсий на основе трансфинитных ординалов, так например: f_ω×ω(f_ω×ω(n)) = f_{ω×fω×n(n)}(f_ω×n(n)), а еще бо́льшая вложенность: f_ω×ω(f_ω×ω(f_ω×ω(n))) = f_{ω×fω×fω×n(n)(fω×n(n))}(f_{ω×fω×n(n)}(f_ω×n(n))). В итоге мы имеем новый рекурсивный скачек: f_ω²+1(n) = f_{ω×fω×fω×...fω×n(n)...(...)(...)}(...) - n раз. Но мы перешли предел еще до этого скачка, так как уже функция f_ω²(n) будет расти быстрее, чем расширенный гипероператор.
f_ω(n) > n[n]¹n = n[n]n
f_ω×2(n) > n[n]²n = n[[n]]n
f_ω×3(n) > n[n]³n = n[[[n]]]n
f_ω×4(n) > n[n]⁴n = n[[[[n]]]]n
f_ω×5(n) > n[n]⁵n = n[[[[[n]]]]]n
f_ω×ω(n) > n[n]ⁿn = n[[[[[...n...]]]]]n  n вложений

Пусть созданные нами визуальные рекурсии из первой части уже не справятся с f_ω²(n), но как я и говорил существуют другие нотации для записи больших чисел, рекурсии которых уже сложно визуализировать. Однако есть определенные математические правила, по которым их нужно вычислять. Я без лишних упрощений или пояснений буду приводить правила вычисления этих нотаций в приложениях, потому что алгоритм их вычисления является залогом того, что создаваемое нотацией большое число реально и точно вычисляется. Поэтому правила должны быть записаны в строгом формальном виде, как инструкции для компьютерной программы. Пусть не расстраиваются те, кто не желает разбираться в этих правилах, или кто ничего из них не поймет, я буду разъяснять как они работают на примерах. К тому же у нас теперь есть возможность сравнить эти нотации с функциями быстрорастущей иерархии и понять скорость их роста, даже не вникая в процесс их вычисления. Если внимательно следить за этими сравнениями, то можно будет и легко проследить за силой этих нотаций и сравнить нотации между собой. Я не буду приводить все существующие нотации для записи сверхбольших чисел, останавлюсь на самых широко используемых, в конце концов наша задача создать как можно бо́льшее число, а не изучать все придуманные рекурсии.

Одна из первых нотаций для записи больших чисел была придумана английским математиком Джоном Конвеем в 1995 году и называетя Цепной нотацией Конвея^[5]. Она задумывалась как расширение Стрелочной нотации Кнута, и в случае если в Цепной нотации используются всего три аргумента, то она повторяет действие Стрелочной нотации.
n↑m = n↑¹m = n[3]m = n→m→1 = n→m
n↑↑m = n↑²m = n[4]m = n→m→2 = n→(n→(...n...))  m-1 вложений
n↑↑↑m = n↑³m = n[5]m = n→m→3 = n→(n→(...n...)→2)→2  m-1 вложений
n↑↑↑↑m = n↑⁴m = n[6]m = n→m→4 = n→(n→(...n...)→3)→3  m-1 вложений
n↑^km = n[k+2]m = n→m→k

Начиная с добавления четвертого аргумента Цепная нотация начинает быстро расти, и становится уже сопоставима с расширенным гипероператором:
f_ω(n) > n[n+2]n = n→n→n→1 = n→n→n
f_ω+1(n) > n[3,n]n = n→n→n→2 = n→n→(n→n→(...n→n...))  n-1 вложений
f_ω+2(n) > n[3,nⁿ,n]n = n→n→n→3 = n→n→(n→n→(...n→n...)→2)→2  n-1 вложений
f_ω+3(n) > n[3,nⁿ,nⁿ,n]n = n→n→n→4 = n→n→(n→n→(...n→n...)→3)→3  n-1 вложений

Рекурсии, в которые преобразуется цепная нотация, легко проследить на приведенных выше примерах. Они будут создаваться аналогично для каждого следующего аргумента. Так уже пятый аргумент цепной нотации приблизительно сопоставим с дважды расширенным гипероператором:
f_ω×2(n) > n[[n]]n ≈ n→n→n→n→1 = n→n→n→n
f_ω×2+1(n) > n[[n,n]]n ≈ n→n→n→n→2 = n→n→n→(n→n→n→(...n→n→n...))  n-1 вложений
f_ω×2+2(n) > n[[n,n,n]]n ≈ n→n→n→n→3 = n→n→n→(n→n→n→(...n→n→n...)→2)→2  n-1 вложений
f_ω×2+3(n) > n[[n,n,n,n]]n ≈ n→n→n→n→4 = n→n→n→(n→n→n→(...n→n→n...)→3)→3  n-1 вложений

Ну в общем, продолжая добавлять аргументы в цепную нотацию, мы можем сопоставлять ее со все новыми уровнями расширения гипероператора.
f_ω(n) > n[n+2]n = n→n→n
f_ω×2(n) > n[[n]]n ≈ n→n→n→n
f_ω×3(n) > n[[[n]]]n ≈ n→n→n→n→n
f_ω×4(n) > n[[[[n]]]]n ≈ n→n→n→n→n→n
f_ω×5(n) > n[[[[[n]]]]]n ≈ n→n→n→n→n→n→n
f_ω×ω(n) > n[n]ⁿn ≈ n→n→n→n→n→n→...длиной n+2

Получается что Цепная нотация Конвея растет так же быстро как и моя нотация расширенного гипероператора. Однако как наверное многие заметили, из данных соответствий: n[n+2]n = n→n→n, и n[[n]]n = n[n,n,n,...]n, где n аргуметнов в скобках, и n→n→n→n = n[3,nⁿ,nⁿ,...,n]n, где n аргументов в скобках, следует что n[[n]]n < n→n→n→n. Значит, начиная со второго уровня расширения гипероператора, рекурсии лежащие в обоих нотациях можно соотнести лишь приблизительно (из-за этого же, кстати, Цепная нотация Конвея не позволяет точно выразить Число Грэма, можно сказать лишь что 3→3→64→2 < Число Грэма < 3→3→65→2). Значит следует держать в уме, что, и n[[[n]]]n < n→n→n→n→n, и n[[[[n]]]]n < n→n→n→n→n→n, и т.д. Причем, то насколько цепная нотация в даннном случае будет создавать бо́льшие числа нежели расширенный гипероператор, многократно превосходит наше привычное понимание "немного больше", однако поскольку обе рекурсии все равно значительно уступают соотвествующему уровню функций быстрорастущей иерархии, я и поставил в сравнительных выражениях знак приблизительного равенства.

Но все же, мы так и не преодолели f_ω²(n) по скорости роста, а ведь мы можем определить еще более быстрорастущую функцию f_ω³(n), что эвивалентно f_ω²×n(n) = f_ω²×ω(n) = f_ω³(n) и соответственно f_ω³+1(n) = f_{ω²×fω²×fω²×...fω²×n(n)...(...)(...)}(...) - n раз, а затем определить: f_ω³×n(n) = f_ω³×ω(n) = f_ω⁴(n) и соответственно f_ω⁴+1(n) = f_{ω³×fω³×fω³×...fω³×n(n)...(...)(...)}(...) - n раз, и так далее. Однако есть способ усилить цепную нотацию, чтобы перейти оба этих предела, его придумал другой математик Питер Хёрфорд^[151]. Этот способ действует аналогично тому, который применялся в Стрелочной нотации Кнута, где a↑↑b можно было записать иначе как a↑²b, и означало это тетрацию, то есть последовательное возведение в степень, начиная с конца, a↑a↑a↑a↑... и так b - раз. В свою очередь a↑↑↑b иначе записываемое как a↑³b, означало уже пентацию, определяющуюся как последовательное тетрирование, начиная с конца, a↑↑a↑↑a↑↑a↑↑... и так b - раз, и т.д. Цепная нотация Конвея тоже вычисляется с конца и так же может быть усилена подобным обобщением, только чтобы не рисовать несколько горизонтальных стрелок Хёрфорд сразу решил подписывать уровень стрелки. Согласно его способу мы можем определить a→₂b как цепочку a→a→a→a→... содержащую b аргументов, или, будем говорить проще, длиной b. Тогда a→₃b будет означать цепочку a→₂a→₂a→₂a→₂... длиной b, но уже соединенную стрелочками второго уровня "→₂", и т.д. Давайте переформулируем правила вычисления нотации и приведем сравнительные примеры.

f_ω²(n) > n→₂n = n→n→n→n→...длиной n
f_ω²+1(n) > n→₂n→2 = n→₂(n→₂(...n...))  n-1 вложений
f_ω²+2(n) > n→₂n→3 = n→₂(n→₂(...n...)→2)→2  n-1 вложений
f_ω²+ω(n) > n→₂n→n = n→₂(n→₂(...n...)→n-1)→n-1  n-1 вложений
f_ω²+ω+1(n) > n→₂n→n→2 = n→₂n→(n→₂n→(...n→₂n...))  n-1 вложений
f_ω²+ω×2(n) > n→₂n→n→n = n→₂n→(n→₂n→(...n→₂n...)→n-1)→n-1  n-1 вложений
f_ω²+ω×2+1(n) > n→₂n→n→n→2 = n→₂n→n→(n→₂n→n→(...n→₂n→n...))  n-1 вложений
f_ω²+ω×3(n) > n→₂n→n→n→n = n→₂n→n→(n→₂n→n→(...n→₂n→n...)→n-1)→n-1  n-1 вложений
f_ω²×2(n) > n→₂n→₂n = n→₂(n→n→n→n→...длиной n)
f_ω²×2+1(n) > n→₂n→₂n→2 = n→₂n→₂(n→₂n→₂(...n→₂n...))  n-1 вложений
f_ω²×2+2(n) > n→₂n→₂n→3 = n→₂n→₂(n→₂n→₂(...n→₂n...)→2)→2  n-1 вложений
f_ω²×2+ω(n) > n→₂n→₂n→n = n→₂n→₂(n→₂n→₂(...n→₂n...)→n-1)→n-1 - n-1 вложений
f_ω²×2+ω+1(n) > n→₂n→₂n→n→2 = n→₂n→₂n→(n→₂n→₂n→(...n→₂n→₂n...))  n-1 вложений
f_{ω²×2+ω×2}(n) > n→₂n→₂n→n→n = n→₂n→₂n→(n→₂n→₂n→(...n→₂n→₂n...)→n-1)→n-1  n-1 вложений
f_ω²×3(n) > n→₂n→₂n→₂n = n→₂n→₂(n→n→n→n→...длиной n)
f_ω²×4(n) > n→₂n→₂n→₂n→₂n = n→₂n→₂n→₂(n→n→n→n→...длиной n)
f_ω³(n) > n→₃n = n→₂n→₂n→₂n→₂...длиной n
f_ω³+1(n) > n→₃n→2 = n→₃(n→₃(...n...))  n-1 вложений
f_ω³+ω(n) > n→₃n→n = n→₃(n→₃(...n...)→n-1)→n-1  n-1 вложений
f_ω³+ω²(n) > n→₃n→₂n = n→₃(n→n→n→n→...длиной n)
f_ω³×2(n) > n→₃n→₃n = n→₃(n→₂n→₂n→₂n→₂...длиной n)
f_ω³×3(n) > n→₃n→₃n→₃n = n→₃n→₃(n→₂n→₂n→₂n→₂...длиной n)
f_ω⁴(n) > n→₄n = n→₃n→₃n→₃n→₃...длиной n
f_ω⁵(n) > n→₅n = n→₄n→₄n→₄n→₄...длиной n
f_ω^ω(n) > n→_nn = n→_n-1n→_n-1n→_n-1n→_n-1...длиной n

Таким образом, получается, что Расширенная цепная нотация растет почти так же быстро как f_ω^ω(n). Эта функция является продолжением функций f_ω³(n), f_ω⁴(n), ..., f_ω^k(n), и означает: f_ωⁿ(n) = f_ω^ω(n). Для преодоления этого предела нам опять нужен скачек в виде f_ω^ω+1(n). Чтобы показать как будет работать этот скачек, мне необходимо показать принципы вложения этой функции самой в себя, а чтобы это нагляднее выглядело запишем возведение в степень в функции через Стрелочную нотацию Кнута: f_ω^ω(n)=f_ω↑ω(n). Тогда одиночная вложенность будет выражаться так: f_ω↑ω(f_ω↑ω(n)) = f_{ω↑fω↑n(n)}(f_ω↑n(n)), а еще бо́льшая вложенность будет выражаться так: f_ω↑ω(f_ω↑ω(f_ω↑ω(n))) = f_{ω↑fω↑fω↑n(n)(fω↑n(n))}(f_{ω↑fω↑n(n)}(f_ω↑n(n))). В итоге следующая функция в семействе быстрорастущей иерархии будет выглядеть так: f_ω^ω+1(n) = f_{ω↑fω↑fω↑...fω↑n(n)...(...)(...)}(...) - n раз.

Но на этом этапе мы немного отвлечемся от нотаций, ведь и помимо них в математике есть множество других быстрорастущих функций. Например, примерно с этой же скоростью, которую мы достигли, растет Функция блочной субпоследовательности Фридмана^[152]. Теорема создающая столь быстрорастущую функцию тоже происходит из области комбинаторики, как в принципе и большинство быстрорастущих функций не являющихся нотациями. Cмысл функции заключается в следующем: у нас имеется строка из последовательности символов x₁, x₂, x₃, ... , где n это количество видов символов. Например, строку ACBA можно расписать так: x₁ = A, x₂ = B, x₃ = C, x₄ = A, n = 3 (A,B,C). "Правильной последовательностью" будем называть такую, в которой субпоследовательность x_i, x_i+1, ..., x_i×2 не входит в другую субпоследовательность x_j, x_j+1, ..., x_j×2, где i < j. Американский математик Харви Фридман доказал, что "правильные последовательности" всегда будут конечными из скольких бы видов символов мы бы не составляли последовательность. Функция BST(n) означает максимальную длину "правильной последовательности", которую можно составить из n видов символов. Для одного элемента BST(1) значение функции равно 3, такую наибольшую длину может иметь "правильная последовательность" составленная из одного вида символов. A - правильная, AA - правильная, AAA - правильная, но AAAA - уже неправильная, потому что субпоследовательность x₁, x₂ (AA) является частью субпоследовательности x₂, x₃, x₄ (AAA). В свою очередь BST(2) = 11, и тогда самая длинная "правильная последовательность" будет выглядеть так ABBBAAAAAAB или так ABBBAAAAAAA. Давайте проверим их "правильность", в соответствии с правилами, мы можем составить из каждой из них субпоследовательности: x₁, x₂ (AB) ; x₂, x₃, x₄ (BBB) ; x₃, x₄, x₅, x₆ (BBAA) ; x₄, x₅, x₆, x₇, x₈ (BAAAA) ; x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀ (AAAAAA), и теперь попытайтесь найти одну субпоследовательность в другой. Не получается. А вот если увеличить последовательность на один символ то получится. Например: ABBBAAAAAABA раскладывается на субпоследовательности x₁, x₂ (AB) ; x₂, x₃, x₄ (BBB) ; x₃, x₄, x₅, x₆ (BBAA) ; x₄, x₅, x₆, x₇, x₈ (BAAAA) ; x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀ (AAAAAA) ; x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀, x₁₁, x₁₂ (AAAAABA) и последовательность x₁, x₂ (AB) входит в состав последовательности x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀, x₁₁, x₁₂ (AAAAABA). Можете попробовать сами составить какую-нибудь другую последовательность из двух видов символов так чтобы она была "правильной", и вы убедитесь, что сделать ее длинее 11 символов у вас не получится. Ну а если мы будем использовать три вида символов, то на первый взгляд может показаться, что длина возможных "правильных последовательностей" неограничена, но это не так, просто функция уже в полной мере проявляет свой рост и BST(3) > 2[7198]158389. А уже BST(4) > 3[5,2[187195]187196]3 - что намного больше Числа Грэма. В конечном итоге скорость роста функции оценивается так: f_ω^ω+1(n) > BST(n) > f_ω^ω(n).^[152]

Возвращаемся к нотациям. Уже знакомый нам по первой части американский математик Джонатан Бауэрс, глядя на Цепную нотацию Конвея, решил что из-за правила обрыва, когда например, a→b→1→d = a→b, эта нотация растет не так быстро как могла бы. Однако если правило обрыва убрать, то тогда правило рекурсии, в соответствии с которым: a→b→c→d = a→b→(a→b→c-1→d)→d-1, начнет бесконечно уменьшать аргумент c в отрицательные значения, что во-первых запрещено по правилам нотации, а во-вторых тогда возникнет бесконечная петля при вычислении числа. Поэтому Бауэрс решил, что это правило необходимо заменить так чтобы единицы в середине цепи не приводили бы к ее сокращению, а тоже участвовали бы в рекурсии. Для этого он придумал небольшую систему исключений, которая срабатывает вместо правила обрыва. Так же ему пришлось немного изменить правило рекурсии. Но обо всем по порядку. Прежде всего он изменил форму записи нотации, его аргументы записываются в фигурных скобках через запятую: {a,b,c,d,e,...}. Такую запись он назвал массивом, аргументы этой записи тоже получили особое название, у него они называются вхождениями (entries). Сама нотация стала называться массивной. Особую роль в его нотации выполняют первые два вхождения, у них тоже есть особые названия, первое называется база (a), второе - итератор (b). И правило рекурсии теперь срабатывает только на следующем вхождении после итератора (c), то есть только так: {a,b,c,d,e,...} = {a,{a,b-1,c,d,e,...},c-1,d,e,...}. Если бы в нотации Бауэрса действовало правило обрыва, то подобное изменение правила рекурсии сделало бы бессмысленным наличие всех остальных вхождений после третьего, потому что как только рекурсия дошла бы до стадии {a,b,1,d,e,...}, то все остальные вхождения просто отбросились бы, и тогда сила нотации была бы такая же как у обычного гипероператора. Ну а без правила обрыва второе и третье вхождения (b и с) по-прежнему бы уходили в отрицательные значения, и процесс вычисления так же бы зависал. Для этого и был придуман процесс исключений, чтобы заставить единцы рекурсировать, а не просто обрезать массив. Процесс исключений запускается если второе или третье вхождение (b или с) оказывается равным единице. В этом случае проверяется следующее вхождение, если и оно равно единице, то проверяется следующее за ним вхождение, и так пока не встретится вхождение, которое не будет равно единице. Тогда оно уменьшается на единицу, предыдущая единица становится итератором (b), а все единицы перед ней, и в том числе сам итератор (b), заменяются на значение базы (a). Например: {a,b,1,1,1,1,1,h} = {a,a,a,a,a,a,b,h-1}. С такой системой исключений вычисление нотации больше не будет зависать, а самое главное, теперь единицы будут работать на усиление рекурсии. Запись, в которой в массиве после итератора (b) стоит n единиц перед последним вхождением равным двум: {a,b,1,1,...,2}, теперь по силе становится почти аналогична раскрытию уровня в Расширенной цепной нотации (a→_nb). И на самом деле, она даже сильнее, но в этом будем разбираться после изучения сравнительных примеров, которые я привожу сразу после строго формального определения массивной нотации в Приложении №10, с которым так же рекомендую каждому детально ознакомиться.

f₃(n) > n[3]n = n↑n = n→n = {n,n} = nⁿ
f₄(n) > n[4]n = n↑↑n = n→n→2 = {n,n,2} = {n,{n,...{n}...}} n-1 вложений
f₅(n) > n[5]n = n↑↑↑n = n→n→3 = {n,n,3} = {n,{n,...{n}...,2},2} n-1 вложений
f₆(n) > n[6]n = n↑↑↑↑n = n→n→4 = {n,n,4} = {n,{n,...{n}...,3},3} n-1 вложений
f_ω(n) > n[n+2]n = n↑ⁿn = n→n→n = {n,n,1,2} = {n,n,n}
f_ω+1(n) > n[3,n]n = n→n→n→2 = {n,n,2,2} = {n,n,{n,n,...{n,n,n}...}} n-1 вложений
f_ω+2(n) > n[3,nⁿ,n]n = n→n→n→3 = {n,n,3,2} = {n,{n,...{n,n,2,2}...,2,2}2,2} n-1 вложений
f_ω+3(n) > n[3,nⁿ,nⁿ,n]n = n→n→n→4 = {n,n,4,2} = {n,{n,...{n,n,3,2}...,3,2}3,2} n-1 вложений
f_ω×2(n) > n[[n]]n ≈ n→n→n→n = {n,n,1,3} = {n,n,n,2}
f_ω×2+1(n) > n[[n,n]]n ≈ n→n→n→n→2 = {n,n,2,3} = {n,n,{n,n,...{n,n,n,2}...,2},2} n-1 вложений
f_ω×2+2(n) > n[[n,n,n]]n ≈ n→n→n→n→3 = {n,n,3,3} = {n,{n,...{n,n,2,3}...,2,3}2,3} n-1 вложений
f_ω×2+3(n) > n[[n,n,n,n]]n ≈ n→n→n→n→4 = {n,n,4,3} = {n,{n,...{n,n,3,3}...,3,3}3,3} n-1 вложений
f_ω×3(n) > n[[[n]]]n ≈ n→n→n→n→n = {n,n,1,4} = {n,n,n,3}
f_ω×3+1(n) > n[[[n,n]]]n ≈ n→n→n→n→n→2 = {n,n,2,4} = {n,n,{n,n,...{n,n,n,3}...,3},3} n-1 вложений
f_ω×3+2(n) > n[[[n,n,n]]]n ≈ n→n→n→n→n→3 = {n,n,3,4} = {n,{n,...{n,n,2,4}...,2,4}2,4} n-1 вложений
f_ω×3+3(n) > n[[[n,n,n,n]]]n ≈ n→n→n→n→n→4 = {n,n,4,4} = {n,{n,...{n,n,3,4}...,3,4}3,4} n-1 вложений
f_ω×4(n) > n[[[[n]]]]n ≈ n→n→n→n→n→n = {n,n,1,5} = {n,n,n,4}
f_ω×5(n) > n[[[[[n]]]]]n ≈ n→n→n→n→n→n→n = {n,n,1,6} = {n,n,n,5}
f_ω²(n) > n→₂n ≈ {n,n,1,1,2} = {n,n,n,n} = n→n→n→n→n→n→...n раз
f_ω²+1(n) > n→₂n→2 ≈ {n,n,2,1,2} = {n,n,n,{n,n,n,...{n,n,n,n}...}} n-1 вложений
f_ω²+2(n) > n→₂n→3 ≈ {n,n,3,1,2} = {n,{n,...{n,n,2,1,2}...,2,1,2}2,1,2} n-1 вложений
f_ω²+3(n) > n→₂n→4 ≈ {n,n,4,1,2} = {n,{n,...{n,n,3,1,2}...,3,1,2}3,1,2} n-1 вложений
f_ω²+ω(n) > n→₂n→n ≈ {n,n,1,2,2} = {n,n,n,1,2}
f_ω²+ω+1(n) > n→₂n→n→2 ≈ {n,n,2,2,2} = {n,n,{n,n,...{n,n,n,1,2}...,1,2},1,2} n-1 вложений
f_ω²+ω+2(n) > n→₂n→n→3 ≈ {n,n,3,2,2} = {n,{n,...{n,n,2,2,2}...,2,2,2},2,2,2} n-1 вложений
f_ω²+ω×2(n) > n→₂n→n→n ≈ {n,n,1,3,2} = {n,n,n,2,2}
f_ω²+ω×3(n) > n→₂n→n→n→n ≈ {n,n,1,4,2} = {n,n,n,3,2}
f_ω²×2(n) > n→₂n→₂n ≈ {n,n,1,1,3} = {n,n,n,n,2}
f_ω²×2+1(n) > n→₂n→₂n→2 ≈ {n,n,2,1,3} = {n,n,n,{n,n,n,...{n,n,n,n,2}...,2},2} n-1 вложений
f_ω²×2+2(n) > n→₂n→₂n→3 ≈ {n,n,3,1,3} = {n,{n,...{n,n,2,1,2}...,2,1,2}2,1,2} n-1 вложений
f_ω²×2+ω(n) > n→₂n→₂n→n ≈ {n,n,1,2,3} = {n,n,n,1,3}
f_ω²×2+ω+1(n) > n→₂n→₂n→n→2 ≈ {n,n,2,2,3} = {n,n,{n,n,...{n,n,n,1,3}...,1,3},1,3} n-1 вложений
f_{ω²×2+ω×2}(n) > n→₂n→₂n→n→n ≈ {n,n,1,3,3} = {n,n,n,2,3}
f_ω²×3(n) > n→₂n→₂n→₂n ≈ {n,n,1,1,4} = {n,n,n,n,3}
f_ω²×4(n) > n→₂n→₂n→₂n→₂n ≈ {n,n,1,1,5} = {n,n,n,n,4}
f_ω³(n) > n→₃n ≈ {n,n,1,1,1,2} = {n,n,n,n,n}
f_ω³+1(n) > n→₃n→2 ≈ {n,n,2,1,1,2} = {n,n,n,n,{n,n,n,n,...{n,n,n,n,n}...}} n-1 вложений
f_ω³+ω(n) > n→₃n→n ≈ {n,n,1,2,1,2} = {n,n,n,1,1,2}
f_ω³+ω²(n) > n→₃n→₂n ≈ {n,n,1,1,2,2} = {n,n,n,n,1,2}
f_ω³×2(n) > n→₃n→₃n ≈   {n,n,1,1,1,3} = {n,n,n,n,n,2}
f_ω³×3(n) > n→₃n→₃n→₃n ≈ {n,n,1,1,1,4} = {n,n,n,n,n,3}
f_ω⁴(n) > n→₄n ≈ {n,n,1,1,1,1,2} = {n,n,n,n,n,n}
f_ω⁵(n) > n→₅n ≈ {n,n,1,1,1,1,1,2} = {n,n,n,n,n,n,n}
f_ω^ω(n) > n→_nn ≈ {n,n,1,1,1,1,1,...n раз...2} = {n,n,n,n,n,n,...n раз...}

Как вы можете увидеть из приведенных выше примеров, по скорости роста массивная нотация сопоставима со скоростью роста Цепной нотации с расширением Хёрфорда. Однако начиная со второго уровня цепи совпадения с массивной нотацией становятся неточными, так же как это ранее было с расширенным гипероператором, который, начиная с двойного расширения, не в точности соотносился с Цепной нотацией. Дело в том, что массив {n,n,n,m} в точно эквивалентен цепи n→n→n→n→... из m+2 аргументов, в то время как цепь второго уровня n→₂m эквивалентна лишь цепи из n→n→n→n→... из m аргументов. То есть получается, что {n,n,1,1,2} = {n,n,n,n} > n→₂n. И так же как это было с расхожениями между расширенным гипероператором и цепной нотацией, данные расхождения между расширенной цепной нотацией и массивной нотацией в масштабах обычных человеческих чисел неимоверно велики. Но поскольку в сравнении с функциями быстрорастущей иерархии, обе нотации проигрывают (например, f_ω²(n) > {n,n,n,n} > n→₂n), а более точного способа измерения их силы мы все равно не имеем, я так же взял на себя смелость поставить между ними знак приблизительного равенства. Но не только из-за этого небольшого расхождения массивную нотацию следует считать более сильной, к тому же как мы выяснили разница в масштабах функций быстрорастущей иерархии невелика. Дело в том, что расширенная цепная нотация Хёрфорда сложнее поскольку в ней участвует две группы аргументов: собственно вхождения цепи и уровни цепи. А как мы выяснили еще в начале этой главы, более сильной следует считать функцию использующую меньше аргументов. Так же из-за того что уровни цепи не могут быть расставлены в порядке возрастания это ограничивает силу рекурсии, и несмотря на то что уровни цепи Хёрфорда это уже расширение, а не модификация нотации, все равно такое расширение не превосходит метод Бауэрса. Тем не менее, мы можем воспользоваться методом Хёрфорда и расширить массивную нотацию, добавив группу аргументов, которые будут символизировать уровень разделителей в массиве, что собственно и сделал сам Бауэрс.

Но перед там как разобрать этот метод, я забегая вперед, хочу отметить, что Бауэрс создал свою нотацию в 2002 году и после этого до 2008 года неоднократно расширял ее, после чего в 2012 году знамя подхватил английский математик Крис Бёрд, причем, начиная с определенного момента, он пошел своим путем и к 2014 сделал нотацию еще сильнее. В 2015 году китайский математик известный под псевдонимом Hypcos, взяв наработки Бёрда усилил нотацию до невероятных пределов. Я не буду рассматривать весь путь развития, которым прошла массивная нотация, и не буду детально сравнивать рекурсии из разных семейств, а сразу перейду к расширениям Hypcos, которые сам он назвал Strong Array Notation (SAN), что переводится как Сильная массивная нотация, именно это семейство расширений мы и будем рассматривать на протяжении большей части книги. Массивную нотацию без всяких расширений принято называть Линейной массивной нотацией. Ниже в Таблице №17 я привожу все нотации, которые мы уже рассмотрели, а так же все семейства массивных нотаций, располагая их по силе, и измеряя эту силу функциями быстрорастущей иерархии (пусть пока вам вероятно не понятен масштаб ординалов, что в них подставлены, но вы всегда можете вернуться к этой таблице позже). Одинаковым цветом закрашены нотации, которые в сущности имеют одинаковые правила вычисления, и могут отличаться только записью или минимальными тонкостями при вычислении.

Итак, теперь мы точно знаем по какому пути расширений идти, но так или иначе, все пути начинаются с метода Хёрфорда по добавлению уровня разделителя. В цепной нотации разделителем выступала стрелка, и добавив к ней уровень, мы получали следующую рекурсию: a→₂b = a→a→a→a→... длиной b. В Линейной массивной нотации разделителем выступает запятая, которую мы иначе запишем так "(1)", что значит разделитель первого уровня. Тогда запись {n,n,n,n,...} будет выглядеть так {n(1)n(1)n(1)n(1)...}. Теперь внимание, согласно первому правилу массивной нотации получается: {a(1)b} = {a(2)b} = {a(n)b} = a^b, потому что первое правило ничего не говорит о разделителях, но всегда превращает массив, состоящий лишь из двух вхождений, в операцию возведения в степень. Однако в Расширенной цепной нотации первое правило было изменено, и срабатывало только в случае, если стрелка между аргументами была первого уровня. Мы же изменять его не будем. Правило базы необходимо оставить в неизменном виде, потому что процесс исключений, по которому и работают рекурсии, начинается с третьего вхождения, а значит алгоритм вычисления нотации никогда не доберется до раскрытия разделителей более высоких уровней стоящих перед вторым вхождением, что сделает нотацию неработоспособной. Функцию расширения точно так же может взять на себя второй разделитель и тогда получится что: {n,m(2)2} = {n,n,n,n,n,...} где m+1 вхождение = {n,n,1,1,1,...,2} где m-1 единиц. Как вы заметили, несмотря на то, что расширение начинается с третьего вхождения, принцип рекурсии остался столь же силен и схож с "n→₂n". Для получения аналога рекурсии “n→₂n→2 = n→₂n→(n→₂n→(n→₂n→...)) - где n-1 вложений” в массивной нотации мы должны записать массив так: {n,m,2(2)2}, и по правилам он будет рекурсивно раскладываться на {n,{n,{n,{...}(2)2}(2)2}(2)2} - где m-1 вложений, что примерно соответствует рекурсии “{n,n,1,1,1,...,2} - где число единиц равно {n,n,1,1,1,...,2} - где число единиц равно {n,n,1,1,1,...,2} - где  ... и так m-1 раз”, или так же эту рекурсию можно выразить иначе: “{n,n,n,n,n,...} - где число вхождений равно {n,n,n,n,n,...} - где число вхождений равно {n,n,n,n,n,...} - где ... и так m-1 раз”. Как видите, мы можем располагать разделители меньшего уровня перед разделителями бо́льшего уровня, что запрещено делать по правилам Расширенной цепной нотации, и так же, как это было с возможностью располагать единицы в массиве спереди, данная возможность тоже в итоге сделает нашу рекурсию намного сильнее. Ну а дальше продолжаем в стиле Линейной массивной нотации: {n,n,n(2)2} = {n,n,1,2(2)2}, затем {n,m,2,2(2)2} = {n,n,{n,n,{n,n,...(2)2}(2)2}(2)2} - где m-1 вложений. И так до тех пор, пока: {n,m(2)3} = {n,n,n,n,n,...(2)2} - где m+1 вхождение = {n,n,1,1,1,...,2(2)2} где m-1 единиц.

Вот только сейчас, пройдя столько рекурсий, мы сдвинули вхождение после разделителя второго уровня с мертвой точки. После чего мы можем продолжить усиливать рекурсии по той же схеме: {n,m,2(2)3} = “{n,{n,{n,{...}(2)3}(2)3}(2)3} - где m-1 вложений” = “{n,n,1,1,1,...(2)2} - где число единиц равно {n,n,1,1,1,...(2)2} - где число единиц равно {n,n,1,1,1,...(2)2} - где ... и так m-1 раз” = “{n,n,n,n,n,...(2)2} - где число вхождений равно {n,n,n,n,n,...(2)2} - где число вхождений равно {n,n,n,n,n,...(2)2} - где ... и так m-1 раз”. Затем переходим к {n,m(2)4} = {n,n,n,n,n,...(2)3} - где m+1 вхождение = {n,n,1,1,1,...,2(2)3} где m-1 единиц, потом сразу прыгаем к {n,n(2)n} = {n,n(2)1,2}. Ну а после разделителя второго уровня наращивать рекурсии становится уже непросто, потому что рекурсия: “{n,n(2){n,n(2){n,n(2)...}}} - где m-1 вложений” эквивалентна только {n,m,2(2)1,2}. И чтобы получить {n,m(2)2,2} необходимо сделать так: {n,n,n,n,n,...(2)1,2} - где m+1 вхождение = {n,n,1,1,1,...,2(2)1,2} где m-1 единиц. Теперь так же продвигаемся дальше по схеме Линейной массивной нотации, только накручивая рекурсии уже после разделителя второго уровня: {n,n(2)n,n} = {n,n(2)1,1,2}, {n,n(2)n,n,n} = {n,n(2)1,1,1,2}, и т.д. Будем делать это наращивание рекурсий до тех пор, пока: {n,m(2)1(2)2} = {n,n(2)n,n,n,n,n,...} - где m+2 вхождения = {n,n(2)1,1,1,...,2} где m единиц, и вот только лишь сейчас появляется второй разделитель второго уровня. Теперь нам придется пройти сквозь еще один, уже в два раза более мощный, круговорот рекурсий, чтобы от выражения {n,m(2)1(2)2} добраться до выражения {n,m(2)1(2)1(2)2}, ведь “{n,n(2)n,n,n,n,n,...} - где число вхождений после "(2)" равно {n,n(2)n,n,n,n,n,...} - где число вхождений после "(2)" равно {n,n(2)n,n,n,n,n,...} - где ... и так m-1 раз” - это лишь {n,m,2(2)1(2)2}.

Дальше схема уже становится очевидной и схожей с методом Хёрфорда по увеличению уровня разделителей: {n,m(3)2} = {n,n(2)1(2)1(2)1(2)...2} - где m-1 единиц, ну или в общем случае получается что {n,m(k+1)2} = {n,n(k)1(k)1(k)1(k)...2} - где m-1 единиц. Как вы могли убедиться возможность располагать разделители меньшего уровня перед разделителями бо́льшего уровня открыла нам новые возможности для рекурсирования. Однако чтобы нотация корректно работала для всех допустимых способов записи, необходимо ввести еще одно правило, назовем его правилом сокращения (сам Hypcos его никак не называет). Звучит оно следующим образом, если перед разделителем бо́льшего уровня стоит разделитель меньшего уровня, а между ними вхождение равное единице, то разделитель меньшего уровня и единица после него убираются, например: {n,m(2)1(3)2} = {n,m(3)2}. Не переживайте в отличие от правила обрыва, данное правило совсем не ослабит нотацию, это просто технический момент, без него в некоторых случаях (например: {n,m,1,2(2)2}) массивы бы вычислялись бесконечно, и нотация оказалась бы нерабочей. Еще я пока не упомянул, про составные разделители, которые сделают нотацию еще сильнее, и для сравнения их уровня нам уже потребуется специальный алгоритм. Но предлагаю пока остановится на рубеже {n,n(n)n} и ознакомиться с полными правилами Расширенной массивной нотации, не вдаваясь в подробности о том, что такое составной разделитель. Заметьте, что этот рубеж еще не является ее пределом, но нам пока необходимо освоиться на нем перед тем как идти дальше, для этого внимательно изучите сравнения выражений с функциями быстрорастущей иерархии.

Перед тем как приводить сравнения я бы хотел напомнить некоторые особенности, характерные для операций со степенью, которые должны быть вам знакомы из школьной алгебры седьмого класса: aⁿ×a = aⁿ⁺¹ и aⁿ×aⁿ = (aⁿ)² = a^n×2, которые так же применимы и для ординальной арифметики: ωⁿ×ω = ωⁿ⁺¹ и ωⁿ×ωⁿ = (ωⁿ)² = ω^n×2. Иногда эти очевидные формулы забываются, но если держать их в голове, то вы быстрее сможете получать следующие преобразования:
ω^ω+1 = ω^ω×ω;
ω^ω+2 = ω^ω×ω×ω;
ω^ω×2 = (ω^ω)² = ω^ω×ω^ω;
ω^ω×2+1 = ω^ω×ω^ω×ω;
ω^ω×3 = ω^ω×ω^ω×ω^ω;
ω^ω2 = ω^ω×ω^ω×ω^ω×ω^ω×... - ω раз;
ω^ωω+1 = ω^ωω×ω;
ω^ωω×2 = (ω^ωω)² = ω^ωω×ω^ωω;
ω^ωω+1 = ω^ωω×ω
и т.д.

Они пригодятся вам для понимания рекурсий в функциях быстрорастущей иерархии, чтобы их было проще сопоставлять с рекурсиями Расширенной массивной нотации.

f_ω^ω(n) > {n,n(2)2} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2} = {n,n,n,n,n,...n-1 раз...}
f_ω^ω+1(n) > {n,n,2(2)2} = {n,{n,...{n,n(2)2}...(2)2}(2)2} n-1 вложений
f_ω^ω+2(n) > {n,n,3(2)2} = {n,{n,...{n,n(2)2}...,2(2)2},2(2)2} n-1 вложений
f_ω^ω+ω(n) > {n,n,1,2(2)2} = {n,n,n(2)2}
f_ω^ω+ω+1(n) > {n,n,2,2(2)2} = {n,n,{n,n,...{n,n,n,(2)2}...(2)2}(2)2} n-1 вложений
f_ω^ω+ω×2(n) > {n,n,1,3(2)2} = {n,n,n,2(2)2}
f_{ω^ω+ω×2+1}(n) > {n,n,2,3(2)2} = {n,n,{n,n,...{n,n,n,2(2)2}...2(2)2}2(2)2} n-1 вложений
f_ω^ω+ω×3(n) > {n,n,1,4(2)2} = {n,n,n,3(2)2}
f_ω^ω+ω²(n) > {n,n,1,1,2(2)2} = {n,n,n,n(2)2}
f_ω^ω+ω²+1(n) > {n,n,2,1,2(2)2} = {n,n,n,{n,n,n,...{n,n,n,(2)2}...(2)2}(2)2} n-1 вложений
f_{ω^ω+ω²+ω}(n) > {n,n,1,2,2(2)2} = {n,n,n,1,2(2)2}
f_{ω^ω+ω²×2}(n) > {n,n,1,1,3(2)2} = {n,n,n,n,2(2)2}
f_ω^ω+ω³(n) > {n,n,1,1,1,2(2)2} = {n,n,n,n,n(2)2}
f_ω^ω×2(n) > {n,n(2)3} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2(2)2} = {n,n,n,n,n,...n-1 раз...(2)2}
f_ω^ω×2+1(n) > {n,n,2(2)3} = {n,{n,...{n,n(2)3}...(2)3}(2)3} n-1 вложений
f_ω^ω×2+ω(n) > {n,n,1,2(2)3} = {n,n,n(2)3}
f_{ω^ω×2+ω²}(n) > {n,n,1,1,2(2)3} = {n,n,n,n(2)3}
f_{ω^ω×2+ω³}(n) > {n,n,1,1,1,2(2)3} = {n,n,n,n,n(2)3}
f_ω^ω×3(n) > {n,n(2)4} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2(2)3} = {n,n,n,n,n,...n-1 раз...(2)3}
f_ω^ω+1(n) > {n,n(2)1,2} = {n,n(2)n}
f_ω^ω+1+1(n) > {n,n,2(2)1,2} = {n,n(2){n,n(2)...{n,n(2)n}...}} n-1 вложений
f_ω^ω+1+ω(n) > {n,n,1,2(2)1,2} = {n,n,n(2)1,2}
f_ω^ω+1+ω²(n) > {n,n,1,1,2(2)2} = {n,n,n,n(2)2}
f_ω^ω+1+ω³(n) > {n,n,1,1,1,2(2)2} = {n,n,n,n,n(2)1,2}
f_{ω^ω+1+ω^ω}(n) > {n,n(2)2,2} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2(2)1,2} = {n,n,n,n,n,...n-1 раз...(2)1,2}
f_{ω^ω+1+ω^ω×2}(n) > {n,n(2)3,2} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2(2)2,2} = {n,n,n,n,n,...n-1 раз...(2)2,2}
f_ω^ω+1×2(n) > {n,n(2)1,3} = {n,n(2)n,2}
f_ω^ω+1×3(n) > {n,n(2)1,4} = {n,n(2)n,3}
f_ω^ω+2(n) > {n,n(2)1,1,2} = {n,n(2)n,n}
f_{ω^ω+2+ω^ω}(n) > {n,n(2)2,1,2} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2(2)1,1,2} = {n,n,n,n,n,...n-1 раз...(2)1,1,2}
f_{ω^ω+2+ω^ω+1}(n) > {n,n(2)1,2,2} = {n,n(2)n,1,2}
f_ω^ω+2×2(n) > {n,n(2)1,1,3} = {n,n(2)n,n,2}
f_ω^ω+3(n) > {n,n(2)1,1,1,2} = {n,n(2)n,n,n}
f_ω^ω×2(n) > {n,n(2)1(2)2} = {n,n(2)1,1,1,...n раз...2} = {n,n(2)n,n,n,...n раз...}
f_ω^ω×2+1(n) > {n,n,2(2)1(2)2} = {n,{n,...{n,n(2)1(2)2}...(2)1(2)2}(2)1(2)2} n-1 вложений
f_{ω^ω×2+ω^ω}(n) > {n,n(2)2(2)2} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2(2)1(2)2} = {n,n,n,n,n,...n-1 раз...(2)1(2)2}
f_{ω^ω×2+ω^ω+1}(n) > {n,n,2(2)2(2)2} = {n,{n,...{n,n(2)2(2)2}...(2)2(2)2}(2)2(2)2} n-1 вложений
f_{ω^ω×2+ω^ω×2}(n) > {n,n(2)3(2)2} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2(2)2(2)2} = {n,n,n,n,n,...n-1 раз...(2)2(2)2}
f_{ω^ω×2+ω^ω+1}(n) > {n,n(2)1,2(2)2} = {n,n(2)n(2)2}
f_{ω^ω×2+ω^ω+1+1}(n) > {n,n,2(2)1,2(2)2} = {n,n(2){n,n(2)...{n,n(2)n(2)2}...(2)2}(2)2} n-1 вложений
f_{ω^ω×2+ω^ω+1+ω^ω}(n) > {n,n(2)2,2(2)2} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2(2)1,2(2)2} = {n,n,n,n,n,...n-1 раз...(2)1,2(2)2}
f_{ω^ω×2+ω^ω+1×2}(n) > {n,n(2)1,3(2)2} = {n,n(2)n,2(2)2}
f_{ω^ω×2+ω^ω+2}(n) > {n,n(2)1,1,2(2)2} = {n,n(2)n,n(2)2}
f_ω^ω×2×2(n) > {n,n(2)1(2)3} = {n,n(2)1,1,1,...n раз...2(2)2} = {n,n(2)n,n,n,...n раз...(2)2}
f_ω^ω×2+1(n) > {n,n(2)1(2)1,2} = {n,n(2)1(2)n}
f_ω^ω×2+1+1(n) > {n,n,2(2)1(2)1,2} = {n,n(2)1(2){n,n(2)1(2)...{n,n(2)1(2)n}...}} n-1 вложений
f_{ω^ω×2+1+ω^ω}(n) > {n,n(2)2(2)1,2} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2(2)1(2)1,2} = {n,n,n,n,n,...n-1 раз...(2)1(2)1,2}
f_{ω^ω×2+1+ω^ω×2}(n) > {n,n(2)1(2)2,2} = {n,n(2)1,1,1,...n раз...2(2)1,2} = {n,n(2)n,n,n,...n раз...(2)1,2}
f_{ω^ω×2+1×2}(n) > {n,n(2)1(2)1,3} = {n,n(2)1(2)n,2}
f_ω^ω×2+2(n) > {n,n(2)1(2)1,1,2} = {n,n(2)1(2)n,n}
f_ω^ω×3(n) > {n,n(2)1(2)1(2)2} = {n,n(2)1(2)1,1,1,...n раз...2} = {n,n(2)1(2)n,n,n,...n раз...}
f_ω^ω×4(n) >{n,n(2)1(2)1(2)1(2)2} = {n,n(2)1(2)1(2)1,1,1,...n раз...2} = {n,n(2)1(2)1(2)n,n,n,...n раз}
f_ω^ω2(n) > {n,n(3)2} = {n,n(2)1(2)1(2)1(2)...n-1 раз...2}
f_ω^ω2+1(n) > {n,n,2(3)2} = {n,{n,...{n,n(3)2}...(3)2}(3)2} n-1 вложений
f_ω^ω2+ω^ω(n) > {n,n(2)2(3)2} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2(3)2} = {n,n,n,n,n,...n-1 раз...(3)2}
f_{ω^ω2+ω^ω+1}(n) > {n,n(2)1,2(3)2} = {n,n(2)n(3)2}
f_{ω^ω2+ω^ω×2}(n) > {n,n(2)1(2)2(3)2} = {n,n(2)1,1,1,...n раз...2(3)2} = {n,n(2)n,n,n,...n раз...(3)2}
f_{ω^ω2+ω^ω×2+1}(n) > {n,n(2)1(2)3(3)2} = {n,n(2)1,1,1,...n раз...2(2)2(3)2} = {n,n(2)n,n,n,...n раз...(2)2(3)2}
f_{ω^ω2+ω^ω×3}(n) > {n,n(2)1(2)1(2)2(3)2} = {n,n(2)1(2)1,1,1,...n раз...2(3)2} = {n,n(2)1(2)n,n,n,...n раз...(3)2}
f_ω^ω2×2(n) > {n,n(3)3} = {n,n(2)1(2)1(2)1(2)...n-1 раз...2(3)2}
f_ω^ω2+1(n) > {n,n(3)1,2} = {n,n(3)n}
f_ω^ω2+ω(n) > {n,n(3)1(2)2} = {n,n(3)1,1,1,...n раз...2} = {n,n(3)n,n,n,...n раз...}
f_ω^ω2+ω×2(n) > {n,n(3)1(2)1(2)2} = {n,n(3)1(2)1,1,1,...n раз...2} = {n,n(3)1(2)n,n,n,...n раз...}
f_ω^ω2×2(n) > {n,n(3)1(3)2} = {n,n(3)1(2)1(2)1(2)...n раз...2}
f_ω^ω2×3(n) > {n,n(3)1(3)1(3)2} = {n,n(3)1(3)1(2)1(2)1(2)...n раз...2}
f_ω^ω2×4(n) > {n,n(3)1(3)1(3)1(3)2} = {n,n(3)1(3)1(3)1(2)1(2)1(2)...n раз...2}
f_ω^ω3(n) >{n,n(4)2} = {n,n(3)1(3)1(3)1(3)...n-1 раз...2}
f_ω^ω4(n) > {n,n(5)2} = {n,n(4)1(4)1(4)1(4)...n-1 раз...2}
f_ω^ωω(n) > {n,n(n)2} = {n,n(n-1)1(n-1)1(n-1)1(n-1)...n-1 раз...2}

Чтобы еще усилить рекурсию можно размещать вхождения внутри разделителя, вот так: {n,n(n)2} = {n,n(1,2)2}. Подобные контрукции называются составным разделителем, их наличие в нотации объясняет весьма усложненный процесс исключений, который так же зарекурсирован внутрь себя, как раз чтобы развертывать составные разделители в обычные. Так, например, в соответствии с его правилами, мы получаем {n,m,2(1,2)2} = {n,n({n,n({n,n(...)2})2})2} - где m-1 вложений. После чего вновь проходим по кругу вышеописанных рекурсий, пока не дойдем до {n,m(2,2)2} = {n,n(1,2)1(1,2)1(1,2)1(1,2)...2} - где m-1 единиц между разделителями. Затем наращиваем рекурсии внутри разделителя по принципу: {n,n(n,2)2} = {n,n(1,3)2} и {n,n(n,n)2} = {n,n(1,1,2)2}, пока не достигнем {n,m(1(2)2)2} = {n,n(n,n,n,n,n,...)2} - где m вхождений внутри = {n,n(1,1,1,...2)2} - где m единиц, что являет собой разделитель вложенный в разделитель. Для того чтобы не запутаться в этом, в правилах вычисления нотации было добавлено понятие "слой разделителя", при этом сам массив называется "базовым слоем". Разворачивать рекурсии необходимо начиная с самого внутреннего слоя, и после того как расширение произошло во всех разделителях этого слоя, переходить к внешнему, таким образом, пока не доберемся до базового слоя, подобный рекурсивный механизм как раз и прописан в процессе исключений (случай B2 и B3). Думаю всем понятно, что это выводит рекурсии на новый уровень. Давайте сразу на примерах посмотрим куда нас это приведет:

f_ω^ωω(n) > {n,n(1,2)2} = {n,n(n)2}
f_ω^ωω+1(n) > {n,n,2(1,2)2} = {n,n({n,n(...{n,n(n)2}...)2})2} n-1 вложений
f_ω^ωω+ω(n) > {n,n,1,2(1,2)2} = {n,n,n(1,2)2}
f_{ω^ωω+ω^ω}(n) > {n,n(2)2(1,2)2} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2(1,2)2} = {n,n,n,n,n,...n-1 раз...(1,2)2}
f_{ω^ωω+ω^ω2}(n) > {n,n(3)2(1,2)2} = {n,n(2)1(2)1(2)1(2)...n-1 раз...2(1,2)2}
f_ω^ωω×2(n) > {n,n(1,2)3} = {n,n(n)2(1,2)2}
f_ω^ωω+1(n) > {n,n(1,2)1,2} = {n,n(1,2)n}
f_ω^ωω+ω(n) > {n,n(1,2)1(2)2} = {n,n(1,2)1,1,1,...n раз...2} = {n,n(1,2)n,n,n,...n раз...}
f_ω^ωω+ω2(n) > {n,n(1,2)1(3)2} = {n,n(1,2)1(2)1(2)1(2)...n раз...2}
f_ω^ωω×2(n) > {n,n(1,2)1(1,2)2} = {n,n(1,2)1(n)2}
f_ω^ωω×3(n) > {n,n(1,2)1(1,2)1(1,2)2} = {n,n(1,2)1(1,2)1(n)2}
f_ω^ωω+1(n) > {n,n,(2,2)2} = {n,n(1,2)1(1,2)1(1,2)...n-1 раз...2}
f_ω^ωω+1+1(n) > {n,n,2(2,2)2} = {n,{n,...{n,n,(2,2)2}...,(2,2)2},(2,2)2} n-1 вложений
f_{ω^ωω+1+ω^ω}(n) > {n,n(2)2(2,2)2} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2(2,2)2} = {n,n,n,n,n,...n-1 раз...(2,2)2}
f_{ω^ωω+1+ω^ωω}(n) > {n,n(1,2)2(2,2)2} = {n,n(n)2(2,2)2}
f_ω^ωω+1×2(n) > {n,n(2,2)3} = {n,n(1,2)1(1,2)1(1,2)...n-1 раз...2(2,2)2}
f_ω^ωω+1+1(n) > {n,n(2,2)1,2} = {n,n(2,2)n}
f_ω^ωω+1+ω(n) > {n,n(2,2)1(2)2} = {n,n(2,2)1,1,1,...n раз...2} = {n,n(2,2)n,n,n,...n раз...}
f_{ω^ωω+1+ωω}(n) > {n,n(2,2)1(1,2)2} = {n,n(2,2)1(n)2}
f_ω^ωω+1×2(n) > {n,n(2,2)1(2,2)2} = {n,n(2,2)1(1,2)1(1,2)1(1,2)...n раз...2}
f_ω^ωω+1×3(n) > {n,n(2,2)1(2,2)1(2,2)2} = {n,n(2,2)1(2,2)1(1,2)1(1,2)1(1,2)...n раз...2}
f_ω^ωω+2(n) > {n,n,(3,2)2} = {n,n(2,2)1(2,2)1(2,2)...n-1 раз...2}
f_ω^ωω×2(n) > {n,n(1,3)2} = {n,n,(n,2)2}
f_ω^ωω×2+1(n) > {n,n,2(1,3)2} = {n,n({n,n,(...{n,n,(n,2)2}...,2)2},2)2} n-1 вложений
f_{ω^ωω×2+ω^ωω}(n) > {n,n(1,2)2(1,3)3} = {n,n(n)2(1,3)2}
f_{ω^ωω×2×2}(n) > {n,n(1,3)3} = {n,n(n,2)2(1,3)2}
f_ω^ωω×2+1(n) > {n,n(1,3)1,2} = {n,n(1,3)n}
f_ω^ωω×2+1(n) > {n,n(2,3)2} = {n,n(1,3)1(1,3)1(1,3)...n-1 раз...2}
f_ω^ωω×2+2(n) > {n,n(3,3)2} = {n,n(2,3)1(2,3)1(2,3)...n-1 раз...2}
f_ω^ωω×3(n) > {n,n(1,4)2} = {n,n,(n,3)2}
f_ω^ωω2(n) > {n,n(1,1,2)2} = {n,n(n,n)2}
f_ω^ωω2+1(n) > {n,n,2(1,1,2)2} = {n,n(n,{n,n(n,...{n,n(n,n)2}...)2})2} n-1 вложений
f_ω^ωω2×2(n) > {n,n(1,1,2)3} = {n,n(n,n)2(1,1,2)2}
f_ω^ωω2+1(n) > {n,n(1,1,2)1,2} = {n,n(1,1,2)n}
f_{ω^ωω2+ωω}(n) > {n,n(1,1,2)1(1,2)2} = {n,n(1,1,2)1(n)2}
f_ω^ωω2×2(n) > {n,n(1,1,2)1(1,1,2)2} = {n,n(1,1,2)1(n,n)2}
f_ω^ωω2+1(n) > {n,n(2,1,2)2} = {n,n(1,1,2)1(1,1,2)1(1,1,2)...n-1 раз...2}
f_ω^ωω2+2(n) > {n,n(3,1,2)2} = {n,n(2,1,2)1(2,1,2)1(2,1,2)...n-1 раз...2}
f_ω^ωω2+ω(n) > {n,n(1,2,2)2} = {n,n(n,1,2)2}
f_{ω^ωω2+ω+1}(n) > {n,n(2,2,2)2} = {n,n(1,2,2)1(1,2,2)1(1,2,2)...n-1 раз...2}
f_{ω^ωω2+ω×2}(n) > {n,n(1,3,2)2} = {n,n(n,2,2)2}
f_ω^ωω2×2(n) > {n,n(1,1,3)2} = {n,n(n,n,2)2}
f_ω^ωω3(n) > {n,n(1,1,1,2)2} = {n,n(n,n,n)2}
f_ω^ωω4(n) > {n,n(1,1,1,1,2)2} = {n,n(n,n,n,n)2} n раз...
f_ω^ωωω(n) > {n,n(1(2)2)2} = {n,n(1,1,1,...n раз...2)2} = {n,n(n,n,n,...n раз...)2}
f_ω^ωωω+1(n) > {n,n,2(1(2)2)2} = {n,{n,...{n,n(1(2)2)2}...(1(2)2)2}(1(2)2)2} n-1 вложений
f_ω^ωωω×2(n) > {n,n(1(2)2)3} = {n,n(1,1,1,...n раз...2)2(1(2)2)2} = {n,n(n,n,n,...n раз...)2(1(2)2)2}
f_ω^ωωω+1(n) > {n,n(1(2)2)1(1(2)2)2} = {n,n(1(2)2)1(1,1,1,...n раз...2)2} = {n,n(1(2)2)1(n,n,n,...n раз...)2}
f_ω^ωωω×2(n) > {n,n(2(2)2)2} = {n,n(1(2)2)1(1(2)2)1(1(2)2)...n-1 раз...2}
f_ω^ωωω+1(n) > {n,n(1,2(2)2)2} = {n,n(n(2)2)2}
f_ω^ωωω×2(n) > {n,n(1(2)3)2} = {n,n(1,1,1,...n раз...2(2)2)2} = {n,n(n,n,n,...n раз...(2)2)2}
f_ω^ωωω+1(n) > {n,n(1(2)1,2)2} = {n,n(1(2)n)2}
f_ω^ωωω×2(n) > {n,n(1(2)1(2)2)2} = {n,n(1(2)1,1,1,...n раз...2)2} = {n,n(1(2)n,n,n,...n раз...)2}
f_ω^ωωω2(n) > {n,n(1(3)2)2} = {n,n(1(2)1(2)1(2)...n раз...2)2}
f_ω^ωωω3(n) > {n,n(1(4)2)2} = {n,n(1(3)1(3)1(3)...n раз...2)2}
f_⁵ω(n) > {n,n(1(1,2)2)2} = {n,n(1(n)2)2}
f_⁶ω(n) > {n,n(1(1(2)2)2)2} = {n,n(1(1,1,1,...n раз...2)2)2} = {n,n(1(n,n,n,...n раз...)2)2}
f_⁷ω(n) > {n,n(1(1(1,2)2)2)2} = {n,n(1(1(n)2)2)2}
f_⁸ω(n) > {n,n(1(1(1(2)2)2)2)2} = {n,n(1(1(1,1,1,...n раз...2)2)2)2} = {n,n(1(1(n,n,n,...n раз...)2)2)2}
f_ⁿω(n) > {n,n(1(1(1...(2)...2)2)2)2} - где (n-2)/2 вложений для четных n; n > 1
f_ⁿω(n) > {n,n(1(1(1... (1,2) ...2)2)2)2} - где (n-3)/2 вложений для нечетных n; n > 1

Вот такой головокружительной рекурсии позволяет достичь Расширенная массивная нотация. Особого внимания заслуживает ординал, которым нумеруется функция быстрорастущей иерархии f_^ωω(n) сопоставимая с пределом Расширенной массивной нотации. Тетрация ^ωω, она же бесконечная степенная башня ω^ωωω... или ε₀ (эпсилон-нуль) - как чаще всего называют этот ординал. Рекурсия уровня f_^ωω(n) соответствует той рекурсии, которая не может быть алгоритмически создана средствами Арифметики первого порядка, на основе тех самых аксиом Пеано (PA), которые мы рассмотрели в начале второй части. Вот мы и достигли таких чисел, на основе которых строилась знаменитая Теорема Гёделя о неполноте, оказавшаяся применимой для любых теорий включающих или выводящих арифметику натуральных чисел. Хочу напомнить, что мы говорим уже не столь а самом числе, сколько о способе получения этого числа. Вспомните миллион из первой части, который я изобразил в натуральном виде как множество точек, но средствами десятичной нотации мы легко могли кратко записать это число, как "1000000". Так вот, числа соизмеримые или бо́льшие чем f_^ωω(n) мы уже не сможем так же кратко записать средствами аксиом Арифметики первого порядка, и сама запись таких чисел будет для нашего восприятия почти соизмерима с его натуральным видом, а как мы оговорились в начале этой части, допускается не более 20 символов. Хочу оговориться, что в данном контексте речь идет только о доказуемо вычислимых числах, то есть таких числах, для которых мы можем запрограммировать алгоритм вычисления отталкиваясь только от аксиом Арифметики Пеано, и этот алгортим гарантировано их вычислит (пусть и физически это, можно сказать, невозможно). Хотя в Арифметике Пеано могут быть весьма кратко определены ещё бо́льшие числа, но увы уже алгоритмически невычислимые, о них мы поговорим намного позже.

Ну а неоднородность бесконечности уровня ^ωω это максимально-возможная неоднородность, которую можно создать на основе аксиом Арифметики первого порядка или теоретико-доказательственный ординал теории (PTO). Доказательство этого факта было первым успехом в ординальном исчислении, оно было получено в 1936 году немецким математиком Карлом Генценом^[162], для этого он использовал введеный им метод исчисления секвенций, который достаточно сложно объяснить без серьезного погружения в математическую логику (далее я приведу более простой способ объяснения того почему ^ωω является PTO для Арифметики Пеано). Совокупность иррациональных чисел, которые упорядочиваются ординалом ^ωω называют числами вычислимыми в арифметике Пеано. Множество таких чисел счетное, но оно намного больше множества алгебраических чисел (которое упорядочивается уже ординалом ω^ω) и помимо собственно подмножества алгебраических чисел оно так же содержит и большое подмножество трансцендентных чисел.

Обратите внимание, что ординал, участвующий в функции быстрорастущей иерархии для создания максимально возможной рекурсии в Арифметике Пеано, равен ординалу создающему максимально возможную неупорядоченность в бесконечности средствами Арифметики Пеано (или PTO теории). Но с подсистемами Арифметики первого порядка такового совпадения не было. Напомню, что:
Арифметика Робинсона (Q) - рекурсия: f₁(n) - PTO: ω
Рудиментарно-функциональная арифметика (RFA) - рекурсия: f₂(n) - PTO: ω²
Элементарно-функциональная арифметика (EFA) - рекурсия: f₃(n) - PTO: ω³
Примитивно-рекурсивная арифметика (PRA) - рекурсия: f_ω(n) - PTO: ω^ω

Однако особо внимательные могут заметить взаимосвязь. Действительно, функции быстрорастущей иерархии, в своем определении уже содержат рекурсию (f_α+1(n) = f_αⁿ(n)), поэтому и возникает такое расхождение на целую степень ωⁿ между ординалом иерархии и теоретико-доказательственным ординалом теории. Наиболее естественным для измерения рекурсий, возможных в рамках аксиоматических систем, будет использование иерархии основанной на ином принципе:
h₀(n) = n.
h_α+1(n) = h_α(n+1).
h_α(n) = h_α[n](n), где α - предельный ординал,
α[n] - n-ный элемент фундаментальной последовательности ординала α.

Такая иерархия была придумана задолго до быстрорастущей, в 1904 году математиком Годфри Харольдом Харди^[163]. Семейство функций соотвественно называются функциями иерархии Харди. И поначалу эта иерархия растет очень медленно, однако начиная с ωⁿ скорость роста уже сопоставима с функциями быстрорастущей иерархии. И далее скорость роста иерархий будет отличаться лишь на одну ступень степенной башни: f_k(n) = h_ω^k(n). Тогда все подсистемы Арифметики первого порядка, возможности к рекурсированию которых измерены иерархией Харди, будут соответствовать своему PTO в иерархии. Кроме того иерархия Харди позволит точнее померять скорость рекурсий, которые создаются в рамках этих подсистем.

h₀(n) = n
h₁(n) = n+1 = f₀(n)
h₂(n) = n+2 = f₀(f₀(n))
h_ω(n) = 2×n = f₁(n)
h_ω+1(n) = 2×(n+1) = f₁(f₀(n))
h_ω+2(n) = 2×(n+2) = f₁(f₀(f₀(n)))
h_ω×2(n) = 4×n = f₁(f₁(n))
h_ω×3(n) = 8×n = f₁(f₁(f₁(n)))
h_ω²(n) = 2ⁿ×n = f₂(n)
h_ω²+1(n) = 2ⁿ⁺¹×(n+1) = f₂(f₀(n))
h_ω²+2(n) = 2ⁿ⁺²×(n+2) = f₂(f₀(f₀(n)))
h_ω²+ω(n) = 2^2×n×(2×n) = f₂(f₁(n))
h_ω²+ω×2(n) = 2^4×n×(4×n) = f₂(f₁(f₁(n)))
h_ω²×2(n) = 2^2n×n×(2ⁿ×n) = f₂(f₂(n))
h_ω²×3(n) = 2^{22n×n×(2n×n)}×(2^2n×n×(2ⁿ×n)) = f₂(f₂(f₂(n)))
h_ω³(n) = f₃(n) > 2[4]n
h_ω⁴(n) = f₄(n) > 2[5]n
h_ω^ω(n) = f_ω(n) > n[n+1]n
h_ω^ω+1(n) = f_ω(f₀(n)) > n[n+2]n
h_ω^ω+ω(n) = f_ω(f₁(n)) > n[2×n]n
h_ω^ω+ω²(n) = f_ω(f₂(n)) > n[2ⁿ×n]n
h_ω^ω×2(n) = f_ω(f_ω(n)) > n[n[n+1]n]n
h_ω^ω×3(n) = f_ω(f_ω(f_ω(n))) > n[n[n[n+1]n]n]n
h_ω^ω+1(n) = f_ω+1(n)
h_ω^ω×2(n) = f_ω×2(n)
h_ω^ω2(n) = f_ω²(n)
h_ω^ω3(n) = f_ω³(n)
h_ω^ωω(n) = f_ω^ω(n)
h_ω^ωωω(n) = f_ω^ωω(n)
h_⁵ω(n) = f_⁴ω(n)
h_⁶ω(n) = f_⁵ω(n)
h_^ωω(n) ≈ f_^ωω(n)

Можно заметить, что как только мы достигаем рекурсии уровня ^ωω = ω^ωωω... = ε₀, с которой уже не справляется Арифметика первого порядка происходит то, что называют схождением рекурсий. То есть, конечно f_^ωω(n) растет быстрее h_^ωω(n), и соответственно f_^ωω+1(n) будет расти быстрее h_^ωω+1(n). Однако h_^ωω+1(n) растет несравненно быстрее чем f_^ωω(n). Получается, что всегда, начиная с ординала ^ωω, скорость рекурсий обеих иерархий будет "примерно" одинаковой, а еще это означает, что для всех теорий, более сильных чем Арифметика первого порядка, их PTO (ординал упорядочивающий максимальную алгоритмически достижимую неоднородность бесконечности) будет совпадать с ординалом в функции быстрорастущей иерархии (предел максимально-возможной рекурсии на натуральных числах). Два известных нам способа измерения силы аксиоматических систем, по сути, свелись к одному.

Ординалы, которые являются пределами для тех или иных теорий, обычно являются пределами для множества рекурсивных функций. В сущности, то что PTO теории является пределом для рекурсивной функции, которая использует все возможности аксиом этой теории, лишний раз доказывает правоту Теоремы Гёделя о неполноте. Так например, так называемая Теорема Гудстейна, является аналогом Теоремы Гёделя для Арифметики первого порядка, доказывая ее неполноту и непротиворечивость^[164]. Но давайте я начну не с сути Теоремы Гудстейна, а с примера, так будет проще ее понять. Возьмем число, допустим "6", и разложим его так, чтобы оно было представлено в виде степени или башни степеней с основанием два и последним показателем ноль: 6 = 2²+2¹+2⁰ = 2²²⁰+2²⁰+2⁰. Теперь заменим все двойки на тройки: 3³³⁰+3³⁰+3⁰ = 31. Теперь вычтем единицу: 31-1 = 30. Снова представим число в виде разложения, но уже в виде степени или башни степеней с основанием три и последним показателем ноль: 30 = 3³+3¹ = 3³³⁰+3³⁰. Теперь заменяем все тройки на четверки: 4⁴⁴⁰+4⁴⁰ = 260. Снова вычитаем единицу: 260-1 = 259 и снова раскладываем число, но уже используя основание четыре: 259 = 4⁴+4⁰+4⁰+4⁰ = 4⁴⁴⁰+4⁰+4⁰+4⁰, заменяем четверки на пятерки и снова вычитаем единицу: 5⁵⁵⁰+5⁰+5⁰+5⁰-1 = 3217, и так далее. Думаю основной принцип всем понятен. Так вот, согласно Теореме Гудстейна, любое натуральное число может быть разложено по такому приниципу и в конце-концов сведено к нулю^[165]. На первый взгляд это утверждение противоречит интуиции, похоже что в результате разложения число будет только увеличивается. Но давайте возьмем число поменьше, например "3", и за пять шагов убедимся, что для этого числа теорема верна:
1) 3 = 2²⁰+2⁰ ⇒ 3³⁰+3⁰-1 = 3;
2) 3 = 3³⁰ ⇒ 4⁴⁰-1 = 3;
3) 3 = 4⁰+4⁰+4⁰ ⇒ 5⁰+5⁰+5⁰-1 = 2;
4) 2 = 5⁰+5⁰ ⇒ 6⁰+6⁰-1 = 1;
5) 1 = 6⁰ ⇒ 7⁰-1 = 0.

Однако не просто будет убедиться, вот так же на примере поэтапного разложения, что и для числа "4" теорема тоже верна, потому что для этого потребуется 3×2^402653211-3 шагов, что примерно равно 10^121210695. А это уже прецедент для создания быстрорастущей функции, которую так и называют Функцией Гудстейна G(n). Функция определяет сколько шагов требуется для разложения числа n по Теореме Гудстейна. В целом скорость роста этой функции, как вы догадались, оценивается f_^ωω(n), вернее стоит сказать h_^ωω(n), причем ее можно очень точно сопоставить с функциями иерархии Харди, что мы и сделаем ниже. Эти сопоставления имеют очень глубокий смысл. Если вы проследите за сравениями, то поймете как трансфинитные ординалы связаны с рекурсиями над натуральными числами.

Любое натуральное число можно разложить на подобные степенные башни с использованием любого натурального основания, которое будет меньше данного числа, например:
100 = 2⁶+2⁵+2² = 2^2220+220+2^2220+20+2²²⁰
100 = 3⁴+3²+3²+3⁰ = 3³³⁰⁺³⁰+3³⁰⁺³⁰+3³⁰⁺³⁰+3⁰
100 = 4³+4²+4²+4¹ = 4^40+40+40+4⁴⁰⁺⁴⁰+4⁴⁰⁺⁴⁰+4⁴⁰
и т.д.

Это называется разложением по супероснованию. Здесь то как раз и кроется взаимосвязь с аксиомами арифметики, в этом процессе проверяется вся мощь аксиомы математической индукции. Проверяется на прочность сам принцип индукции, что любое корректное математическое утверждение об n, верное и для n+1, должно быть верно для всех натуральных чисел. Ну и как следует из Теоремы Гёделя о неполноте и как показывает Теорема Гудстейна принцип математической индукции не может быть проверен в рамках аксиом арифметики первого порядка^[164], а только в рамках более сильной теории, имеющей PTO > ^ωω.

G(0) = G(0) = h₀(3)-3 = 0
G(1) = G(1) = h₁(3)-3 = 1
G(2) = G(2) = h_ω(3)-3 = 3
G(3) = G(2+1) = h_ω+1(3)-3 = 5
G(4) = G(2²) = h_ω^ω(3)-3
G(5) = G(2²+1) = h_ω^ω+1(3)-3
G(6) = G(2²+2) = h_ω^ω+ω(3)-3
G(7) = G(2²+2+1) = h_ω^ω+ω+1(3)-3
G(8) = G(2²⁺¹) = h_ω^ω+1(3)-3
G(9) = G(2²⁺¹+1) = h_ω^ω+1+1(3)-3
G(10) = G(2²⁺¹+2) = h_ω^ω+1+ω(3)-3
G(11) = G(2²⁺¹+2+1) = h_ω^ω+1+ω+1(3)-3
G(12) = G(2²⁺¹+2²) = h_{ω^ω+1+ω^ω}(3)-3
G(13) = G(2²⁺¹+2²+1) = h_{ω^ω+1+ω^ω+1}(3)-3
G(14) = G(2²⁺¹+2²+2) = h_{ω^ω+1+ω^ω+ω}(3)-3
G(15) = G(2²⁺¹+2²+2+1) = h_{ω^ω+1+ω^ω+ω+1}(3)-3
G(16) = G(2²²) = h_ω^ωω(3)-3
G(32) = G(2²²⁺¹) = h_ω^ωω+1(3)-3
G(64) = G(2²²⁺²) = h_ω^ωω+ω(3)-3
G(128) = G(2²²⁺²⁺¹) = h_ω^ωω+ω+1(3)-3
G(256) = G(2²²⁺¹) = h_ω^ωω+1(3)-3
G(512) = G(2²²⁺¹⁺¹) = h_ω^ωω+1+1(3)-3
G(1024) = G(2²²⁺¹⁺²) = h_ω^ωω+1+ω(3)-3
G(2048) = G(2^22+1+2+1) = h_{ω^ωω+1+ω+1}(3)-3
G(4096) = G(2^22+1+22) = h_{ω^ωω+1+ωω}(3)-3
G(8192) = G(2^22+1+22+1) = h_{ω^{ωω+1+ωω+1}}(3)-3
G(16384) = G(2^22+1+22+2) = h_{ω^{ωω+1+ωω+ω}}(3)-3
G(32768) = G(2^22+1+22+2+1) = h_{ω^{ωω+1+ωω+ω+1}}(3)-3
G(65536) = G(2²²²) = h_ω^ωωω(3)-3
G(⁵2) = h_⁵ω(3)-3
G(⁶2) = h_⁶ω(3)-3
G(ⁿ2) < h_^ωω(n)-3

Другая теорема, которая так же является аналогом Теоремы о Неполноте для Арифметики первого порядка, называется Теоремой Кирби-Париса^[164]. Происходит эта теорема из теории игр. Мы имеем дело с игрой определенного вида, которую называют Гидра. В мифе о Геракле гидра была чудовищем с уникальной способностью, лишившись одной головы она отращивала на ее месте две новых. Понятно, что тактика сражения в виде отсечения голов не позволит победить гидру, и с каждой отрубленной головой она будет становится только сильнее. Давайте изобразим нашу гидру используя скобки: (()()()) - представьте, что это трехголовая гидра, вид сверху. Отрубаем левую голову (()()()) и на ее месте вырастает две новые (()()()()). Как мы выяснили, такая гидра непобедима. Мы можем еще усилить ее непобедимость, дав гидре способность отращивать не две, а три или четыре или h - голов, назовем число h - регенеративной способностью гидры.

В Теореме Кирби-Париса мы сражаемся с гидрой несколько иной природы. Во-первых у этой гидры головы могут расти не только из туловища, но и из других голов, например так: ((())()()). Во-вторых голова отрубленная от туловища больше не вырастает, однако отрубать головы можно только если от них не растут другие головы. Ну и самое главное правило: после отрубания головы, не растущей от туловища, гидра отращивает целые ветки голов, начиная от узла, к которому была прикреплена голова, от которой отрубили голову. Давайте формально запишем правила этой игры:
Голова - a,
Узел, к которому она крепится - b,
Узел, к которому крепится этот узел - с,
и т.д.
Туловище - R.
Регенеративная способность гидры - h.
Если мы отрубаем голову a, то:
1) если голова прикреплена к туловищу (b = R) - ничего не происходит
2) если голова прикреплена к некому узлу, который не является туловищем (b ≠ R) - тогда от узла c создается h копий всего древа, которое осталось на узле c после отрубания головы.

Ниже приведу вам наглядный пример, того что будет происходить с этой гидрой, когда мы начнем с ней сражаться.

На первый взгляд кажется, что эта гидра тоже непобедимая как и та, с которой сражался Геракл, и похоже она еще более могущественная. Однако Теорема Кирби-Париса утверждает, что такую гидру всегда можно сразить, вне зависимости от того сколько у нее голов, как они распределены, и вне зависимости от того какой регенеративной способностью обладает гидра. Это утверждение так же как Теорема Гудстейна противоречит интуции, но оно доказывается. Однако доказательство лежит за пределами аксиом Арифметики первого порядка, в рекурсиях столь сильных, что они недоступны нашей интуиции. Для более интуитивного доказательства так же используют трансфитиные ординалами. Каждый уровень, на котором размещается голова, можно пометить ординалом ω^k₁+ω^k₂+ω^k₃+...+ω^k_n, где n - число голов растущих из этого уровня, k_i - ординал головы верхнего уровня, при этом самые верхние головы всегда отмечаются нулевыми ординалами. После отрубания голов гидра не растет вверх, а только вширь, причем получается так, что после каждого отрубания головы, ординал, которым помечается тело, будет уменьшаться, а значит гидру всегда можно убить.

Теперь давайте определим быстрорастущую функцию связанную с этой игрой. Итак, имеется гидра в виде линейного графа высотой n (головы растут из голов по одной, тогда n - число голов), функция KPH(n) определеляет сколько понадобится ходов, чтобы победить эту гидру, при условии, что регенеративная способность гидры h = 1, и растет на единицу h = h+1 с каждым ходом. Даже такую гидру, регенерация которой постоянно возрастает, в соотвествии с Теоремой Кирби-Париса, тоже можно уничтожить. Функция KPH(n) растет со скоростью f_^ωω(n) или h_^ωω(n), что "почти" тоже самое. Растущая регенеративная способность это на самом деле связь с математической индукцией (утверждающей что, то что верно для n и для n+1 будет верно для всех натуральных чисел), которая позволяет достигнуть рекурсивных пределов Арифметики первого порядка^[164]. Функция KPH(n) может быть точно вычислена в разумных пределах максимум для аргумента n = 3, тогда гидра будет выглядеть так: (((()))). Сражение с такой гидрой займет KPH(3) = 37 ходов, и будет происходить следующим образом:

(((())))
((()()))
((())(())(()))
((())(())()()()())
((())(())()()())
((())(())()())
((())(())())
((())(()))
((())()()()()()()()()())
((())()()()()()()()())
((())()()()()()()())
((())()()()()()())
((())()()()()())
((())()()()())
((())()()())
((())()())
((())())
((()))
(()()()()()()()()()()()()()()())
(()()()()()()()()()()()()()())
(()()()()()()()()()()()()())
(()()()()()()()()()()()())
(()()()()()()()()()()())
(()()()()()()()()()())
(()()()()()()()()())
(()()()()()()()())
(()()()()()()())
(()()()()()())
(()()()()())
(()()()())
(()()())
(()())
(())
()

В целом же значения функции как и в случае с функцией Гудстейна проще выражать через иерархию Харди. Точные соотношения значений, увы, выразить сложно, но приблизительные значения будут следующие:
KPH(0) = 0
KPH(1) = 1
KPH(2) = 3
KPH(3) = 37 > h_ω×2+4(5) = 36
KPH(4) > h_ω^ω×2+4(5)
KPH(5) > h_ω^ωω×2+4(5)
KPH(6) > h_{ω^ωωω×2+4}(5)
и т.д.

Теперь, когда мы убедились насколько тесно взаимосвязаны ординалы и рекурсивные функции, давайте с вами подробнее поговорим о том, как именно в ординалах заключены эти рекурсии, которые они в себе несут. Греческая буква ω, символизирующая первый трансфинитный ординал, а так же такие арифметические действия над ним, как сложение, умножение, степень и всевозможные их комбинации, в том числе с использованием десятичных чисел (например, ω^ωω×3+ω^ω+5×2+7) - называются ординальной нотацией Кантора. Да, все верно, для записи ординалов нам тоже нужны нотации. При том очень важно, чтобы ординальная нотация была вполне упорядочена - это значит, что средствами нотации потенциально может быть записан любой ординал, вплоть до предельного ординала ее возможостей, и два любых ординала всегда можно сравнить между собой. Хочу отметить разницу между понятиями "все ординалы" и "любой ординал". Понятно, что все ординалы записать невозможно, так как их бесконечно много и даже, если так можно сказать, более чем бесконечно много (0,1,2,3,...n,...ω,ω+1,ω+2,ω+3,...,ω+n,...ω×2,...), но чисто теоретически, пусть даже у вас не будет физической возможности это сделать, любой конкретный ординал, который вы только пожелаете, может быть записан в этой нотации. Однако стоит отметить важное разлчие между ординальными нотациями и нотациями для записи натуральных чисел. У ординальных нотаций всегда есть предел, дальше которого нотация не может записать ординалы конечным способом, это является прямым следствием теоремы Геделя, величина этого предела определяет силу ординальной нотации. Для нотации Кантора пределом является ординал ^ωω - бесконечная степенная башня из ω, поскольку тетрация не включена в нотацию, то никакой конечной возможности записать этот ординал и все последующие у нее нет. Нотации для натуральных чисел же теоретически могут записать любое натуральное число, дай им только место для записи, будь это хоть натуральный вид, в котором можно нарисовать сколько угодно палочек (хотя, для того чтобы судить о силе нотации, мы тоже можем поставить ограничение, например на количество символов для записи, как мы сделали это в начале этой главы). Способность до своего предела записать любой ординал конечным способом называют нормальной формой ординальной нотации. Нормальная форма ординальной нотации Кантора^[112] определяется следующим образом:
Любой ненулевой ординал α < ^ωω можно запиcать в виде:
α = ω^β₁+ω^β₂+...+ω^β_k-1+ω^β_k, где α > β₁ ≥ β₂ ≥ ... ≥ β_k-1 ≥ β_k

На самом деле, из этого правила записи получается что для ординальной нотации Кантора не нужны даже десятичные цифры, нужен только ноль, потому что любое натуральное число можно записать так: n = ω⁰+ω⁰+ω⁰+ω⁰+... - n-раз, например: 3 = ω⁰+ω⁰+ω⁰. Операция умножения тоже не нужна, поскольку ее можно заменить, либо сложением, либо степенью, например: ω^ω×ω² = ω^ω×ω×ω = ω^ω+1×ω = ω^ω+2 = ω^ω+ω0+ω0. Короче говоря, каждый ординал в Нормальной форме Кантора, по сути, является некой гидрой Кирби-Париса, и чем более живучая получилась гидра, тем бо́льший ординал мы имеем. Подобные преобразования нужны для формальных алгоритмических подсчетов, чтобы можно было легко и просто сравнить два любых ординала по величине. А мы можем продолжать использовать десятичные цифры и умножение, чтобы сохранить привычное интуитивное понимание ординалов. Но все же, если в ординальной нотации для каждого ординала будет работать формальный вычислительный алгоритм, позволяющий сравнить по величине два любых ординала, записанных в нормальной форме, значит такая нотация является вполне упорядоченной, и в ней корректно можно определить фундаментальные последовательности.

Давайте подробнее остановимся на этом понятии, потому что фундаментальные последовательности это очень важный момент в гугологии. Итак, фундаментальная последовательность определяется только для счетного предельного ординала, ей называется строго возрастающая последовательность ординалов, пределом которой он является^[166]. Для любого счетного предельного ординала, такая последовательность всегда будет счетно-бесконечной (содержать ℵ₀ элементов) и не содержащей трансфинтиных разрывов, это напрямую следует из свойств счетных ординалов, ведь каждый из них может быть неким определенным способом сопоставлен с рядом натуральных чисел. Тут важно понимать, что фундаментальные последовательности это бесконечные множества, которые сами по себе еще не являются ординалами. Ведь, по определению, ординалы это такие множества, которые образованы по приципу включения всех предыдущих, так например: 1 = {0} , 2 = {0,1} , ω = {0,1,2,3,4,...} , ω+1 = {0,1,2,3,4,...ω} , ω×2 = {0,1,2,3,4,...ω,ω+1,ω+2,ω+3,...} и т.д. То есть, не каждое множество является ординалом, а только включающее в себя все предыдущие ординалы. С другой стороны мы можем определить, например, ординал ω², как предел фундаментальной последовательности {ω,ω×2,ω×3,ω×4, ...}, но при этом сама последовательность это не то множество, которое представляет собой ординал ω². Потому что ω² = {0,1,2,3,4,... ω,ω+1,ω+2,ω+3,... ω×2,ω×2+1,ω×2+2,ω×2+3,... ω×3,ω×3+1,ω×3+2,ω×3+3..., . . . }. Более того, любой ординал бо́льший чем ω, будучи множеством, не может быть последовательностью без трансфинтиных разрывов (без троеточий между ординалами, символизирующих бесконечное количество элементов между ними). И ω - это единственный ординал, фундаментальная последовательность которого совпадает с ним самим. Значит, когда мы используем фундаментальную последовательность как множество для получения ординала, их нельзя приравнивать, а в этом случае используется понятие супремум (sup), означающее верхнюю грань множества. Супремум - это либо максимальный элемент множества, если такой есть, либо если его нет, как в случае с бесконечно возрастающей последовательностью, минимальный ординал бо́льший чем каждый член последовательности. И такой ординал должен существовать, потому что это напрямую следует из аксиомы бесконечности, в соответствии с которой, предел некоторой бесконечной последовательности ординалов, тоже является ординалом. Поэтому более корректно следует расписывать ординалы на образующие их фундаментальные последовательности таким образом: ω×2 = sup(ω+1,ω+2,ω+3,...,ω+n,...)_n<ω , ω² = sup(ω×1,ω×2,ω×3,...,ω×n,...)_n<ω , ω^ω = sup(ω¹,ω²,ω³,...,ωⁿ,...)_n<ω , и держать в голове, что данные предельные ординалы включают в себя не только членов последовательности, но и всевозможные ординалы, которые могут быть между ними и перед ними.

Однако здесь кроется одна проблема, дело в том, что для одного и того же ординала может быть определено несколько разных фундаментальных последовательностей и он будет супремумом для каждой из них. К примеру ω×2 = sup(ω+2,ω+4,ω+6,...,ω+n×2,...)_n<ω , ω² = sup(ω×1+1,ω×2+2,ω×3+3,...,ω×n+n,...)_n<ω , для обоих этих последовательностей супремумами будут ординалы ω×2, и ω² соотвественно. А так же для них можно придумать еще великое множество других последовательностей, и каждая из них тоже может являться фундаментальной. И когда в функциях быстрорастущей иерархии или иерархии Харди, или любой другой рекурсивной иерархии завязанной на трансфинитных ординалах, мы используем ту самую хитрость, меняя ординал на заложенную в нем рекурсию, то мы как раз и задействуем фундаментальные последовательности^[166]. А теперь внимание, если для самого ординала этот момент не имеет большого значения, ведь все фундаментальные последовательности что его образуют одинаково бесконечны, то для рекурсий на конечных числах очень важно какую именно фундаментальную последовательность использовать. Потому что в рекурсивных иерархиях мы обычно вместо ординального "и так до бесконечности", используем "и так n-раз". И это самое n зависит от того какой член фундаментальной последовательности там находится. То есть, наша задача, начиная с n-ного номера, n-раз пройтись обратно по рекурсивной цепочке создающей ординал, и от того насколько рекурсивно эффективен будет этот обратный путь зависит размер получаемой рекурсии. Конечно если на этом обратном пути мы учтем каждый ординал и используем его фундаметнальную последовательность так же эффективно, то создаваемая рекурсия на конечных числах будет сильнее.

Для нотации Кантора эффективные фундаментальные последовательности формально записываются следующим образом^[166]:
ω[n] = n;
(ω^α₁+...+ω^α_k-1+ω^α_k)[n] = ω^α₁+...+ω^α_k-1+ω^α_k[n] - где α₁ ≥ ... ≥ α_k-1 ≥ α_k;
ω^α+1[n] = ω^α×n;
ω^α[n] = ω^α[n] - где α - предельный ординал;
^ωω[0] = 0; ^ωω[n+1] = ω^(ωω)[n] = ⁿω.

Немного поясню, что это значит. Запись α[n] = f(n) обозначает, что n-ный элемент ординала α находится по некой формуле f взятой от n. Например: ω[5] = 5; (ω×2)[5] = ω+ω[5] = ω+5; ω²[5] = ω×5; (ω²+ω)[5] = ω²+5; и т.д. Тех кто не понял формальную запись определения фундаментальных нотаций, но внимательно следил за примерами, которые я приводил когда показывал как разворачиваются рекурсии при подстановке трансфинитных ординалов в функции быстрорастущей иерархии, я спешу успокоить, что они и так уже знают, что такое фундаментальные последовательности и как они работают. Ну а если вы не понимаете зачем нужны эти формальные сложности, поскольку вы и так интуитивно понимаете работу рекурсии, то попробуйте написать формальный алогритм для компьютера, который будет рассчитывать эту рекурсию, и вы вскоре поймете, что компьютер не может как вы инутитивно чувствовать ординалы и менять их бесконечность на конечную рекурсивность, поэтому для него нужны строгие формальные определения фундаментальных последовательностей.

Пределом для нотации Кантора является ординал ^ωω - иногда его называют Малым ординалом Кантора (Small Cantor ordinal), и как мы выяснили, он уже не может быть записан конечным способом с использованием лишь "ω","0" сложения и возведения в степень. Поэтому фундаментальная последовательность для него определена отдельно, и в соответствии с правилами будет: f_^ωω(n) = ^n-1ω, где f_^ωω(0) = 0 - исключение. Обращаю внимание, что рекурсия: f_^ωω+1(n) = f_{ω↑↑fω↑↑fω↑↑...fω↑↑n(n)...(...)(...)}(...) - n раз, где две стрелки в соответствии с нотацией Кнута обозначают тетрацию - уже лежит за пределами возможностей нотации Кантора, но в своей рекурсии использует эту отдельно определенную фундаментальную последовательность, и как вы можете заметить, делает новый рекурсивный скачек.

Чтобы расширить нотацию Кантора вводят понятие эпсилон-нуль: ε₀ = ω^ωωω... = ^ωω. Это делается, потому что с тетрацией над ординалами cвыше ^ωω работать уже нельзя, как я объяснял еще во второй части, тетрация не может быть неупорядоченной бесконечностью. Вот вам простой пример: ^ω+1ω = ω^(ωω) = ω^(ωωω...) = ω^ωωω... = ^ωω. Как же тогда нам продвигаться дальше, спросите вы? Для начала нам нужно понять, что такое неподвижные точки (fixed point) и как их преодолеть. В математике этим термином называют ситуацию когда f(n) = n, то есть функция возвращает сам аргумент, который и был в нее подставлен. Например, для функции натурального квадрата n² неподвижными точками будут 0 и 1, поскольку 0² = 0 и 1² = 1. Получается, что ε₀ - это неподвижная точка для функции ωⁿ, поскольку ω^ε₀ = ω^(ωωω...) = ω^ωωω... = ε₀. Функции, на которых есть ординальные неподвижные точки записываются так: α↦f(α), например, стандартное определение гласит, что ε₀ - это первая неподвижная точка α↦ω^α. В ординальном анализе неподвижные точки всегда совпадают с некими предельными ординалами. Давайте задумаемся, каким другим способом можно получить ε₀, потому что, если совсем досконально подойти к выражению ^ωω, то вообще-то некорректно говорить, что "ε₀ = ^ωω - это степенная башня ω^ωωω... из бесконечного количества ω", потому что тогда мы получается говорим о кардинале, количественной бесконечности. Если мы хотим получить что-то порядковое, то нам в определении нужно слово "последовательность", а не "количество". Тогда лучше сказать так ε₀ = ^ωω - это предел фундаментальной последовательности {ω,ω^ω,ω^ωω,ω^ωωω, ...}. Получается, что ординальные неподвижные точки, так же как любые другие предельные ординалы, проще и правльнее выразить как пределы для некой фундаментальной последовательности. Тут важно понимать то что я объяснял до этого, что ε₀ ≠ {ω,ω^ω,ω^ωω,ω^ωωω,...}, то есть эта последовательность будучи множеством не является сама по себе ε₀, и более того это множество вообще не является ординалом. Ну а в свою очередь, ε₀, являясь ординалом, содержит в себе все предыдущие ординалы, и ω×2, и ω³, и ω^ω+1, и т.д., которых нет в последовательности {ω,ω^ω,ω^ωω,ω^ωωω,...}.

И так же как функция натурального квадрата n² имеет больше одной неподвижной точки (точнее две: 0 и 1), ординальная функция ωⁿ, тоже имеет больше одной неподвижной точки, а точнее бесконечное количество и даже более чем бесконечное, но давайте доберемся хотя бы до второй неподвижной точки. Вначале попробуем увеличивать нашу первую неподвижную точку ε₀ самым простым способом: ω^ωωω...+1 = ε₀+1, и о чудо, мы сдвинулись с места: ε₀+1 > ω^ε₀, поскольку ω^ε₀ = ω^(ωωω...) = ω^ωωω... = ε₀. Дальше поступаем следующим образом: ω^{(ωωω...+1)} = ω^ε₀+1; ω^{ω(ωω...+1)} = ω^ωε₀+1; ω^ωω(ω..+1) = ω^ωωε₀+1 и снова получаем бесконечную последовательность {ε₀+1,ω^ε₀+1,ω^ωε₀+1,ω^ωωε₀+1,ω^{ωωωε₀+1},...}, так вот ω^{ωω...ε₀+1} = ε₁ - предел этой последовательности и это же вторая неподвижная точка α↦ω^α (потому что ω^{(ωω...ε₀+1)} = ω^{ωω...ε₀+1}), с которой опять непросто сдвинуться, например: ω^ε₁ = ε₀^ε₁ = ε₁. Соответственно: ω^{ωω...ε₁+1} = ε₂ - будет третьей неподвижной точкой α↦ω^α и уже ω^ε₂ = ε₀^ε₂ = ε₁^ε₂ = ε₂. Как вы, наверное, заметили в формулах с нумерациями неподвижных точек происходит тоже, что и с самими ординалами, их нумеруют начиная с нуля. Я уже объяснял почему такая нумерация более верная, могу только добавить что даже в аксиомах Пеано арифметики первого порядка нуль называют первым натуральным числом, поэтому иногда и происходит такая путаница.

Здесь давайте на секунду остановимся в создании неподвижных точек и отметим ряд важных преобразований, которые легко можно вывести из правил ординальной арифметики, основывающихся на все тех же формулах работы со степенями из алгебры седьмого класса.
ε₀×ω = ω^ωωω...×ω = ω^{(ωωω...+1)} = ω^ε₀+1
ε₀×ε₀ = ω^ωωω...×ω^ωωω... = (ω^ωωω...)² = ω^{(ωωω...×2)} = ω^ε₀×2
ε₀^ω = (ω^ωωω...)^ω = ω^{(ωωω...×ω)} = ω^ε₀×ω = ω^ωε₀+1
ε₀^ε₀ = (ω^ωωω...)^ωωω... = ω^{(ωωω...×ωωω...)} = ω^ωε₀×2
ε₀^ε₀ω = ω^ωε₀×ω = ω^ωωε₀+1
и т.д.

Из этих преобразований выводится интересное следствие: ε₀^{ε₀ε₀ε₀...}= ω^{ωω...ε₀+1} = ε₁. Получается ε₁ так же можно определить как бесконечную тетрацию над ε₀, то есть ^ωε₀ =  ε₁. Значит ε₁ будет первой неподвижной точкой для функции α↦ε₀^α и пределом последовательности sup(¹ε₀,²ε₀,³ε₀,...,ⁿε₀,...)_n<ω. Подобные преобразования со степенями можно применять и дальше, так ε₁×ω = ω^ε₁+1 и ε₁×ε₀ = ε₀^ε₁+1 или ε₁^ω = ω^ωε₁+1 и ε₁^ε₀ = ε₀^ε₀ε₁+1. Ну и следовательно: ε₁^{ε₁ε₁ε₁...}= ε₀^{ε₀ε₀...ε₁+1} = ω^{ωω...ε₁+1} = ε₂ - является третьей неподвижной точкой α↦ω^α, или второй неподвижной точкой α↦ε₀^α, или первой неподвижной точкой α↦ε₁^α. Так же стоит отметить важную деталь, что первая неподвижная точка ординальной функции α↦f(α) обычно обладает интересным свойством, ее можно получить так: α = f^ω(n), где n - любой ординал меньший α, то есть мы просто бесконечно подставляем функцию саму в себя, например: ε₀ = f^ω(ωⁿ) = sup(n,ωⁿ,ω^ωn,ω^ωωn,...)_n<ω; ε₁ = f^ω(ε₀ⁿ) = sup(n,ε₀ⁿ,ε₀^ε₀n,ε₀^ε₀ε₀n,...)_n<ω; ε₂ = f^ω(ε₁ⁿ) = sup(n,ε₁ⁿ,ε₁^ε₁n,ε₁^ε₁ε₁n,...)_n<ω и т.д.

Но чтобы не запутаться во всей этой иерархии неподвижных точек обычно принято сводить все рекурсивные операции над этими эпсилонами, бо́льшие чем "×ω", но меньшие чем "↑↑ω", в вид степенной башни из омег подставленных под них, считая номера неподвижных точек именно от операции α↦ω^α. Так что в более общем смысле всегда действует правило: ε_n^{ε_nε_nε_n...}= ω^{ωω...ε_n+1} = ε_n+1. В дальнейшем вы увидите, что это следствие распространяется на все ординалы являющиеся неподвижными точками α↦ω^α, и перечисленные выше свойства по преобразованию степеней для первой неподвижной точки (ε₀) так же выполняются для любой неподвижной точки α↦ω^α.
α×ω = ω^α+1
α×α = ω^α×2
α^ω = ω^α×ω = ω^ωα+1
α^α = ω^(α×α) = ω^ωα×2
α^αω = ω^ωα×ω = ω^ωωα+1
и т.д., где α - любая неподвижная точка α↦ω^α

Но пока давайте вернемся к массивной нотации, следующее расширение которой называется Примитивно расширяющаяся массивная нотация. Расширение начинается с введения разделителя следующего порядка, который записывается так "(1^.)" (или просто как точка "."), и расширяется следующим образом: {n,m(1^.)2} = {n,n(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2} - где m-1 вложений разделителей. Но такое расширение очень слабое, а мы достигли уже такого уровня рекурсий, что для того чтобы добраться от функции быстрорастущей иерархии взятой от первой неподвижной точки α↦ω^α  - f_ε0(n) до этой функции взятой хотя бы от второй неподвижной точки α↦ω^α - f_ε1(n) нужны кардинальные рекурсивные преобразования. Как вы наверное заметили, когда добираешься до нового рекурсивного предела, чтобы дальше сделать хотя бы один шажок в направление следующего предела необходимо снова пройти через круговорот рекурсий, что мы уже совершили, только сделать это на совершенно новом уровне. Поэтому такая начальная рекурсия как {n,m,2(1^.)2} = {n,n(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2} - где число вложений {n,n(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2} - где число вложений... и так m-1 раз - будет сопоставима лишь с f_ε0+1(n). Даже пробравшись сквозь первый круг рекурсий, когда мы получим: {n,m(1^.)3} = {n,n(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(1^.)2} - где m-1 вложений разделителей - мы достигнем лишь f_ε0×2(n). Второй круг рекурсий приведет нас к следующему выражению: {n,m(1^.)1(1^.)2} = {n,n(1^.)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2} - где m-1 вложений разделителей - но и это всего лишь f_ε0²(n). Продолжать подобные процедуры можно до {n,m(2^.)2} = {n,n(1^.)1(1^.)1(1^.)1(1^.)...2} - где m единичных вхождений - это будет уже разделитель следующего порядка второго уровня. Но если вам кажется, что вот мы уже и достигли скорости роста сопоставимой с f_ε1(n), то смею вас разочаровать скорость роста выражений массивной нотации с разделителем "(2^.)" оценивается как f_ε0^ω(n).

Затем будем увеличивать уровень разделителей следующего порядка: {n,m(3^.)2}, {n,m(4^.)2} и так вплоть до {n,m(n^.)2} = {n,m(1,2^.)2}. Это приведет нас к  f_ε0^ωω(n). Разделитель следующего порядка тоже может иметь вхождения и разделители. Так, например, {n,m(1(1^.)2^.)2} = {n,n(1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2^.)2} - где m-1 вложений разделителей первого порядка. Конечно, а почему бы и нет. Что соответствует, кстати, f_ε0^ε0(n), и вот мы уже можем городить степенные башни из эпсилонов в функциях быстрорастущей иерерахии. Между прочим, чтобы сделать систему единообразной разделители первого порядка можно записывать так: "," - "(1)" - "(1^.0)"; "(2)" - "(2^.0)"; тогда разделители второго порядка будем записывать так: "." - "(1^.)" - "(1^.1)"; "(2^.)" - "(2^.1)"; естественно напрашивается создание разделителя третьего порядка: {n,m(1^.2)2} = {n,n(1(1(1(1... , ...2^.)2^.)2^.)2^.)2} - где m-1 вложений разделителей второго порядка. И здесь мы наконец-то добрались до f_ε1(n). Так можно продолжать и далее, создавая разделители все высших и высших порядков, в общем случае схема будет выглядеть так: (1^.k) = (1(1(1(1... , ...2^.k-1)2^.k-1)2^.k-1)2^.k-1). Собственно разделители каждого следующего порядка будут по скорости роста соотвествовать каждой следующей неподвижной точке α↦ω^α подставленной в функцию быстрорастущей иерархии: f_εk-1(n) > {n,n(1^.k)2} при k > 0. Можно было бы продолжать и дальше, создавая вхождения и разделители уже в самом порядке, а потом сделать порядок порядка, но на этом выражении {n,n(1^.n)2} текущее расширение массивной нотации останавливается. Просто вспомните его название: "Примитивно расширяющаяся массивная нотация", то есть такая схема расширения считается примитивной и вводится лишь как вводный курс перед по-настоящему мощными расширениями. Давайте и мы на этом остановимся, ознакомимся с правилами и подробно проанализируем скорость роста выражений. Так же хочу сделать небольшую ремарку по поводу всех последующих сравнений выражений массивной нотации. Поскольку начиная с ε₀ скорость роста функций быстрорастущей иерархии и функций иерархии Харди практически сходится, то здесь и далее я буду использовать знак "~~", обозначающий следующее: "α ~~ {n,n...}" = "f_α(n) > h_α(n) > {n,n,...} > f_k(n) > h_k(n)", где k<α. Ну а в последующих прямо сейчас сравнениях я буду выражать ординальные операции на неподвижных точках α↦ω^α (то есть ε_n) двумя разными способами: используя степенные башни из них самих, и используя степенные башни из омег подставленных под них, чтобы вы еще раз наглядно проследили за этими преобразованиями, поскольку их правильное понимание будет залогом для понимания дальнейших рекурсий, что мы будем с вами создавать.

ε₀ ~~ {n,n(1^.)2} = {n,n(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2} n-1 вложений
ε₀+1 ~~ {n,n,2(1^.)2} = {n,{n,...{n,n(1^.)2}...(1^.)2}(1^.)2} n-1 вложений
ε₀+2 ~~ {n,n,3(1^.)2} = {n,{n,...{n,n(1^.)2}...,2(1^.)2},2(1^.)2} n-1 вложений
ε₀+ω ~~ {n,n,1,2(1^.)2} = {n,n,n(1^.)2}
ε₀+ω+1 ~~ {n,n,2,2(1^.)2} = {n,n,{n,n,...{n,n,n(1^.)2}...(1^.)2}(1^.)2} n-1 вложений
ε₀+ω×2 ~~ {n,n,1,3(1^.)2} = {n,n,n,2(1^.)2}
ε₀+ω² ~~ {n,n,1,1,2(1^.)2} = {n,n,n,n(1^.)2}
ε₀+ω²+1 ~~ {n,n,2,1,2(1^.)2} = {n,n,n,{n,n,n,...{n,n,n,n,(1^.)2}...(1^.)2}(1^.)2} n-1 вложений
ε₀+ω²+ω ~~ {n,n,1,2,2(1^.)2} = {n,n,n,1,2(1^.)2}
ε₀+ω²×2 ~~ {n,n,1,1,3(1^.)2} = {n,n,1,n,2(1^.)2}
ε₀+ω³ ~~ {n,n,1,1,1,2(1^.)2} = {n,n,n,n,n(1^.)2}
ε₀+ω^ω ~~ {n,n(2)2(1^.)2} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2(1^.)2}
ε₀+ω^ω+1 ~~ {n,n,2(2)2(1^.)2} = {n,{n,...{n,n(2)2(1^.)2}...(2)2(1^.)2}(2)2(1^.)2} n-1 вложений
ε₀+ω^ω+ω ~~ {n,n,1,2(2)2(1^.)2} = {n,n,n(2)2(1^.)2}
ε₀+ω^ω+ω² ~~ {n,n,1,1,2(2)2(1^.)2} = {n,n,n,n(2)2(1^.)2}
ε₀+ω^ω×2 ~~ {n,n(2)3(1^.)2} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2(2)2(1^.)2}
ε₀+ω^ω+1 ~~ {n,n(2)1,2(1^.)2} = {n,n(2)n(1^.)2}
ε₀+ω^ω+1+1 ~~ {n,n,2(2)1,2(1^.)2} = {n,n(2){n,n(2)...{n,n(2)n(1^.)2}...(1^.)2}(1^.)2} n-1 вложений
ε₀+ω^ω+1+ω^ω ~~ {n,n(2)2,2(1^.)2} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2(2)1,2(1^.)2}
ε₀+ω^ω+1×2 ~~ {n,n(2)1,3(1^.)2} = {n,n(2)n,2(1^.)2}
ε₀+ω^ω+2 ~~ {n,n(2)1,1,2(1^.)2} = {n,n(2)n,n(1^.)2}
ε₀+ω^ω×2 ~~ {n,n(2)1(2)2(1^.)2} = {n,n(2)1,1,1,...n раз...2(1^.)2}
ε₀+ω^ω×3 ~~ {n,n(2)1(2)1(2)2(1^.)2} = {n,n(2)1(2)1,1,1,...n раз...2(1^.)2}
ε₀+ω^ω2 ~~ {n,n(3)2(1^.)2} = {n,n(2)1(2)1(2)1(2)...n-1 раз...(1^.)2}
ε₀+ω^ω3 ~~ {n,n(4)2(1^.)2} = {n,n(3)1(3)1(3)1(3)...n-1 раз...(1^.)2}
ε₀+ω^ωω ~~ {n,n(1,2)2(1^.)2} = {n,n(n)2(1^.)2}
ε₀+ω^ωω+1 ~~ {n,n(2,2)2(1^.)2} = {n,n(1,2)1(1,2)1(1,2)1(1,2)...n-1 раз...2(1^.)2}
ε₀+ω^ωω×2 ~~ {n,n(1,3)2(1^.)2} = {n,n(n,2)2(1^.)2}
ε₀+ω^ωω2 ~~ {n,n(1,1,2)2(1^.)2} = {n,n(n,n)2(1^.)2}
ε₀+ω^ωω3 ~~ {n,n(1,1,1,2)2(1^.)2} = {n,n(n,n,n)2(1^.)2}
ε₀+ω^ωωω ~~ {n,n(1(2)2)2(1^.)2} = {n,n(1,1,1,...n раз...2)2(1^.)2}
ε₀+ω^ωωω+1 ~~ {n,n(2(2)2)2(1^.)2} = {n,n(1(2)2)1(1(2)2)1(1(2)2)1(1(2)2)...n раз...2(1^.)2}
ε₀+ω^ωωω+ω ~~ {n,n(1,2(2)2)2(1^.)2} = {n,n(n(2)2)2(1^.)2}
ε₀+ω^ωωω×2 ~~ {n,n(1(2)3)2(1^.)2} = {n,n(1,1,1,...n раз...2(2)2)2(1^.)2}
ε₀+ω^ωωω+1 ~~ {n,n(1(2)1,2)2(1^.)2} = {n,n(1(2)n)2(1^.)2}
ε₀+ω^ωωω×2 ~~ {n,n(1(2)1(2)2)2(1^.)2} = {n,n(1(2)1,1,1,...n раз...2)2(1^.)2}
ε₀+ω^ωωω2 ~~ {n,n(1(3)2)2(1^.)2} = {n,n(1(2)1(2)1(2)1(2)...n раз...2)2(1^.)2}
ε₀+ω^ωωωω ~~ {n,n(1(1,2)2)2(1^.)2} = {n,n(1(n)2)2(1^.)2}
ε₀+⁶ω ~~ {n,n(1(1(2)2)2)2(1^.)2} = {n,n(1(1(1,1,1,...n раз...2)2)2)2(1^.)2}
ε₀+⁷ω ~~ {n,n(1(1(1,2)2)2)2(1^.)2} = {n,n(1(1(n)2)2)2(1^.)2}
ε₀+⁸ω ~~ {n,n(1(1(1(2)2)2)2)2(1^.)2} = {n,n(1(1(1,1,1,...n раз...2)2)2)2(1^.)2}
ε₀×2 ~~ {n,n(1^.)3} = {n,n(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(1^.)2} n-1 вложений
ε₀×2+1 ~~ {n,n,2(1^.)3} = {n,{n,...{n,n(1^.)3}...(1^.)3}(1^.)3} n-1 вложений
ε₀×2+ω ~~ {n,n,1,2(1^.)3} = {n,n,n(1^.)3}
ε₀×2+ω^ω ~~ {n,n(2)2(1^.)3} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2(1^.)3}
ε₀×2+ω^ωω ~~ {n,n(1,2)2(1^.)3} = {n,n(n)2(1^.)3}
ε₀×2+ω^ωωω ~~ {n,n(1(2)2)2(1^.)3} = {n,n(1,1,1,...n раз...2)2(1^.)3}
ε₀×2+ω^ωωωω ~~ {n,n(1(1,2)2)2(1^.)3} = {n,n(1(n)2)2(1^.)3}
ε₀×3 ~~ {n,n(1^.)4} = {n,n(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(1^.)3} n-1 вложений
ε₀×4 ~~ {n,n(1^.)5} = {n,n(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(1^.)4} n-1 вложений
ε₀×ω = ω^ε₀+1 ~~ {n,n(1^.)1,2} = {n,n(1^.)n}
ε₀×(ω+1) = ω^ε₀+1+ε₀ ~~ {n,n(1^.)2,2} = {n,n(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(1^.)1,2} n-1 вложений
ε₀×(ω×2) = ω^ε₀+1×2 ~~ {n,n(1^.)1,3} = {n,n(1^.)n,2}
ε₀×ω² = ω^ε₀+2 ~~ {n,n(1^.)1,1,2} = {n,n(1^.)n,n}
ε₀×ω³ = ω^ε₀+3 ~~ {n,n(1^.)1,1,1,2} = {n,n(1^.)n,n,n}
ε₀×ω^ω = ω^ε₀+ω ~~ {n,n(1^.)1(2)2} = {n,n(1^.)1,1,1,...n раз...2}
ε₀×(ω^ω+1) = ω^ε₀+ω+ε₀ ~~ {n,n(1^.)2(2)2} = {n,n(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)1(2)2} n-1 вложений
ε₀×(ω^ω+ω) = ω^ε₀+ω+ω^ε₀+1 ~~ {n,n(1^.)1,2(2)2} = {n,n(1^.)n(2)2}
ε₀×(ω^ω×2) = ω^ε₀+ω×2 ~~ {n,n(1^.)1(2)3} = {n,n(1^.)1,1,1,...n раз...2(2)2}
ε₀×ω^ω+1 = ω^ε₀+ω+1 ~~ {n,n(1^.)1(2)1,2} = {n,n(1^.)1(2)n}
ε₀×ω^ω×2 = ω^ε₀+ω×2 ~~ {n,n(1^.)1(2)1(2)2} = {n,n(1^.)1(2)1,1,1,...n раз...2}
ε₀×ω^ω2 = ω^ε₀+ω2 ~~ {n,n(1^.)1(3)2} = {n,n(1^.)1(2)1(2)1(2)...n раз...2}
ε₀×ω^ωω = ω^ε₀+ωω ~~ {n,n(1^.)1(1,2)2} - {n,n(1^.)1(n)2}
ε₀×ω^ωωω = ω^ε₀+ωωω ~~ {n,n(1^.)1(1(2)2)2} = {n,n(1^.)1(1,1,1,...n раз...2)2}
ε₀×ω^ωωωω = ω^{ε₀+ωωωω} ~~ {n,n(1^.)1(1(1,2)2)2} = {n,n(1^.)1(1(n)2)2}
ε₀² = ω^ε₀×2 ~~ {n,n(1^.)1(1^.)2} = {n,n(1^.)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2} n-1 вложений
ε₀²×2 = ω^ε₀×2×2 ~~ {n,n(1^.)1(1^.)3} = {n,n(1^.)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)1(1^.)2} n-1 вложений
ε₀²×ω = ω^ε₀×2+1 ~~ {n,n(1^.)1(1^.)1,2} = {n,n(1^.)1(1^.)n}
ε₀²×ω^ω = ω^ε₀×2+ω  ~~ {n,n(1^.)1(1^.)1(2)2} = {n,n(1^.)1(1^.)1,1,1,...n раз...2}
ε₀²×ω^ωω = ω^{ε₀×2+ωω}  ~~ {n,n(1^.)1(1^.)1(1,2)2} = {n,n(1^.)1(1^.)1(n)2}
ε₀²×ω^ωωω = ω^{ε₀×2+ωωω}  ~~ {n,n(1^.)1(1^.)1(1(2)2)2} = {n,n(1^.)1(1^.)1(1,1,1,...n раз...2)2}
ε₀³ = ω^ε₀×3 ~~ {n,n(1^.)1(1^.)1(1^.)2} = {n,n(1^.)1(1^.)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2} n-1 вложений
ε₀^ω = ω^ωε₀+1 ~~ {n,n(2^.)2} = {n,n(1^.)1(1^.)1(1^.)1(1^.)...n-1 раз...2}
ε₀^ω+1 = ω^ωε₀+1+1 ~~ {n,n,2(2^.)2} = {n,{n,...{n,n(2^.)2}...(2^.)2}(2^.)2} n-1 вложений
ε₀^ω+ω = ω^ωε₀+1+ω ~~ {n,n,1,2(2^.)2} = {n,n,n(2^.)2}
ε₀^ω+ω^ω = ω^ωε₀+1+ω^ω ~~ {n,n(2)2(2^.)2} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2(2^.)2}
ε₀^ω+ε₀ = ω^ωε₀+1+ε₀ ~~ {n,n(1^.)2(2^.)2} = {n,n(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(2^.)2} n-1 вложений
ε₀^ω+ε₀×2 = ω^ωε₀+1+ε₀×2 ~~ {n,n(1^.)3(2^.)2} = {n,n(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(1^.)2(2^.)2} n-1 вложений
ε₀^ω+ε₀×ω = ω^ωε₀+1+ω^ε₀+1 ~~ {n,n(1^.)1,2(2^.)2} = {n,n(1^.)n(2^.)2}
ε₀^ω+ε₀×ω^ω = ω^ωε₀+1+ω^ε₀+ω ~~ {n,n(1^.)1(2)2(2^.)2} = {n,n(1^.)1,1,1,...n раз...2(2^.)2}
ε₀^ω+ε₀² = ω^ωε₀+1+ω^ε₀×2 ~~ {n,n(1^.)1(1^.)2(2^.)2} = {n,n(1^.)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(2^.)2} n-1 вложений
ε₀^ω×2 = ω^ωε₀+1×2 ~~ {n,n(2^.)3} = {n,n(1^.)1(1^.)1(1^.)1(1^.)...n-1 раз...(2^.)2}
ε₀^ω×ω = ω^ωε₀+1+1 ~~ {n,n(2^.)1,2} = {n,n(2^.)n}
ε₀^ω×ω^ω = ω^ωε₀+1+ω ~~ {n,n(2^.)1(2)2} = {n,n(2^.)1,1,1,...n раз...2}
ε₀^ω+1 = ω^{ωε₀+1+ε₀} ~~ {n,n(2^.)1(1^.)2} = {n,n(2^.)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2} n-1 вложений
ε₀^ω+1×ω = ω^{ωε₀+1+ε₀+1} ~~ {n,n(2^.)1(1^.)1,2} = {n,n(2^.)1(1^.)n}
ε₀^ω+2 = ω^{ωε₀+1+ε₀+ε₀} ~~ {n,n(2^.)1(1^.)1(1^.)2} = {n,n(2^.)1(1^.)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2} n-1 вложений
ε₀^ω×2 = ω^ωε₀+1×2 ~~ {n,n(2^.)1(2^.)2} = {n,n(2^.)1(1^.)1(1^.)1(1^.)...n раз...2}
ε₀^ω×3 = ω^ωε₀+1×3 ~~ {n,n(2^.)1(2^.)1(2^.)2} = {n,n(2^.)1(2^.)1(1^.)1(1^.)1(1^.)...n раз...2}
ε₀^ω2 = ω^ωε₀+2 ~~ {n,n(3^.)2} = {n,n(2^.)1(2^.)1(2^.)1(2^.)...n-1 раз...2}
ε₀^ωω = ω^ωε₀+ω ~~ {n,n(1,2^.)2} = {n,n(n^.)2}
ε₀^ωω+1 = ω^ωε₀+ω+1 ~~ {n,n(2,2^.)2} = {n,n(1,2^.)1(1,2^.)1(1,2^.)1(1,2^.)...n-1 раз...2}
ε₀^ωω×2 = ω^{ωε₀+ω×2} ~~ {n,n(1,3^.)2} = {n,n(n,2^.)2}
ε₀^ωω2 = ω^ωε₀+ω2 ~~ {n,n(1,1,2^.)2} = {n,n(n,n^.)2}
ε₀^ωω2+1 = ω^{ωε₀+ω2+1} ~~ {n,n(2,1,2^.)2} = {n,n(1,1,2^.)1(1,1,2^.)1(1,1,2^.)1(1,1,2^.)...n-1 раз...2}
ε₀^ωω2+ω = ω^{ωε₀+ω2+ω} ~~ {n,n(1,2,2^.)2} = {n,n(n,1,2^.)2}
ε₀^ωω2×2 = ω^{ωε₀+ω2×2} ~~ {n,n(1,1,3^.)2} = {n,n(n,n,2^.)2}
ε₀^ωω3 = ω^ωε₀+ω3 ~~ {n,n(1,1,1,2^.)2} = {n,n(n,n,n^.)2}
ε₀^ωωω = ω^ωε₀+ωω ~~ {n,n(1(2)2^.)2} = {n,n(1,1,1,...n раз...2^.)2}
ε₀^ωωω+1 = ω^{ωε₀+ωω+1} ~~ {n,n(2(2)2^.)2} = {n,n(1(2)2^.)1(1(2)2^.)1(1(2)2^.)1(1(2)2^.)...n-1 раз...2}
ε₀^ωωω+ω = ω^{ωε₀+ωω+ω} ~~ {n,n(1,2(2)2^.)2} = {n,n(n(2)2^.)2}
ε₀^ωωω+ω2 = ω^{ωε₀+ωω+ω2} ~~ {n,n(1,1,2(2)2^.)2} = {n,n(n,n(2)2^.)2}
ε₀^ωωω×2 = ω^{ωε₀+ωω×2} ~~ {n,n(1(2)3^.)2} = {n,n(1,1,1,...n раз...2(2)2^.)2}
ε₀^ωωω+1 = ω^{ωε₀+ωω+1} ~~ {n,n(1(2)1,2^.)2} = {n,n(1(2)n^.)2}
ε₀^ωωω+1+1 = ω^{ωε₀+ωω+1+1} ~~ {n,n(2(2)1,2^.)2} = {n,n(1(2)1,2^.)1(1(2)1,2^.)1(1(2)1,2^.)1(1(2)1,2^.)...n-1 раз...2}
ε₀^{ωωω+1+ωω} = ω^{ωε₀+ωω+1+ωω} ~~ {n,n(2(2)2,2^.)2} = {n,n(1,1,1,...n раз...2(2)1,2^.)2}
ε₀^ωωω+1×2 = ω^{ωε₀+ωω+1×2} ~~ {n,n(1(2)1,3^.)2} = {n,n(2(2)n,2^.)2}
ε₀^ωωω+2 = ω^{ωε₀+ωω+2} ~~ {n,n(1(2)1,1,2^.)2} = {n,n(2(2)n,n^.)2}
ε₀^ωωω×2 = ω^{ωε₀+ωω×2} ~~ {n,n(1(2)1(2)2^.)2} = {n,n(1(2)1,1,1,...n раз...2^.)2}
ε₀^ωωω×3 = ω^{ωε₀+ωω×3} ~~ {n,n(1(2)1(2)1(2)2^.)2} = {n,n(1(2)1(2)1,1,1,...n раз...2^.)2}
ε₀^ωωω2 = ω^{ωε₀+ωω2} ~~ {n,n(1(3)2^.)2} = {n,n(1(2)1(2)1(2)1(2)...n раз...2^.)2}
ε₀^ωωω3 = ω^{ωε₀+ωω3} ~~ {n,n(1(4)2^.)2} = {n,n(1(3)1(3)1(3)1(3)...n раз...2^.)2}
ε₀^ωωωω = ω^{ωε₀+ωωω} ~~ {n,n(1(1,2)2^.)2} = {n,n(1(n)2^.)2}
ε₀^ωωωω+1 = ω^{ωε₀+ωωω+1} ~~ {n,n(1(2,2)2^.)2} = {n,n(1(1,2)1(1,2)1(1,2)1(1,2)...n раз...2^.)2}
ε₀^ωωωω×2 = ω^{ωε₀+ωωω×2} ~~ {n,n(1(1,3)2^.)2} = {n,n(1(n,2)2^.)2}
ε₀^ωωωω2 = ω^{ωε₀+ωωω2} ~~ {n,n(1(1,1,2)2^.)2} = {n,n(1(n,n)2^.)2}
ε₀^ωωωω3 = ω^{ωε₀+ωωω3} ~~ {n,n(1(1,1,1,2)2^.)2} = {n,n(1(n,n,n)2^.)2}
ε₀^ωωωωω = ω^{ωε₀+ωωωω} ~~ {n,n(1(1(2)2)2^.)2} = {n,n(1(1,1,1,...n раз...2)2^.)2}
ε₀^6ω = ω^ωε₀+5ω ~~ {n,n(1(1(1,2)2)2^.)2} = {n,n(1(1(n)2)2^.)2}
ε₀^7ω = ω^ωε₀+7ω ~~ {n,n(1(1(1(2)2)2)2^.)2} = n,n(1(1(1,1,1,...n раз...2)2)2^.)2}
ε₀^ε₀ = ω^ωε₀×2 ~~ {n,n(1(1^.)2^.)2} = {n,n(1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^ε₀+1 = ω^ωε₀×2+1 ~~ {n,n,2(1(1^.)2^.)2} = {n,{n,...{n,n(1(1^.)2^.)2}...(1(1^.)2^.)2}(1(1^.)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^ε₀+ε₀ = ω^ωε₀×2+ε₀ ~~ {n,n(1^.)2(1(1^.)2^.)2} = {n,n(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(1(1^.)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^ε₀+ε₀^ω = ω^ωε₀×2+ω^ωε₀+1 ~~ {n,n(2^.)2(1(1^.)2^.)2} = {n,n(1^.)1(1^.)1(1^.)1(1^.)...n-1 раз...2(1(1^.)2^.)2}
ε₀^ε₀×2 = ω^ωε₀×2×2 ~~ {n,n(1(1^.)2^.)3} = {n,n(1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2^.)2(1(1^.)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^ε₀×ω = ω^ωε₀×2+1 ~~ {n,n(1(1^.)2^.)1,2} = {n,n(1(1^.)2^.)n}
ε₀^ε₀+1 = ω^{ωε₀×2+ε₀} ~~ {n,n(1(1^.)2^.)1(1^.)2} = {n,n(1(1^.)2^.)1,1,1,...n раз...2}
ε₀^ε₀+ω = ω^{ωε₀×2+ωε₀+1} ~~ {n,n(1(1^.)2^.)1(2^.)2} = {n,n(1(1^.)2^.)1(1^.)1(1^.)1(1^.)1(1^.)...n раз...2}
ε₀^ε₀×2 = ω^{ωε₀×2×2} ~~ {n,n(1(1^.)2^.)1(1(1^.)2^.)2} = {n,n(1(1^.)2^.)1(1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^ε₀×3 = ω^{ωε₀×2×3} ~~ {n,n(1(1^.)2^.)1(1(1^.)2^.)1(1(1^.)2^.)2} = {n,n(1(1^.)2^.)1(1(1^.)2^.)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^ε₀×ω = ω^ωε₀×2+1 ~~ {n,n(2(1^.)2^.)2} = {n,n(1(1^.)2^.)1(1(1^.)2^.)1(1(1^.)2^.)...n-1 раз...2}
ε₀^ε₀×ωω = ω^{ωε₀×2+ω} ~~ {n,n(1,2(1^.)2^.)2} = {n,n(n(1^.)2^.)2}
ε₀^{ε₀×ωωω} = ω^{ωε₀×2+ωω} ~~ {n,n(1(2)2(1^.)2^.)2} = {n,n(1,1,1,...n раз...2(1^.)2^.)2}
ε₀^ε₀2 = ω^ωε₀×3 ~~ {n,n(1(1^.)3^.)2} = {n,n(1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(1^.)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^ε₀3 = ω^ωε₀×4 ~~ {n,n(1(1^.)4^.)2} = {n,n(1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(1^.)3^.)2} n-1 вложений
ε₀^ε₀ω = ω^ωωε₀+1 ~~ {n,n(1(1^.)1,2^.)2} = {n,n(1(1^.)n^.)2}
ε₀^ε₀ω+1 = ω^{ωωε₀+1+ε₀} ~~ {n,n(1(1^.)2,2^.)2} = {n,n(1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(1^.)1,2^.)2} n-1 вложений
ε₀^ε₀ω×2 = ω^{ωωε₀+1×2} ~~ {n,n(1(1^.)1,3^.)2} = {n,n(1(1^.)n,2^.)2}
ε₀^ε₀ω2 = ω^ωωε₀+2 ~~ {n,n(1(1^.)1,1,2^.)2} = {n,n(1(1^.)n,n^.)2}
ε₀^ε₀ωω = ω^ωωε₀+ω ~~ {n,n(1(1^.)1(2)2^.)2} = {n,n(1(1^.)1,1,1,...n раз...2^.)2}
ε₀^ε₀ωω+1 = ω^{ωωε₀+ω+ε₀} ~~ {n,n(1(1^.)2(2)2^.)2} = {n,n(1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(1^.)1(2)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^ε₀ωω×2 = ω^{ωωε₀+ω×2} ~~ {n,n(1(1^.)1(2)3^.)2} = {n,n(1(1^.)1,1,1,...n раз...2(2)2^.)2}
ε₀^ε₀ωω+1 = ω^{ωωε₀+ω+1} ~~ {n,n(1(1^.)1(2)1,2^.)2} = {n,n(1(1^.)1(2)n^.)2}
ε₀^ε₀ωω×2 = ω^{ωωε₀+ω×2} ~~ {n,n(1(1^.)1(2)1(2)2^.)2} = {n,n(1(1^.)1(2)1,1,1,...n раз...2^.)2}
ε₀^ε₀ωω2 = ω^{ωωε₀+ω2} ~~ {n,n(1(1^.)1(3)2^.)2} = {n,n(1(1^.)1(2)1(2)1(2)1(2)...n раз...2^.)2}
ε₀^ε₀ωωω = ω^{ωωε₀+ωω} ~~ {n,n(1(1^.)1(1,2)2^.)2} = {n,n(1(1^.)1(n)2^.)2}
ε₀^ε₀ε₀ = ω^ωωε₀×2 ~~ {n,n(1(1^.)1(1^.)2^.)2} = {n,n(1(1^.)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^{ε₀ε₀×2} = ω^{ωωε₀×2×2} ~~ {n,n(1(1^.)1(1^.)3^.)2} = {n,n(1(1^.)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(1^.)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^{ε₀ε₀×ω} = ω^{ωωε₀×2+1} ~~ {n,n(1(1^.)1(1^.)1,2^.)2} = {n,n(1(1^.)1(1^.)n^.)2}
ε₀^{ε₀ε₀×ωω} = ω^{ωωε₀×2+ω} ~~ {n,n(1(1^.)1(1^.)1(2)2^.)2} = {n,n(1(1^.)1(1^.)1,1,1,...n раз...2^.)2}
ε₀^{ε₀ε₀×ωωω} = ω^{ωωε₀×2+ωω} ~~ {n,n(1(1^.)1(1^.)1(1,2)2^.)2} = {n,n(1(1^.)1(1^.)1(n)2^.)2}
ε₀^ε₀ε₀2 = ω^ωωε₀×3 ~~ {n,n(1(1^.)1(1^.)1(1^.)2^.)2} =  {n,n(1(1^.)1(1^.)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^ε₀ε₀ω = ω^{ωωωε₀+1} ~~ {n,n(1(2^.)2^.)2} = {n,n(1(1^.)1(1^.)1(1^.)1(1^.)...n раз...2^.)2}
ε₀^{ε₀ε₀ω+1} = ω^{ωωωε₀+1+ε₀} ~~ {n,n(1(1^.)2(2^.)2^.)2} = {n,n(1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(2^.)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^{ε₀ε₀ω+2} = ω^{ωωωε₀+1+ε₀×2} ~~ {n,n(1(1^.)3(2^.)2^.)2} = {n,n(1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(1^.)2(2^.)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^{ε₀ε₀ω+ω} = ω^{ωωωε₀+1+ωε₀+1} ~~ {n,n(1(1^.)1,2(2^.)2^.)2} = {n,n(1(1^.)n(2^.)2^.)2}
ε₀^{ε₀ε₀ω+ε₀} = ω^{ωωωε₀+1+ωε₀×2} ~~ {n,n(1(1^.)1(1^.)2(2^.)2^.)2} =  {n,n(1(1^.)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(2^.)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^{ε₀ε₀ω×2} = ω^{ωωωε₀+1×2} ~~ {n,n(1(2^.)3^.)2} = {n,n(1(1^.)1(1^.)1(1^.)1(1^.)...n раз...2(2^.)2^.)2}
ε₀^{ε₀ε₀ω×ω} = ω^{ωωωε₀+1+1} ~~ {n,n(1(2^.)1,2^.)2} = {n,n(1(2^.)n^.)2}
ε₀^{ε₀ε₀ω+1} = ω^{ωωωε₀+1+ε₀} ~~ {n,n(1(2^.)1(1^.)2^.)2} = {n,n(1(2^.)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^{ε₀ε₀ω+1×2} = ω^{ωωωε₀+1+ε₀×2} ~~ {n,n(1(2^.)1(1^.)3^.)2} = {n,n(1(2^.)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(1^.)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^{ε₀ε₀ω+1×ω} = ω^{ωωωε₀+1+ε₀+1} ~~ {n,n(1(2^.)1(1^.)1,2^.)2} = {n,n(1(2^.)1(1^.)n^.)2}
ε₀^{ε₀ε₀ω+2} = ω^{ωωωε₀+1+ε₀×2} ~~ {n,n(1(2^.)1(1^.)1(1^.)2^.)2} = {n,n(1(2^.)1(1^.)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^{ε₀ε₀ω×2} = ω^{ωωωε₀+1×2} ~~ {n,n(1(2^.)1(2^.)2^.)2} = {n,n(1(2^.)1(1^.)1(1^.)1(1^.)1(1^.)...n раз...2^.)2}
ε₀^{ε₀ε₀ω2} = ω^{ωωωε₀+2} ~~ {n,n(1(3^.)2^.)2} = {n,n(1(2^.)1(2^.)1(2^.)1(2^.)...n раз...2^.)2}
ε₀^{ε₀ε₀ω3} = ω^{ωωωε₀+3} ~~ {n,n(1(4^.)2^.)2} = {n,n(1(3^.)1(3^.)1(3^.)1(3^.)...n раз...2^.)2}
ε₀^{ε₀ε₀ωω} = ω^{ωωωε₀+ω} ~~ {n,n(1(1,2^.)2^.)2} = {n,n(1(n^.)2^.)2}
ε₀^{ε₀ε₀ωωω} = ω^{ωωωε₀+ωω} ~~ {n,n(1(1(2)2^.)2^.)2} = {n,n(1(1,1,1,...n раз...2^.)2^.)2}
ε₀^{ε₀ε₀ε₀} = ω^{ωωωε₀×2} ~~ {n,n(1(1(1^.)2^.)2^.)2} = {n,n(1(1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2^.)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^{ε₀ε₀ε₀×ω} = ω^{ωωωε₀×2+1} ~~ {n,n(2(1(1^.)2^.)2^.)2} = {n,n(1(1(1^.)2^.)2^.)1(1(1(1^.)2^.)2^.)1(1(1(1^.)2^.)2^.)...n-1 раз...2}
ε₀^{ε₀ε₀ε₀+1} = ω^{ωωωε₀×2+ε₀} ~~ {n,n(1(1^.)2(1(1^.)2^.)2^.)2} = {n,n(1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(1(1^.)2^.)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^{ε₀ε₀ε₀+ω} = ω^{ωωωε₀×2+ωε₀+1} ~~ {n,n(1(1^.)1,2(1(1^.)2^.)2^.)2} = {n,n(1(1^.)n(1(1^.)2^.)2^.)2}
ε₀^{ε₀ε₀ε₀+ε₀} = ω^{ωωωε₀×2+ωε₀×2} ~~ {n,n(1(1^.)1(1^.)2(1(1^.)2^.)2^.)2} = {n,n(1(1^.)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(1(1^.)2^.)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^{ε₀ε₀ε₀+ε₀ω} = ω^{ωωωε₀×2+ωωε₀+1} ~~ {n,n(1(2^.)2(1(1^.)2^.)2^.)2} = {n,n(1(1^.)1(1^.)1(1^.)1(1^.)...2(1(1^.)2^.)2^.)2}
ε₀^{ε₀ε₀ε₀×2} = ω^{ωωωε₀×2×2} ~~ {n,n(1(1(1^.)2^.)3^.)2} = {n,n(1(1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2^.)2(1(1^.)2^.)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^{ε₀ε₀ε₀×ω} = ω^{ωωωε₀×2+1} ~~ {n,n(1(1(1^.)2^.)1,2^.)2} = {n,n(1(1(1^.)2^.)n^.)2}
ε₀^{ε₀ε₀ε₀+1} = ω^{ωωωε₀×2+ε₀} ~~ {n,n(1(1(1^.)2^.)1(1^.)2^.)2} = {n,n(1(1(1^.)2^.)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^{ε₀ε₀ε₀×2} = ω^{ωωωε₀×2×2} ~~ {n,n(1(1(1^.)2^.)1(1(1^.)2^.)2^.)2} = {n,n(1(1(1^.)2^.)1(1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2^.)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^{ε₀ε₀ε₀×ω} = ω^{ωωωε₀×2+1} ~~ {n,n(1(2(1^.)2^.)2^.)2} = {n,n(1(1(1^.)2^.)1(1(1^.)2^.)1(1(1^.)2^.)...n раз...2^.)2}
ε₀^{ε₀ε₀ε₀×ωω} = ω^{ωωωε₀×2+ω} ~~ {n,n(1(1,2(1^.)2^.)2^.)2} = {n,n(1(n(1^.)2^.)2^.)2}
ε₀^{ε₀ε₀ε₀2} = ω^{ωωωε₀×3} ~~ {n,n(1(1(1^.)3^.)2^.)2} = {n,n(1(1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(1^.)2^.)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^{ε₀ε₀ε₀ω} = ω^{ωωωωε₀+1} ~~ {n,n(1(1(1^.)1,2^.)2^.)2} = {n,n(1(1(1^.)n^.)2^.)2}
ε₀^{ε₀ε₀ε₀ε₀} = ω^{ωωωωε₀×2} ~~ {n,n(1(1(1^.)1(1^.)2^.)2^.)2} = {n,n(1(1(1^.)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2^.)2^.)2} n-1 вложений
ε₀^{ε₀ε₀ε₀ε₀ω} = ω^{ωωωωωε₀+1} ~~ {n,n(1(1(2^.)2^.)2^.)2} = {n,n(1(1(1^.)1(1^.)1(1^.)1(1^.)...n раз...2^.)2^.)2}
ⁿε₀ ~~ {n,n(1(1(1(1...(1^.)...2^.)2^.)2^.)2} - где n/2 вложений для четных n; n > 1
ⁿε₀ ~~ {n,n(1(1(1(1...(1^.)1(1^.)...2^.)2^.)2^.)2} - где (n-1)/2 вложений для нечетных n; n > 1
ε₁ = ε₀^{ε₀ε₀ε₀...} = ω^{ωωω...ε₀+1} ~~ {n,n(1^.2)2} = {n,n(1(1(1(1... , ...2^.)2^.)2^.)2^.)2} n-1 вложений
ε₁+1 ~~ {n,n,2(1^.2)2} = {n,{n,...{n,n(1^.2)2}...(1^.2)2}(1^.2)2} n-1 вложений
ε₁+ω ~~ {n,n,1,2(1^.2)2} = {n,n,n(1^.2)2}
ε₁+ω^ω ~~ {n,n(2)2(1^.2)2} = {n,n,1,1,1,...n-1 раз...2(1^.2)2}
ε₁+ε₀ ~~ {n,n(1^.)2(1^.2)2} = {n,n(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2(1^.2)2} n-1 вложений
ε₁×2 ~~ {n,n(1^.2)3} = {n,n,1(1(1(1(1... , ...2^.)2^.)2^.)2^.)2(1^.2)2} n-1 вложений
ε₁×ω = ω^ε₁+1 ~~ {n,n(1^.2)1,2} = {n,n(1^.2)n}
ε₁^ω = ω^ωε₁+1 ~~ {n,n(2^.2)2} = {n,n(1^.2)1(1^.2)1(1^.2)1(1^.2)(1^.2)...n-1 раз...2}
ε₁^ωω = ω^ωε₁+ω ~~ {n,n(1,2^.2)2} = {n,n(n^.2)2}
ε₁^ε₀ = ω^{ωε₁+ε₀} ~~ {n,n(1(1^.)2^.2)2} = {n,n(1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2^.2)2} n-1 вложений
ε₁^ε₁ = ω^ωε₁×2 ~~ {n,n(1(1^.2)2^.2)2} = {n,n(1(1(1(1(1... , ...2^.)2^.)2^.)2^.)2^.2)2} n-1 вложений
ε₁^ε₁2 = ω^ωε₁×3 ~~ {n,n(1(1^.2)3^.2)2} = {n,n(1(1(1(1(1... , ...2^.)2^.)2^.)2^.)2(1^.2)2^.2)2} n-1 вложений
ε₁^ε₁ω = ω^ωωε₁+1 ~~ {n,n(1(1^.2)1,2^.2)2} = {n,n(1(1^.2)n^.2)2}
ε₁^ε₁ω+1 = ω^{ωωε₁+1+ε₁} ~~ {n,n(1(1^.2)2,2^.2)2} = {n,n(1(1(1(1(1... , ...2^.)2^.)2^.)2^.)2(1^.2)1,2^.2)2} n-1 вложений
ε₁^ε₁ω×2 = ω^{ωωε₁+1×2} ~~ {n,n(1(1^.2)1,3^.2)2} = {n,n(1(1^.2)n,2^.2)2}
ε₁^ε₁ω2 = ω^ωωε₁+2 ~~ {n,n(1(1^.2)1,1,2^.2)2} = {n,n(1(1^.2)n,n^.2)2}
ε₁^ε₁ωω = ω^ωωε₁+ω ~~ {n,n(1(1^.2)1(2)2^.2)2} = {n,n(1(1^.2)1,1,1,...n раз...2^.2)2}
ε₁^ε₁ε₀ = ω^{ωωε₁+ε₀} ~~ {n,n(1(1^.2)1(1^.)2^.2)2} = {n,n(1(1^.2)1(1(1(1(1... , ...2)2)2)2)2^.2)2} n-1 вложений
ε₁^ε₁ε₀ω = ω^{ωωε₁+ωε₀+1} ~~ {n,n(1(1^.2)1(2^.)2^.2)2} = {n,n(1(1^.2)1(1^.)1(1^.)1(1^.)...n раз...2^.2)2}
ε₁^ε₁ε₁ = ω^ωωε₁×2 ~~ {n,n(1(1^.2)1(1^.2)2^.2)2} = {n,n(1(1^.2)1(1(1(1(1... , ...2^.)2^.)2^.)2^.)2^.2)2} n-1 вложений
ε₁^ε₁ε₁ω = ω^{ωωωε₁+1} ~~ {n,n(1(2^.2)2^.2)2} = {n,n(1(1^.2)1(1^.2)1(1^.2)...n раз...2^.2)2}
ε₁^{ε₁ε₁ω×2} = ω^{ωωωε₁+1×2} ~~ {n,n(1(2^.2)3^.2)2} = {n,n(1(1^.2)1(1^.2)1(1^.2)...n раз...2(2^.2)2^.2)2}
ε₁^{ε₁ε₁ω×ω} = ω^{ωωωε₁+1+1} ~~ {n,n(1(2^.2)1,2^.2)2} = {n,n(1(2^.2)n^.2)2}
ε₁^{ε₁ε₁ω+1} = ω^{ωωωε₁+1+ε₁} ~~ {n,n(1(2^.2)1(1^.2)2^.2)2} = {n,n(1(2^.2)1(1(1(1(1... , ...2^.)2^.)2^.)2^.)2^.2)2} n-1 вложений
ε₁^{ε₁ε₁ω×2} = ω^{ωωωε₁+1×2} ~~ {n,n(1(2^.2)1(2^.2)2^.2)2} = {n,n(1(2^.2)1(1^.2)1(1^.2)1(1^.2)...n раз...2^.2)2}
ε₁^{ε₁ε₁ω2} = ω^{ωωωε₁+2} ~~ {n,n(1(3^.2)2^.2)2} = {n,n(1(2^.2)1(2^.2)1(2^.2)1(2^.2)...n раз...2^.2)2}
ε₁^{ε₁ε₁ωω} = ω^{ωωωε₁+ω} ~~ {n,n(1(1,2^.2)2^.)2} = {n,n(1(n^.2)2^.2)2}
ε₁^{ε₁ε₁ε₁} = ω^{ωωωε₁×2} ~~ {n,n(1(1(1^.2)2^.2)2^.2)2} = {n,n(1(1(1(1(1(1... , ...2^.)2^.)2^.)2^.)2^.2)2^.2)2} n-1 вложений
ε₁^{ε₁ε₁ε₁ω} = ω^{ωωωωε₁+1} ~~ {n,n(1(1(1^.2)1,2^.2)2^.2)2} = {n,n(1(1(1^.2)n^.2)2^.2)2}
ε₁^{ε₁ε₁ε₁ε₁} = ω^{ωωωωε₁×2} ~~ {n,n(1(1(1^.2)1(1^.2)2^.2)2^.2)2} = {n,n(1(1(1^.2)1(1(1(1(1... , ...2^.)2^.)2^.)2^.)2^.2)2^.2)2} n-1 вложений
ε₁^{ε₁ε₁ε₁ε₁ω} = ω^{ωωωωωε₁+1} ~~ {n,n(1(1(2^.2)2^.2)2^.2)2} = {n,n(1(1(1^.2)1(1^.2)1(1^.2)...n раз...2^.2)2^.2)2}
ⁿε₁ ~~ {n,n(1(1(1...(1^.2)...2^.2)2^.2)2^.2)2} - где n/2 вложений для четных n; n > 1
ⁿε₁ ~~ {n,n(1(1(1...(1^.2)1(1^.2)...2^.2)2^.2)2^.2)2} - где (n-1)/2 вложений для нечетных n; n > 1
ε₂ = ε₁^{ε₁ε₁ε₁...} = ω^{ωωω...ε₁+1} ~~ {n,n(1^.3)2} = {n,n(1(1(1... , ...2^.2)2^.2)2^.2)2} n-1 вложений
ε₂×ω = ω^ε₂+1 ~~ {n,n(1^.3)1,2} = {n,n(1^.3)n}
ε₂^ω = ω^ωε₂+1 ~~ {n,n(2^.3)2} = {n,n(1^.3)1(1^.3)1(1^.3)1(1^.3)1(1^.3)...n раз...2}
ε₂^ε₂ = ω^ωε₂×2 ~~ {n,n(1(1^.3)2^.3)2} = {n,n(1(1(1(1... , ...2^.2)2^.2)2^.2)2^.3)2} n-1 вложений
ε₂^ε₂ω = ω^ωωε₂+1 ~~ {n,n(1(1^.3)1,2^.3)2} = {n,n(1(1^.3)n^.3)2}
ε₂^ε₂ε₂ = ω^ωωε₂×2 ~~ {n,n(1(1^.3)1(1^.3)2^.3)2} = {n,n(1(1^.3)1(1(1(1... , ...2^.2)2^.2)2^.2)2^.3)2} n-1 вложений
ε₂^ε₂ε₂ω = ω^{ωωωε₂+1} ~~ {n,n(1(2^.3)2^.3)2} = {n,n(1(1^.3)1(1^.3)1(1^.3)1(1^.3)...n раз...2^.3)2}
ε₂^{ε₂ε₂ε₂} = ω^{ωωωε₂×2} ~~ {n,n(1(1(1^.3)2^.3)2^.3)2} = {n,n(1(1(1(1(1... , ...2^.2)2^.2)2^.2)2^.3)2^.3)2} n-1 вложений
ε₂^{ε₂ε₂ε₂ω} = ω^{ωωωωε₂+1} ~~ {n,n(1(1(1^.3)1,2^.3)2^.3)2} = {n,n(1(1(1^.3)n^.3)2^.3)2}
ε₂^{ε₂ε₂ε₂ε₂} = ω^{ωωωωε₂×2} ~~ {n,n(1(1(1^.3)1(1^.3)2^.3)2^.3)2} = {n,n(1(1(1^.3)1(1(1(1... , ...2^.2)2^.2)2^.2)2^.3)2^.3)2}
ε₂^{ε₂ε₂ε₂ε₂ω} = ω^{ωωωωωε₂+1} ~~ {n,n(1(1(2^.3)2^.3)2^.3)2} = {n,n(1(1(1^.3)1(1^.3)1(1^.3)1(1^.3)...n раз...2^.3)2^.3)2}
ⁿε₂ ~~ {n,n(1(1(1...(1^.3)...2^.3)2^.3)2^.3)2} - где n/2 вложений для четных n; n > 1
ⁿε₂ ~~ {n,n(1(1(1...(1^.3)1(1^.3)...2^.3)2^.3)2^.3)2} - где (n-1)/2 вложений для нечетных n; n > 1
ε₃ = ε₂^{ε₂ε₂ε₂...} = ω^{ωωω...ε₂+1} ~~ {n,n(1^.4)2} = {n,n(1(1(1(1... , ...2^.3)2^.3)2^.3)2^.3)2} n-1 вложений
ε₄ = ε₃^{ε₃ε₃ε₃...} = ω^{ωωω...ε₃+1} ~~ {n,n(1^.5)2} = {n,n(1(1(1(1... , ...2^.4)2^.4)2^.4)2^.4)2} n-1 вложений
ε_ω ~~ {n,n(1^.n)2}