Часть I Числа

Любому мыслимому объекту можно сопоставить число - одно из следствий Аксиомы выбора

Есть такая наука, гугология называется. По сути, можно сказать, что это такой особый подраздел математики, в котором изучаются большие, сверхбольшие, гипербольшие и даже бесконечные числа. Можно конечно считать ее вымышленной, несерьезной и бесполезной, но обычно принято вместо этого говорить более мягко "занимательная наука", подразумевая, что она является лишь забавой для математиков - развлечением на тему: кто придумает число больше. То, что наука "вымышленная" - тут не поспоришь, поскольку даже название свое берет от "вымышленного" числа - гугол (googol). Это наименование придумал девятилетний племянник американского математика Эдварда Казнера, исключительно ради забавы, чтобы обозначить число с сотней нулей после единицы. Однако то, что это число "вымышленное" отнюдь не значит, что оно не настоящее, современная наука вполне способна оперировать этим числом для описания реальных физических величин. А ныне крупнейшая IT-компания даже была названа в честь этого числа (правда из-за патентной политики предварительно исказив написание - google).

рис.1 (гугол)

На самом же деле занимательность этой науки может быть очень полезна как для математики так и для философии. Как вы увидите вопрос о существовании сверхбольших чисел напрямую граничит с такими вопросами как "где границы возможностей человеческого разума?", "насколько велик ментальный мир человека?", "каким образом математика рождается в наших головах?", "есть ли пределы познания окружающего мира человеком?". Если вы хоть раз задавались вопросом, какое число самое большое или есть ли что-нибудь больше бесконечности, значит где-то в душе вы тоже любите гугологию. Сегодня, не имея математической подкованности, так просто понять все что в ней происходит наврятли получится. К тому же популярной литературы на эту тему на русском языке практически не существует. Поэтому я и решил написать популярную книгу, в которой попробую максимально доступно объяснить, что же такое гугология.

Вероятно стоит предупредить, что пусть это и популярная книга, это книга по математике, и не будет легким чтивом для всех. И несмотря на то, что я попытался, как можно проще рассказать обо всем этом, все равно, для осмысления придется не хило напрячь мозги. Тем не менее школьного курса математики вам будет более чем достаточно. В книге будут присутствовать формулы, и всякие математические термины, которые я буду пытаться по возможности объяснить, уменьшить порог вхождения, упростить их понимание. Книга будет полезна как для любителей-энтузиастов, так и для специалистов, если первые справятся с нарастающей сложностью, а вторые с обилием объяснения "простых" вещей. Книга построена по тому же принципу, что и вся гугология, рассказ буду вести от меньших чисел к бо́льшим, и по мере того как мы будем сталкиваться со все бо́льшими числами сложность повествования будет нарастать, и для понимания последующих больших чисел, будет просто необходимо понимание предыдущих.

В самом начале своего пути по гугологии давайте разберем как мы вообще воспринимаем и записываем числа. Для этого я должен объяснить, что такое нотации, и не те, которые родители читают своим детям, а что такое математические нотации. Грубо говоря, нотация - это способ записи числа. Первыми нотациями были либо зарубки на деревьях, либо узелки на веревках, либо штрихи на глине - самое простое представление и запись чисел - назовем это натуральным видом. Сколько оленей увидел охотник, столько же зарубок и сделал. Итак, все числа которые можно представить в натуральном виде, называются натуральными. Но натуральный вид это не всегда удобно, особенно если необходимо записать очень большое число.

Вот так выглядело бы число 1000 в своем натуральном виде у древнего человека, который делал зарубки на дереве:

рис.2 (тысяча)

Хотя, надо признаться, что от такого количества зарубок дереву мог быть нанесен непоправимый ущерб. Естественно людям понадобился иной вид записи чисел, или говоря на языке математики, им понадобилась новый вид нотации. Этот вид называется - цифрами. Каждая цифра символизирует какое-то число. Конечно придумывать цифры для каждого числа это будет не упрощением, а скорее наоборот усложнением для счета. Необходимо было придумать как скомбинировать натуральный вид числа и цифры. И вот с этого момента внутри нотации появляется функция. Что такое функция - позже мы разберем подробнее, это очень глубокое и фундаментальное понятие, пока упрощено можно сказать, что функция в математике это такая штука, в которую ты что-то подставляешь, и получаешь какой-то результат. Все виды нотаций, использовавшиеся любой древней цивилизацией и наша современная десятичная нотация, по сути, являются функциями.

Самый простой способ - это непозиционная цифровая нотация. Ставим все цифры в ряд и складываем, то есть в нотации заложена всего одна функция - сложение. Одна из самых древнейших нотаций для записи чисел, использовалась соответственно одной из самых древнейших цивилизаций. Цифры египтяне обозначали иероглифами. Это очень интересный и важный факт - появление письменности всегда вело к появлению математики. Лингвистика, которую в школе изучают в рамках курса родного языка, как оказывается тесно связана с математикой, дисциплиной, которую в школах традиционно принято отделять, начиная с самого первого класса. Первые цифры и нотации произошли из языковой письменности (от пиктограмм, иероглифов, букв), и как вы увидите в дальнейшем, выходит что язык и математика тесно связаны - и то другое формы проявления абстрактного мышления, сопряженные грани одного ментального мира. Математика напрямую зависит от языка на котором формулируется, чем сложнее формальная система знаков, тем более сложные математические понятия можно на ней выразить. Но вернемся к египетским цифрам. Цифры вводились египтянами только для обозначения чисел кратных 10, так что можно назвать их систему счисления - непозиционной десятичной. Единица (1) как и в большинстве народов обозначалась палочкой, десятка (10) - закорючкой символизирующей след копыта, сотня (100) - тоже была простым иероглифом, что обозначал петлю веревки, тысяча (1000)  - кувшинка, 10000 - палец, 100000 - личинка жабы, 1000000 - человек с поднятыми руками.

рис.3 (египетская нотация)

Принцип построения числа был простой. Цифры группировались в натуральном виде, не превышая своим количеством числа девять. Располагать их относительно друг друга можно было как слева так и справа, или даже сверху и снизу, позиция не имела значения, ведь система была непозиционной, в основе которой лежала лишь функция сложения, а как мы помним из школы: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

рис.4

Древнегреческая система счисления была устроена похоже, по непозиционному принципу, но в ней уже было меньше натурального вида записи, в этом отношении она была намного ближе к арабской системе счисления, которой мы сейчас пользуемся. Для каждого числа меньше десяти (10) существовала цифра его обозначающая, аналогично существовала цифра для каждого числа меньше сотни (100), но кратного десяти (10), ну и следовательно для каждого числа меньше тысячи (1000), но кратного сотне (100), тоже существовала цифра. Ну а дальше они просто ставились в ряд и складывались. Конечно смысл имело только сопоставление в ряд чисел разных порядков, что уже было первым шагом к понятию числовых разрядов. С математической точки зрения порядок записи значения не имел, но было принято записывать цифры слева направо в порядке убывания. В качестве цифр использовались буквы греческого алфавита, ну а чтобы отличить их от самих букв на письме, буквы обозначающие цифры подчеркивались сверху. В разных регионах и разные периоды истории принципы записи греческих цифр могли меняться, например могли использоваться как строчные, так и прописные буквы

рис.5 (греческая нотация)

Вообще греческий алфавит не мешало бы выучить любому человеку, кто занимается или интересуется математикой, да и вообще физическими науками. Сегодня греческими буквами принято обозначать физические величины и константы, названия в астрономии, переменные в алгебре и теории чисел, обозначения в геометрии. Далее в повествовании греческие буквы будут встречаться постоянно, символизируя те или иные понятия из мира больших чисел, поэтому предлагаю и вам детально ознакомится с греческими буквами. Хотелось бы отметить, что букв Стигма, Коппа и Сампи, символизирующие числа 6, 90 и 900, соответственно, в современном греческом алфавите уже нет, они считаются устаревшими. Особого внимания заслуживает Сампи, она использовалась для создания цифр символизирующих большие числа. Комбинируя ее с другой буквой, которую необходимо было написать в верхнем правом углу от Сампи, создавалась цифра, которая была в 1000 раз больше исходной. Каждый раз, добавляя еще одну букву Сампи в правый угол цифры, мы так же могли тысячекратно увеличить цифру  (это один из древних способов записи, позже он изменялся).

рис.6

Пусть греческая система счисления и была непозиционной, но все же позволяла так же коротко записать число, как и современная арабская система счисления.

рис.7

В этом отношении римская система кажется шагом назад, но стоит отметить, что в ней была более сложная функция и в ней позиция цифры имела значения, хоть и считается эта система тоже непозиционной. Цифры вводились аналогично египетской системе счисления для каждого десятичного порядка, но еще в добавок для половины от этого значения. Это так же были буквы латинского алфавита (I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500 и M - 1000). Позиционность проявлялась в том, что цифры записывались от бо́льшей к меньшей, но в натуральный ряд составлялось не более трех цифр десятичного порядка: III - 3, VIII - 8, XIII - 13, XVIII - 18, XXX - 30, LXXX - 80, и т. д. Если нужно было записать такие числа, как 4, 9, 14, 19, 40, 90, и т.д. необходимо было меньшую ставить цифру перед бо́льшей: IV, IX, XIV, XIX, XL, XC. То есть в определении римской нотации использовалась не только функция сложения, но и функция вычитания. Для создания, больших чисел кратных 1000, над цифрой ставили подчеркивание, кратной 1000000 двойное подчеркивание и т.д., отсюда в европейских языках и пошла традиция давать названия большим числам, кратно тысячным порядкам (миллион, миллиард, триллион, квадриллион и т.д.)

рис.8 (римская нотация)

Все же несмотря на то, что запись числа была и намного больше и намного сложнее воспринималась, римская система счисления продержалась в Европе на протяжение всего средневековья. С одной стороны использование натурального вида давало возможность запоминать меньше цифр, но для счета больших чисел эта система оставалась неудобной.

рис.9

На смену ей пришла всем нам известная и использующаяся ныне по всему миру арабская система счисления, или позиционная десятичная нотация. Я не буду вдаваться в историю ее происхождения и распространения, скажу лишь, что ее существование было бы невозможно без изобретения цифры обозначающей ноль (0). Позиционная нотация, содержит в себе намного более сложную функцию, в ее составе есть не только операция сложения, но и умножение и возведение степень. Расположение, в котором мы расставляем арабские цифры в позиционной десятичной нотации, играет важную роль, оно определяет кратность десятичному порядку, на который нужно домножить цифру, и называется разрядом или значностью цифры. Вот так выглядит функция десятичной нотации:

цифра × 10n-1 + цифра × 10n-2 + ... + цифра × 100, где n - количество цифр в числе

Однако с самого детства, как только мы научились считать, эта формула настолько прочно поселилась в нашем мозгу, что нам сейчас кажется, что мы всегда понимали десятичную нотацию. Но это не так. Многие малые дети, которые обучаются счету (возможно и вы были в их числе), доходя до числа 11 пытаются придумать ему либо особое название, либо особую запись, потому что понятие числовых разрядов для ребенка очень сложно и не сразу поддается осознанию. Сейчас же мы настолько привыкли к десятичной нотации, что нам кажется, что мы понимаем масштабы очень больших чисел. Однако это не так. Любая нотация, которую осваивает человек создает ложное впечатление о том, что человек понимает и осознает масштабы чисел, которые могут быть в ней записаны. Взять хотя бы миллион (1000000), число таких масштабов можно записать не только в десятичной системе счисления, но практически все древние позволяли очень коротко записать это число. Однако наглядный масштаб этого числа даже сейчас для человека почти непостижим. Вернитесь к рисунку №1, где мы штрихами изображали тысячу и представьте, что каждый штрих из тех что выше, превратился во всю эту совокупность штрихов. Или попробуйте пересчитать все точки из рисунка, что ниже:

50000
100000
150000
200000
250000
300000
350000
400000
450000
500000
550000
600000
650000
700000
750000
800000
850000
900000
950000
1000000
рис.10 (миллион)

Ну как? Получилось осознать масштаб числа? Нет. Тогда, значит зачастую, когда мы говорим "миллион", то у нас происходит подмена понятий и мы представляем не число, а его десятичную нотацию или какое-то иное его представление. А теперь попробуйте вообразить "миллиард" (или "биллион" - как его принято называть в американской системе именования больших чисел), для этого представьте что каждая из этих точек на рисунке №9 превратилась в совокупность штрихов из рисунка №1. Сложно? Но это еще не все... Давайте теперь попробуем пересчитать все эти штрихи в получившемся миллиарде, считать будем со скоростью штрих в секунду. Так вот, если считать с такой скоростью, чтобы пересчитать весь миллиард на это уйдет примерно 31 год, 251 день и 8 часов. Страшно подумать, но средняя продолжительность жизни содержит всего чуть больше двух миллиардов секунд. На земле проживают 7 миллиардов людей, и чтобы произнести имя каждого человека живущего на планете потребуется более 200 лет, что больше любой человеческой жизни.

Немного проще осознавать большие числа, подключая пространственное мышление. Так, например, в кубическом сантиметре тысяча кубических миллиметров, в кубическом дециметре миллион кубических миллиметров, в кубическом метре миллиард кубических миллиметров. Используя систему вложенных объемов мы можем представить достаточно большие числа.

рис.11

Продолжая эту цепь из вложенных кубов можно составить иерархию из все бо́льших и бо́льших чисел, с возрастающей тысячекратностью, в которой с каждым новым числом количество нулей после единицы увеличивается на три. Числа приведенные ниже в таблице №1 входят в так называемую американскую систему именования больших чисел.

106 1 000 000 Миллион
109 1 000 000 000 Биллион
1012 1 000 000 000 000 Триллион
1015 1 000 000 000 000 000 Квадриллион
1018 1 000 000 000 000 000 000 Квадриллион
1021 1 000 000 000 000 000 000 000 Секcтиллион
1024 1 000 000 000 000 000 000 000 000 Септиллион
1027 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Октиллион
1030 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Нониллион
таб.1

Как многие заметили, проще будет записывать большие числа не указывая все их ноли на письме, а записывая их в виде степеней десятки. Например: 1000 = 10×10×10 = 103 или 1000000 = 10×10×10×10×10×10 = 106. Такая запись числа называется логарифмической нотацией. Иногда, особенно среди программистов вместо десятичного основания принято записывать букву "E", чтобы не использовать надстрочные индексы. Гугол, число с сотней нулей после единицы в логарифмической нотации будет выглядеть так 10100 или так E100. Дальше предлагаю полностью отказаться от всяких там "...иллионов" и полностью перейти на логарифмическую запись (я буду использовать вариант записи с десятичным основанием). Но тем, кому интересно как же все-таки называют числа, больше нониллиона (1030), я предлагаю ознакомиться с расширенной американской системой именования больших чисел, которая основана на приставках образованных из латинских числительных.

Чтобы дать названия числу необходимо разобрать его логарифмическую запись (10n, где n - обозначает число нулей после единицы) следующим образом: k равно n вычесть 3 и нацело поделить на 3, остаток - m запомнить; далее, если 10 ≤ k ≤ 999, то разобрать k на цифры по разрядам, и собрать по этим цифрам приставки к слову "...ллион" из таблицы №2 (если в составе k есть цифра 0, то приставка соответствующая разряду не берется). После чего, если m = 1, то добавляем спереди слово "десять", если m = 2 - слово "сто".

единицы десятки сотни
1 ун деци центи
2 дуо виджинти дуценти
3 тре триджинти тресценти
4 кваттор квадраджинти квадридженти
5 квин квинкваджити квиндженти
6 секс сексаджинти сесценти
7 септен септуаджинти септидженти
8 окто октоджинти октиндженти
9 новем нонаджинти нондженти
таб.2

Конечно, вот так сложно разобраться в принципах именования числа, поэтому давайте разберем на примерах.

Число 1033 имеет n = 33 нуля после запятой. k = (33-3)/3 = 10. Первый разряд числа k - ноль (приставка не берется), второй разряд числа k - единица (берется приставка из второго столбца - "деци"). Остатка при делении не было, значит получаем число "дециллион".

Пример посложнее, давайте назовем гугол (10100) по правилам расширенной американской системы именования больших чисел k = (100-3)/3 = 32 (и 1 в остатке). Первый разряд числа k - два (берется приставка из первого столбца - "дуо"), второй разряд числа k - тройка (берется приставка из второго столбца - "триджинти"). Остаток при делении m = 1, значит получаем число "десять дуотриджинтиллионов".

Ну и совсем уж сложный пример, 101000 - число с тысячей нулей после запятой. k = (1000-3)/3 = 332 (и 1 в остатке). Первый разряд числа k - два (берется приставка из первого столбца - "дуо"), второй разряд числа k - тройка (берется приставка из второго столбца - "триджинти"), третий разряд числа k - тройка (берется приставка из третьего столбца - "тресценти"). Остаток при делении m = 1, значит получаем число "десять дуотриджинтитресцентиллионов".

На самом деле существует еще одна приставка для единицы в тысячном разряде числа k, называется "миллини". Что дает возможность дать название числу 103003 - "миллиниллион", так как k = (3003-3)/3 = 1000, и даже именовать еще бо́льшие числа, тогда пределом системы американской системы именования больших чисел будет число 106000 - число с шестью тысячами нулей после запятой. k = (6000-3)/3 = 1999. Первый разряд числа k - девять (берется приставка из первого столбца - "новем"), второй разряд числа k - девять (берется приставка из второго столбца - "нонаджинти"), третий разряд числа k - девять (берется приставка из третьего столбца - "нондженти"), четвертый разряд числа k - единица (используем приставку "миллини"). Собираем название числа и получаем "новемнонаджинтинонджентимиллиниллион".

Теперь, я думаю читателю понятно, почему американская система именования больших чисел не получила большого распространения, ведь намного проще сказать 10 в n-ной степени, чем запоминать все эти приставки и принципы их сочетания друг с другом. Логарифмическая нотация проще, но она еще сильнее отдаляет нас от реального понимания масштаба числа. Нам может казаться, что разница между числами 1030 и 1042 невелика, но на самом деле второе число больше первого в триллион раз (1042/1030 = 1042-30 = 1012). Чтобы ощутить масштабы чисел, записываемые в логарифмической нотации, давайте попробуем измерить ей что-нибудь из мира материальных вещей.

Начнем с 1010 - десяти миллиардов, это больше чем количество людей проживающих сейчас на Земле. Самая большая известная нам молекула это человеческая хромосома состоит из 10 миллиардов атомов. Всего же за всю историю человечества на земле проживало 100 миллиардов людей (1011), что в десять раз больше. Но в человеческом теле 10 триллионов (1013) клеток, что в сто раз больше числа всех людей, которые когда-либо существовали. При том, что каждая из них содержит 23 хромосомы. Но еще более удивительно то, что в человеческом теле живет 1 квадриллион (1015) бактерий (примерно 10% от всей массы организма), что в сто раз больше, чем его собственных клеток и в десять тысяч раз больше чем людей проживало на планете Земля. Причем человек рождается почти без бактерий и приобретает их в первые несколько лет своей жизни. Получается, что люди сами по себе являются целым миром микроорганизмов, куда большим, чем привычный нам мир людей. А еще если всю ДНК из всех клеток человеческого организма объединить и вытянуть в одну спираль, то ее длина будет примерно 1 квадриллион (1015) метров.

Многим наверное по-прежнему сложно осознать, сколько это - квадриллион. Большие цифры мы привыкли слышать, когда речь идет о суммах, для многих заветных и недостижимых, о которых говорят в новостях экономики или пишут в модных журналах про богатых людей. Так вот квадриллион долларов это больше, чем сейчас имеется денег на земле. И речь не только о напечатанных банкнотах, ведь в сущности бумажные деньги - это лишь коммерческий договор с центральным банком государства, квадриллион долларов это больше, чем оценка всей экономической деятельности на планете земля. Давайте посмотрим на таблицу №3, чтобы, поэтапно сравнивая стоимость вещей, добраться до этой суммы.

$$$ эквивалентные блага
0,01 1 грамм меди
0,05 целлофановый пакет
0,1 конфета
0,3 проезд на автобусе
0,5 1 грамм серебра
1 проезд на метро
2 чашка кофе
3 большой бургер
5 проезд на такси
10 обед в ресторане
40 1 грамм золота
50 компьютерная игра
250 деловой костюм
500 диван
1 500 мощный игровой компьютер
4 000 1 грамм палладия
10 000 бюджетный автомобиль
40 000 бриллиант весом 1 грамм
80 000 квартира в большом городе
100 000 Итальянский трюфель (самое дорогое блюдо)
150 000 большой дом в большом городе
200 000 Клив Кристиа (самые дорогие духи)
300 000 кристалл Пейнита весом 1 грамм (самый дорогой минерал)
500 000 Каберне Кричащий Орел (самое дорогое вино)
1 000 000 [пачка 100$-купюр размером с микроволновку]
1 500 000 Тибетский Мастиф (самая дорогая собака)
5 000 000 Постройка школы
15 000 000 золотой iPhone (самый дорогой телефон)
30 000 000 1 грамм Калифорния (самое дорогое вещество)
50 000 000 Феррари 250 GTO (самый дорогой автомобиль)
300 000 000 "Обмен" Виллем де Кунинг (самая дорогая картина)
400 000 000 пассажирский аэробус
600 000 000 Ланай, остров на Гавайях (самый дорогой проданный остров)
750 000 000 Стоимость полета на Луну
1 000 000 000 [пачка 100$-купюр размером с грузовой лифт]
1 500 000 000 Морской оазис (самый большой лайнер на 5500 пассажиров и 2500 экипажа)
2 000 000 000 Стелс-бомбардировщик (самый дорогой самолет)
4 000 000 000 стоимость всей меди на планете
5 000 000 000 Яхта "History Supreme" (самое дорогое судно)
15 000 000 000 Абрадж аль-Бейт в Саудовской Аравии (самое дорогое здание)
20 000 000 000 стоимость всего серебра на планете
80 000 000 000 состояние Билла Гейтса
300 000 000 000 состояние еврейской семьи Ротшилдов (династия банкиров из Европы)
400 000 000 000 Стоимость полета на Марс
600 000 000 000 Стоимость Apple (самой дорогой компании в мире)
1 000 000 000 000 [пачка 100$-купюр размером с пятиэтажный дом]
3 000 000 000 000 ВВП Китая на 2018 год
5 000 000 000 000 все наличные деньги на планете
7 000 000 000 000 стоимость всего золота на планете
10 000 000 000 000 стоимость всей коммерческой недвижимости на планете
20 000 000 000 000 ВВП США на 2018 год
25 000 000 000 000 деньги на всех банковских счетах
30 000 000 000 000 стоимость всех земельных участков
60 000 000 000 000 стоимость всех акций планеты
70 000 000 000 000 1 грамм антивещества
80 000 000 000 000 Мировой ВВП на 2018 год
150 000 000 000 000 Мировой долг (сумма всех кредитов, частных и государственных)
250 000 000 000 000 стоимость всей недвижимости на планете
900 000 000 000 000 Сумма по всем заключенным договорам на планете
1 000 000 000 000 000 [пачка 100$-купюр размером с Дубайскую башню]
таб.3

Итак, пачки 100$-купюр размером с Дубайскую башню хватит чтобы купить все что имеется на Земле. Но если у какого-нибудь мецената внезапно окажется столько денег, это не значит, что он сможет скупить всю Землю, просто мировая экономика тут же испытает сильную инфляцию и деньги начнут обесцениваться по мере того, как этот меценат начнет скупать все что есть на планете. Но что если все эти гипотетические 100$-купюры разложить по поверхности Земли, тогда их хватит, чтобы покрыть всю территорию Арабских Эмиратов. Сколько же денег надо, чтобы покрыть всю сушу нашей планеты, что же, для этого понадобится более 10 квадриллионов (1016) купюр.  А если мы будем выкладывать 50-центовые монеты, то даже если мы покроем ими не только сушу, но дно всех морей и океанов, нам понадобится около 100 квадриллионов (1017) монет.

Следующее именное число на очереди  - квинтиллион (1018)  - это в тысячу раз больше квадриллиона. Квинтиллион - это так много, что даже если бы вся земля была бы усеяна деньгами, то все равно едва бы набралась такая сумма. Это так много, что с момента зарождения вселенной прошло всего половина квинтиллиона секунд. 10 квинтиллионов (1019) - столько насекомых обитает на нашей планете. Это значит, что на каждого человека, живущего на земле, приходится столько же насекомых, сколько всего людей проживает на всей планете. Если бы всех насекомых равномерно распределить по поверхности суши, то на каждом квадратном сантиметре их сидело бы не меньше десятка. Осознав это количество, сложно по-прежнему считать себя хозяевами нашей планеты. Столько же (1019) атомов в одной песчинке, что показывает насколько атомы маленькие. Но космос, он настолько же большой насколько малы атомы, если измерить размеры нашей галактики Млечный путь в метрах, то получится примерно 100 квинтиллионов (1020).

Если предыдущие именные числа, иногда можно услышать в обиходной речи, чаще правда внутри гиперболических оборотов, то многие никогда даже не слышали о секстиллионе (и даже проверка орфографии в программе, в которой я набираю текст, подчеркнула это слово). Секстиллион (1021)  - это в тысячу раз больше квадриллиона, столько примерно потребовалось бы 50-центовых монеток, если бы могли ими выложить всю поверхность Солнца. Секстиллион равен числу бактерий, живущих в миллионе людей, и равен числу всех песчинок на Земле. Интересен следующий факт песок так же как и электронный транзистор сделан из кремния, но транзисторы могут выполнять логические операции и благодаря сегодняшним технологиям могут достигать нанометровых размеров, миллиардами размещаясь на процессорах наших компьютеров, всего же на земле по данным на 2018 около 10 секстиллионов (1022) транзисторов, в десять раз больше чем песчинок. Столько же молекул содержится в чайной ложке воды и столько же чайных ложек воды содержится в Мировом океане. Песчинки и капли воды в рамках всей планеты, так же малы как атомы и молекулы в рамках этих песчинок и капель. Однако космос еще более велик, по приблизительным оценкам  число звезд и планет в наблюдаемой вселенной около 100 секстиллионов (1023), это в 100 раз больше, чем число песчинок, которые можно найти на Земле.

Септиллион (1024), этим числом можно измерить массу Земли, получится 6 септиллионов килограмм. Так же этим числом заканчивается таблица приставок СИ (Стандартов Измерения Международной системы единиц). Эти приставки, во всяком случае относительно небольшие из них, знакомы всем, их добавляют к единицам измерения для обозначения больших чисел или малых дробей (отрицательная степень десятки символизирует десятичную дробь, в которой число нулей перед единицей равно значению степени, например 10-6 = 0,000001 - одна миллионная). Давайте рассмотрим всю таблицу приставок на примере самой привычной и основной единицы измерения СИ - метре:

иоттаметр Им 1024 диаметр сверхскопления галактик
зеттаметр Зм 1021 диаметр самой большой из известных галактик
эксаметр Эм 1018 толщина рукава спиральной галактики
петаметр Пм 1015 расстояние до самых отдаленных комет
тераметр Тм 1012 радиус орбиты Сатурна
гигаметр Гм 109 диаметр Солнца
мегаметр Мм 106 средняя длина горной цепи
километр км 103 высота Анхеля (самого высокого водопада)
гектаметр гм 102 диаметр футбольного поля
декаметр дам 101 высота трехэтажного дома
метр м 100 длина мужской ноги
дециметр дм 10-1 ширина мужской ладони
сантиметр см 10-2 ширина ногтя на мизинце
миллиметр мм 10-3 размер блохи
микрометр мкм 10-6 размер бактерии
нанометр нм 10-9 диаметр молекулы ДНК
пикаметр пм 10-12 ширина электронных орбиталей в атоме
фемтометр фм 10-15 диаметр атомного ядра
аттометр фм 10-18 радиус рассеивания кварков и электронов
зептометр зм 10-21 радиус рассеивания нейтрино
иоктометр им 10-24 длина волны самых мощных космического гамма-лучей
таб.4

Эти приставки можно добавлять к любым единицам измерения, избегая при этом использования названия больших чисел или логарифмической записи. Однако есть одно исключение, для измерения информации обычно эти приставки используются по иным правилам. Вместо кратности 103×n при измерении информации используется кратность 210×n, то есть каждая следующая приставка (исключая "дека" и "гекто") больше другой не в 103 = 1000 раз, а в 210 = 1024 раза. Для наглядного сравнения ниже приведена таблица №5.

байт б 20 =100 один пиксель в изображении низкого качества
одна буква текста
одно целое число (от 1 до 256)
килобайт кб 210 =1,024×103 иконка в интерфейсе
одна страница текста
одно целое число (от 1 до 28192)
мегабайт Мб 220 ≈1,048×106 фотография среднего качества
минутная аудиозапись в формате mp3
одно целое число (от 1 до 28388608)
гигабайт Гб 230 ≈1,074×109 часовой видеоролик среднего качества
объем текста всех книг из городской библиотеки
одно целое число (от 1 до 28589934592)
терабайт Тб 240 ≈1,01×1012 объем данных персонального компьютера (на 2018 год)
весь сериал "Игра престолов" в Utlra HD качестве
одно целое число (от 1 до 28796093022208)
петабайт Пб 250 ≈1,126×1015 ежедневный трафик поисковых сайтов (на 2004 год)
компьютерная графика для голливудского фильма (на 2018 год)
одно целое число (от 1 до 29007199254740992)
эксабайт Эб 260 ≈1,153×1018 ежегодный мировой интернет-трафик (на 2004 год)
информации содержится в одном миллиграмме ДНК
одно целое число (от 1 до 29223372036854775808)
зеттабайт Зб 270 ≈1,18×1021 ежегодный мировой интернет-трафик (на 2018 год)
сто газет, прочитанные каждым человеком на планете
одно целое число (от 1 до 29444732965739290427392)
иоттабайт Иб 280 ≈1,209×1024 в 10 раз больше, чем вся произнесенная человеческая речь в формате mp3
в 100 раз больше, чем весь объем цифровой информации (на 2018 год)
одно целое число (от 1 до 29671406556917033397649408)
таб.5

Обратите внимание на третью строчку в каждой строке таблицы, пока что, еще даже особо не вдаваясь в подробности кодирования двоичной информации, на основе ее можно сделать вывод, что у каждого объема информации есть максимальное число, которое в этом объеме можно закодировать. А значит, что и всегда существует такое число, которое нельзя будет закодировать, поскольку не хватит объема памяти. Это очень важная деталь, которую мы в следующей части рассмотрим подробнее, и как выяснится, это окажется глубокой математической концепцией.

Для следующего числа даже не существует приставки для единиц измерения, поскольку масштабы этого числа уже соизмеримы с масштабами известной нам вселенной. Сверхскопления галактик это самые крупные известные нам структуры во вселенной, но их размер в 1000 раз меньше, чем размеры вселенной доступной наблюдению. Диаметр наблюдаемой вселенной почти 1 октиллион (1027) метров. Хочу сразу здесь отметить, что это размер не всей вселенной, о нем мы ничего не знаем, а только той части, которую мы можем видеть. Дело в том, что скорость света конечна, так же как и возраст вселенной и с момента Большого взрыва свет еще не успел дойти до нас с отдаленных областей, более того он и не успеет дойти потому что вселенная продолжает расширяться, а значит для нас вселенная всегда будет ограниченна этой областью доступной для наблюдения, граница которой называется космологическим горизонтом (кроме того мы видим отдаленные области вселенной, такими какими они были миллиарды лет назад, когда вселенная была меньше, то есть не расширилась так как сейчас; однако диаметр, который я привожу здесь это оценка реальных размеров с учетом расширения, которое так же произошло в этих удаленных областях). Ну а снова сделав реверанс от большого к малому, могу сказать что нужно взять примерно октиллион (1027) атомов водорода (самых легких атомов), чтобы их набралось массой один килограмм.

Идем дальше. Следующее число нониллион (1030), столько примерно насчитывается бактерий на всей земле. Вот кто на самом деле хозяева нашей планеты. Бактерии самые древние ее обитатели, им около 4 миллиардов лет, они появились спустя всего полмиллиарда лет с момента образования планеты, они же прародители всего живого, предки любого ныне обитающего существа, неотъемлемые участники любых процессов жизнедеятельности, без них была невозможная жизнь ни в одной экосистеме. Бактерии считаются бессмертными, то есть они не умирают от старости, многие могут впадать в анабиоз на миллионы лет. Бактерии обитают повсюду: на земле, в воде, в воздухе, в живых организмах, даже внутри горных пород. Их настолько много, что если все бактерии равномерно распределить по поверхности планеты, то они покроют ее метровым слоем, и это при том, что их размеры не превышают нескольких микрометров. Бактерии очень маленькие, но элементарные частицы еще меньше и легче, ведь для того чтобы набрался один килограмм электронов их надо взять примерно нониллион (1030) частиц.

Последнее используемое мной число из американской системы именования больших чисел это дециллион (1033), поскольку следующие приводимые мной числа будут увеличиваться больше чем в тысячу раз, и легко можно будет запутаться во всей этой системе приставок, поэтому начиная с дециллиона (1033) мы полностью переходим на логарифмические именования чисел и вместо "...иллионов" будем говорить только "десять в n-ой степени". Но пока что мы еще можем обсудить последнее "...иллион"-ное число, очень важное число смею заметить: 100 дециллионов (1035). Во столько раз планковская длина меньше метра. Планковской длиной - называют длину, которая наименьшая описывается известными нам законами физики, из которых следует, что на меньших масштабах само пространство-время перестает существовать, а значит ничто физическое не может быть меньше этой длины. Отсюда следует, что существует и минимальный промежуток времени, так же называемый планковским, ведь поскольку быстрее света ничего не может двигаться, то время, за которое свет преодолевает минимально возможную длину, так же будет минимально возможным. Пространство на планковских масштабах представляет из себя пузырящуюся пену, в которой привычные нам пространство и время буквально кипят иногда даже превращаясь друг в друга, и которую еще называют квантовой пеной. По одной из теорий ("космической инфляции" - ее мы еще рассмотрим в дальнейшем) в этой пене могут рождаться пузыри новых вселенной и раздуваться в свое собственное пространство-время. Вторая физическая величина, к которой применимо это число, это интенсивность фундаментальных сил, напрямую связана с плакновской длиной. Гравитация в 100 дециллионов (1035) раз слабее электромагнитной силы. Гравитация - величественная сила она формирует галактики, звезды и планеты, весь космос подчиняется ей, однако она очень слабая. В качестве примера обычно приводят маленький магнитик, который способен поднять с пола иголку, которую всей своей массой гравитационно удерживает вся наша планета. Поэтому мы можем существовать на поверхности планеты из-за этого числа (1035), поскольку все что мы видим вокруг себя сформировано этими фундаментальными силами, если величественные космические объекты поражающие своими размерами создала именно слабость гравитации (была бы эта сила сильнее, тогда и космические объекты были бы меньше и плотнее), то мощь электромагнитной силы создала маленькие атомы, способные вступать опять же за счет электромагнетизма в химические связи и в конечном счете порождать живых существ. Но не только за относительные размеры атомов, людей и планет ответственно это число, оно же определяет скорость протекания процессов, ведь чем сильнее сила, тем быстрее происходят взаимодействия, именно поэтому по сравнению с человеческой жизнью космос кажется почти вечным. Все размеры, формы и временные интервалы, о которых мы с вами говорили, напрямую зависят от этого числа, но будь оно иным на несколько порядков это не значит, что все что мы видим было бы больше или меньше чем есть, всего этого вообще могло не быть, поскольку многие взаимодействия бы не произошли. Могло бы не возникнуть химии или самих атомов, тогда вся материя представляла бы собой рассеянные в космосе элементарные частицы, или будь гравитация чуть сильнее, то все бы давно схлопнулось в черные дыры. На масштабах планковских длин гравитация становится сильнее электромагнетизма и там пространства фактически не существует, так же как когда-то не существовало нашей вселенной. По уже упомянутой нами теории космической инфляции собственно сам Большой взрыв, процесс творения, произошел всего за одну 1035-ную долю секунды с начала времен, за это время наш космос раздулся до невероятных размеров, гравитация отделилась от других сил, высвободив из небытия отрицательную энергию, а компенсирующая ее положительная энергия, превратилась в материю, сконденсировавшись в виде элементарных частиц. Если бы этот процесс длился чуть меньше, пространство бы схлопнулось обратно в небытие, а если чуть дольше то растянулось бы так, что представляло бы собой пустой безжизненный низкоэнергетический вакуум. На этом, я думаю, стоит сказать "спасибо" числу 100 дециллионов (1035) за то, что создало нашу вселенную такой, какой она есть, в которой мы разумные существа можем обсуждать размеры, масштабы и числа; и будем двигаться дальше.

Теперь продвигаться будем скачками, думаю читатель уже освоился с логарифмической нотацией и осознанием масштаба чисел, поэтому дальше я буду приводить числа одной строкой без их названий и без сравнений с предыдущими числами.

1041 килограмм - весит самая большая черная дыра (самый массивный объект в известной вселенной).
1043 планковских единицы времени (мельчайший временной промежуток) содержится в одной секунде.
1047 калорий - энергия взрыва самой мощной сверхновой (зарегистрированной в известной вселенной)
1049 ватт - мощность столкновения двух черных дыр (мощнее света всех звезд в наблюдаемой вселенной)
1050 атомов содержит в себе наша планета
1053 килограмма - масса наблюдаемой вселенной
1062 планковских единиц длины в диаметре наблюдаемой вселенной
1062 планковских единиц времени прошло с момента рождения вселенной.
1070 лет - время жизни самой маломассивной черной дыры из известных
1070 калорий - полная энергия запасенная в наблюдаемой вселенной.
1080 атомов содержит в себе наблюдаемая вселенная
1088 элементарных частиц в наблюдаемой вселенной (из которых состоит вся материя и все излучение)
1090 байт - информация о всем содержимом в наблюдаемой вселенной (рассчитано на основе данных энтропии)

Для тех, кто еще не до конца научился ориентироваться в логарифмических числах приведу еще пару сравнений. Начнем с числа атомов, всего их содержится в наблюдаемой вселенной около 1080. Но чтобы понять насколько это много, вспомним сколько их содержится в песчинке:

то во сколько раз число атомов, из которых состоит наша планета (1050),
больше числа атомов, из которых состоит крупная песчинка (1020),
во столько же раз число всех атомов, которые содержатся в наблюдаемой вселенной (1080),
больше числа, из которых состоит наша планета (1050).

При этом средняя плотность вселенной очень маленькая и составляет всего примерно один атом на кубический метр. Энергетическая плотность вселенной еще меньше, и ее значение является одной из проблем в физике, но об этом чуть дальше, пока давайте еще сравним энергетические уровни в логарифмических числах:

то во сколько раз энергия выделяемая при сгорании 1 миллиграмма бензина (10 калорий) больше,
чем энергия от одной частицы (фотона) теплового излучения (10-22 калорий),
во столько же вся энергия получаемая Землей от Солнца за год (1024 калорий) больше,
чем энергия выделяемая при сгорании 1 миллиграмма бензина (10 калорий),
во столько же раз энергия взрыва самой мощной сверхновой (1047 калорий) больше,
чем вся энергия получаемая Землей от Солнца за год (1024 калорий),
во столько же раз запасенная в наблюдаемой вселенной (1070 калорий) больше,
чем энергия взрыва самой мощной сверхновой (1047 калорий).

Эти сравнения поражают масштабами, но мы все никак не можем добраться до числа, которое обсудили вначале, и в честь которого называется наука о больших числах. Гугол (10100) - это так много, что не найдется даже такое количество физических объектов в пределах наблюдаемой вселенной, чтобы сравниться с этим числом. Гугол (10100) - это настолько много, что это в 10 триллионов раз больше чем (1088) число всех элементарных частиц в наблюдаемой вселенной, составляющих как и материю так и излучение. Но мы можем считать не только физические объекты, а еще какие-нибудь другие физические параметры, например, до тепловой смерти вселенной, когда во вселенной не останется ничего кроме излучения и даже черные дыры испаряться, осталось ровно 10100 - гугол лет, такое время жизни самой сверхмассивной черной дыры из известных, а это самый долгоживущий объект во вселенной (даже все атомы распадутся намного раньше, чем испарятся черные дыры).

Другое важное число 10123 - настолько сегодня энергетическая плотность энергии вакуума во вселенной  слабее, чем в начале большого взрыва. Чем же именно важно это число. Дело в том, что физики посчитали, какой сегодня должна быть энергетическая плотность вакуума (энергия пустого пространства) на основе квантовой теории, и значение, которое они получили, практически совпадает с энергетической плотностью вакуума, такой какой она была в начале большого взрыва, что дает несоответствие с наблюдаемой на 123 порядка (10123). Это называют проблемой нулевой энергии, или "самой большой неточностью в истории физики". До сих пор остается загадкой куда девается энергия вакуума, которая по идее должна порождать непрекращающийся большой взрыв повсюду, а если она погашена или скомпенсирована какими-то квантовыми процессами, то почему не полностью а с такой феноменальной точностью один к 10123.

Что еще мы можем сделать, чтобы получить еще бо́льшие числа в мире материальных вещей, можем посчитать сколько просуществует вселенная до момента тепловой смерти (когда испарится самая тяжелая черная дыра) в планковских единицах времени, мельчайших временных промежутках, и получим 10150. А можем вспомнить про пространственное мышление, когда мы представляли систему из вложенных кубов, и измерить планковскими объемами (планковская длина в кубе) весь объем наблюдаемой вселенной.  Давайте сделаем это поэтапно, чтобы наглядно представить доступные измерению масштабы вселенной. Для начала возьмем типичный холодильник объемом один кубический метр, и в таблице №6 прикинем сколько таких холодильников уместилось бы в бо́льшие объемы пространства.

101 совмещенный санузел
102 вагон метро
103 общественный бассейн
104 дирижабль
105 танкер
106 египетская пирамида
109 небольшое озеро (видны берега)
1012 большое озеро (невидны берега)
1015 море
1018 мировой океан
1021 Земля
1024 Юпитер
1027 Солнце
1036 самая большая звезда
1045 небольшая туманность
1054 звездное скопление
1061 наша галактика (Млечный путь)
1068 скопление галактик
1072 сверхскопление галактик
1081 наблюдаемая вселенная
таб.6

Теперь поступим наоборот, и в таблице №7 посчитаем сколько бы меньших объемов пространства уместилось бы в одном таком холодильнике.

103 бутылка молока
106 чайная ложка
108 рисовое зернышко
1011 песчинка
1016 человеческая клетка
1018 бактерия
1020 вирус
1029 атом
1045 протон
10105 планковский объем
таб.7

Ну а дальше, используя алгебру уровня седьмого класса, нетрудно посчитать, сколько же планковских объемов уместится внутрь наблюдаемой вселенной: 1081×10105 = 1081+105 = 10186. Казалось бы вот оно наибольшее число которое имеет смысл, но имея всего три полные колоды игральных карт можно получить число почти в гугол раз превосходящее число планковских объемов в наблюдаемой вселенной. Все просто, возьмите три полные колоды игральных карт (по 52 листа каждая) и тщательно перемешайте их в одну колоду. А теперь спросите себя: сколько возможных вариантов последовательности карт может быть в такой колоде после того как вы ее перемешали. Посчитать это несложно, ответ даст раздел математики, называемый комбинаторика, уровня девятого класса:

одна колода карт: 52! = 1×2×3×...×51×52 ≈ 1068 возможных последовательностей карт в колоде.
две колода карт: 104! = 1×2×3×...×103×104 ≈ 10166 возможных последовательностей карт в колоде.
три колода карт: 156! = 1×2×3×...×155×156 ≈ 10276 возможных последовательностей карт в колоде.

Еще одно число, которое могло бы иметь физический смысл, происходит из теории струн. Эта теория пытается объяснить единство происхождения всех фундаментальных сил и элементарных частиц, согласно ей все элементарные частицы - это вибрирующие нити чистой энергии вакуума (струны), размером с планковскую длину. Вибрации, что создают струны собственно и определяют все свойства частиц и фундаментальных сил. Теория очень популярна среди физиков-теоретиков, но пока имеет гипотетическую природу. Эта теория делает интересное предсказание о том, что те вибрации, которые издают струны, или та конфигурация вакуума, что заставляет их колебаться, создавая именно ту симфонию, которой и является наша вселенная одна из 10500 возможных. Почему именно такая конфигурация вакуума досталась нам, что в ней могут обитать разумные существа, ведь вероятность, что она окажется такой была один к 10500 - это один из самых больших неразрешенных вопросов теории струн.

Но мы всё топчемся на месте, думаю, что вы уже готовы к настоящему прыжку. Давайте возьмем число, которое кардинально больше, чем гугол. Представляю вам гуголплекс = 1010100. Это число (за авторством того же девятилетнего мальчика, придумавшего гугол) имеет 10100 - гугол нулей после единицы. И как вы понимаете, я не смогу записать его в строку, более того, даже если бы я мог нарисовать ноль на каждой элементарной частице в пределах наблюдаемой вселенной, мне бы просто не хватило частиц, чтобы это сделать. То есть, это число вообще невозможно отобразить в десятичной записи. Давайте посмотрим, можно ли что-то сопоставить с этим числом, или хоть как-то подобраться к нему.

Начнем с теории космической инфляции, которая не раз уже упоминалась, она пока еще не считается строго доказанной, но на сегодняшний день это лучшая теория, которая наиболее детально и согласуясь с наблюдениями объясняет как именно происходил большой взрыв. Согласно этой теории в самые первые мгновения наш космос невероятно или, говоря языком теории, инфляционно увеличился в размерах, этот краткий миг экспоненциального расширения и был собственно тем самым большим взрывом, породившим космос. Теория не дает точных предсказаний о том конечна наша вселенная или бесконечна (и я говорю о всей вселенной, а не только о наблюдаемой области), на это можно ответить только зная абсолютную кривизну пространства. Но в случае, если вселенная конечна и представляет из себя что-то вроде поверхности четырехмерной сферы, то теория позволяет приблизительно высчитать ее размеры. Диаметр всей вселенной, если она конечна по теории космической инфляции составляет около 101000000000000 = 101012метров - число с триллионом нулей. Во сколько же раз тогда получается вся вселенная больше наблюдаемой? Этот вопрос задан неверно, даже вопрос "на сколько порядков она больше" - не даст полного понимания ее масштаба. Давайте так, представьте себе стадион, а теперь возьмем всю наблюдаемую вселенную и уменьшим ее в диаметре до размеров стадиона, а потом снова возьмем наблюдаемую вселенную и уменьшим ее диаметр до размеров стадиона и т.д. Вспоминайте упражнение с вложенными кубами и подключайте пространственное мышление, только теперь уровень сжатия стал сильнее, мы сжимаем диаметр не в 10 раз а в 1025 раз. Короче говоря, повторять упражнение по сжатию вселенной до размера стадиона, а потом снова и снова, нужно 40 миллиардов раз, и только тогда мы можем сопоставить размеры стадиона и всей вселенной из предсказаний теории космической инфляции в сценарии с конечной вселенной. Если бы после каждого такого мысленного сжатия мы бы рисовали палочку, наподобие той что из рисунка №2, где мы из палочек составляли тысячу, то из этих палочек, так же плотно рисуя их друг к другу, получилась бы строка длиной с земной экватор. Что же, истинные масштабы мироздания могут повергнуть в шок неподготовленных.

Давайте теперь представим, что вселенная все же бесконечна, ведь современные физические теории допускают и такой вариант, тогда мы встретимся с другим очень интересным числом. Несмотря на бесконечность вселенной, квантовая механика позволяет организовать материю конечным числом способов, значит по статистике где-то далеко-далеко-далеко должна быть полная копия нашей планеты, где копия вас читает эти строки написанные копией меня. Ученые посчитали это расстояние (на самом деле это несложно, рассчитываем энтропию всей нашей планеты до квантового уровня, выражаем это число в виде количества байт информации и средствами комбинаторики, просчитываем число всех возможных конфигураций). Оно приблизительно равно 101028 метров - число с 10 октиллионом нулей. Еще на таком же расстоянии, дальше или с другой стороны, будет другая копия планеты, и так далее, повсюду мироздание окажется самоподобным, как гигантский математический фрактал. На расстояниях чуть ближе могут встречаться и неполные копии, а с небольшими изменениями, где, например, я так и не взялся за написание этой книги.

На сколько же больше эти расстояния, чем возможные размеры вселенной будь она конечной? Прежде всего стоит отметить, что это уже не логарифмические числа и их нельзя сравнивать по тем же правилам. Например, 1028/1012 = 1028-12 = 1016 - одно число больше другого в 10 квадриллионов раз (опять же алгебра седьмого класса). Однако 101028/101012 = 10(1028-1012) ≈ 101028- фактически получается, что одно число больше другого практически во столько же раз, что и масштаб самого этого числа. Можно еще попробовать объяснить сравнительные масштабы двух этих чисел на примере вложенных кубов из рисунка №11. Для создания числа 101012 - необходимо представить рисунок из более чем 300 миллиардов вложенных кубов, а для создания числа 101028 - необходимо представить рисунок из более чем 3 октиллионов вложенных кубов. Тут уже неприменимы слова "во сколько раз", или "на сколько порядков", можно сказать, что "порядок порядка числа" отличается в 10 квадриллионов раз, но это не особо вносит ясности в понимание сравнительного масштаба чисел. Степенные башни, которыми мы уже во всю пользуемся, это следующая на очереди запись больших чисел после логарифмической и похоже она окончательно убивает интуитивное понимание масштаба. Поэтому дальше уже не будет сравнений, поскольку привычные сравнения на этом этапе уже не помогут, и читателю остается уповать лишь на силу собственного абстрактного понимания чисел.

Ну а мы идем дальше в попытках дотянуться до гуголплекса. После тепловой смерти вселенной все же будут происходить квантовые скачки, это такие события квантовой природы, которые способны спонтанно создавать какие-либо структуры. Такое событие надо сказать очень редкое, вряд ли стоить ожидать крупного квантового скачка до наступления тепловой смерти, а вот после у них будет предостаточно времени, чтобы проявить себя. Вопрос стоит, таким образом, сколько должно пройти времени, чтобы квантовый скачок спонтанно создал такую структуру, которая бы могла разумно мыслить и думать то, что она человек, вроде меня или вас, ее еще называют Больцмановский мозг в честь физика основателя термодинамики предсказавшего тепловую смерть вселенной. Ученые посчитали и это. Такое может произойти через 101050 лет. Сама возможность этого немного пугает, ведь это значит, что наше сознание на самом деле может оказаться сознанием такого Больцмановского мозга и вся окружающая реальность это лишь его вымысел. Сложно назвать такие вычисления физическими, многие сочтут это уже метафизикой или даже философией, но так или иначе нам опять не хватило до гуголплекса.

Может быть нас спасет комбинаторика? Колоду из скольких карт нужно взять и перемешать, чтобы мы потенциально могли получить больше гуголплекса вариантов последовательности карт внутри нее? Такая колода должна содержать 10100 гугол карт, да и то число возможных последовательностей будет приблизительно 1010102, ни о каком кардинальном превосходстве не может быть и речи. Это еще раз показывает насколько велики числа, до которых мы добрались.

Давайте попробуем применить комбинаторику ко всей наблюдаемой вселенной. Как я и говорил выше, квантовая механика позволяет организовать вещество во вселенной конечным количеством способов. И есть способ подсчитать количество возможных состояний, в которых могла бы находится наша вселенная. В соответствии с голографическим принципом (согласно которому физические состояния в объеме можно закодировать на площади ограничивающий этот объем) полная квантовая энтропия области рассчитывается как булеан количества планковских площадей входящих в сферу. Говоря простыми словами, мы можем подсчитать все возможные состояния, в которых может находится та или иная область пространства, зная лишь диаметр этой области и выразив его в планковских величинах. Для более наглядной аналогии, представим, что у нас есть очень много всяких разных, но очень маленьких карт, каждая из которых имеет лишь планковскую длину в диаметре, вопрос ставится следующим образом: сколько возможных комбинаций из этих карт можно составить, если выложить их плотно друг другу, так чтобы они покрывали область равную всей видимой вселенной. Для области размером с наблюдаемую вселенную получается число равное 1010123, значит в случае с бесконечной вселенной (всей, не только наблюдаемой) по теории вероятности на таком расстоянии (и уже как вы понимаете, неважно чего, метров километров или световых годов) должна находится точно такая же область пространства как наша наблюдаемая вселенная. Это будет абсолютная копия без каких-либо отличий вплоть до планковских масштабов.

Есть ли какое-либо физическое число, которое кардинально переплюнет гуголплекс. Вполне возможно, что такое число существует. Сегодня космологи, изучающие большой взрыв, создавший нашу вселенную, склоняются к тому, что большой взрыв создал не только нашу вселенную, но и великое множество параллельных вселенных существующих в своем собственном пространстве-времени и имеющие собственные законы физики. Это одно из возможных следствий теории космической инфляции. Дело в том, что гиперраздувание нашего пузыря вселенной во время большого взрыва могло происходить на фоне неравномерно кипящего высокоэнергетичного вакуума, в котором вполне возможно могли раздуваться и другие пузыри. Более того квантовая пена пространства-времени, которая по теоретическим расчетам существует на планковских масштабах в нашей вселенной, сама по себе является кипящим высокоэнергетичным вакуумом. Вот и ответ на вопрос, куда девается гигантская плотность энергии, которая по расчетам квантовой механики должна быть запасена в пустом вакууме, она расходуется на постоянное создание вселенных, каждая из которых как пузырек может либо сразу схлопнуться, либо раздуться в свое собственное пространство-время отделившись от нашей. Тут же появляется ответ на вопрос почему нашей вселенной достался один из 10500 вариантов конфигурации вакуума, от которого зависят свойства элементарных частиц и фундаментальных сил, и почему эта конфигурация вакуума гасит свою внутреннюю плотность энергии с такой точностью один к 10123, сохраняя вакуум в стабильном состоянии и перенаправляя его потенциал на создание других вселенных. Ответ в том, что число этих параллельных вселенных непостижимо велико и в каждой из них будут свои законы физики, своя конфигурация вакуума, свой собственный уровень стабильности вакуума и способность к порождению других вселенных. Неудивительно что нашей вселенной досталась именно такая конфигурация вакуума, в которой возможно существование разумных существ, иначе некому было бы об этом рассуждать. Вполне возможно, что несмотря на разнообразие вариантов конфигураций вакуума и вариантов событий, которые могут произойти в параллельных вселенных, многие из них будут полными копиями друг друга. Весь этот разрастающийся фрактал из параллельных вселенных иногда называют мультивселенной. Опять же теория космической инфляции не дает точного предсказания конечным ли будет количество всех вселенных в такой мультивселенной, все зависит от некоторых свойств квантовой пены, инструмент для экспериментального изучения которой можно сделать разве что из черной дыры, что естественно недоступно современным физикам. Теория относительности, например, допускает даже такой вариант, когда мультивселенная будет конечна, а составляющие ее вселенные будут бесконечны. Дело в том, что при переходе от одной структуры к другой, такие понятия как вечность и бесконечность меняются местами, как бы странно это не звучало. Внутри вселенная может восприниматься как имеющая бесконечное пространство и свое одномоментное рождение в прошлом, а снаружи как конечное пространство, но при этом бесконечно рождающееся (термины "внутри" и "снаружи" не определяют никакой границы, просто бесконечность пространства не позволит покинуть вселенную и посмотреть на нее снаружи, так же как и нет возможности проникнуть внутрь пузырька квантовой пены, в котором в свое собственное пространство вечно рождается новая вселенная). Но все же, если число параллельных вселенных конечное, то теория дает приблизительную оценку их количества, которая оценивается числом 101010000000 = 1010107. Такое количество существующих вселенных непостижимо, и оно намного, намного, намного, намного больше чем гуголплекс. Но самое главное для нашего здравого смыла, что если теория о параллельных вселенных верна, то она частично опровергает гипотезу Больцмановского мозга. Потому что, учитывая количество возможных вселенных, куда более вероятно, что мы окажемся в реальной вселенной, чем в воображении спонтанно возникшего Больцмановского мозга.

Давайте возьмем число еще больше - 101010100, его называют гуголплексплекс, это число больше чем вся мультивселенная и все физическое, что в ней есть и можно измерить, при условии если она вообще существует и окажется конечной (не стоит забывать, что предположение о существовании мультивселенной, хоть и разрешает многие проблемы в физике, но все же остается недоказанной гипотезой, пусть даже ее сегодня и придерживается большинство космологов). Так или иначе, с этого момента можно оставить попытки измерить большими числами что-то физическое и полностью предаться математическим забавам, забыв про сравнения с реальным миром. Думаю многие уже сообразили как создавать эти "...плексы".

10100 = гугол
1010100 = гуголплекс
101010100 = гуголплексплекс
10101010100 = гуголплексплексплекс
и т.д. каждое число невообразимо больше предыдущего

По этим безумно большим числам видно, что им очень тесно в подобной записи. Можно конечно и дальше городить башни из степеней, но если необходимо кардинально продвинуться дальше, то необходимо использовать высшие арифметические действия. Но для начала я должен объяснить, что же это такое, потому что в школе их обычно не проходят. Хотя я уверен, что многие задавались вопросом: вот есть у нас сложение, за ним умножение, потом степень, а дальше? Есть ли другие более сильные арифметические действия?

Есть, но их не проходят ни в школах, ни в институтах, даже многие люди закончившие математические факультеты ничего о них не знают, потому что эти арифметические действия не нужны, то есть совсем не нужны и нигде не используются на практике. Однако создаются они очень просто, по принципу обычных арифметических действий. Рассмотрим как создать следующее по уровню после степени арифметические действие, называемое тетрацией:

a×b = a+a+a+... b-раз (умножение)
ab = a×a×a×... b-раз (степень)
ba = aaa... b-раз (тетрация)

Видите ничего сложного, по сути тетрация - это обобщение степенной башни, когда число возводится в степень равную ему несколько раз, к примеру так: 52 = 22222 . Вот такая степенная башня получается, где показатель тетрации обозначает ее высоту (в отличие от степени показатель тетрации пишется слева). При этом самое главное тут, что, по правилам, степенная башня считается с конца, а это приводит к тому, что тетрация создает невероятно большие числа, так например: 52 приблизительно равно 1019728. Другой пример тетрации: 410 = 10101010 и это намного больше, чем число параллельных вселенных, которые потенциально могут существовать в мультивслеленной, согласно новейшим космологическим теориям. Даже относительно маленькая тетрация, скажем 34, приблизительно равна 10154, что больше чем гугол. Хотя это всего лишь 444.

рис.12 (34)

Ниже дана таблица №8, в которой приведены значения тетрации для показателей 2,3,4 и 5. Как можно заметить, это арифметическое действие с легкостью может создать большие числа. Значения выделенные синим цветом больше чем гугол, выделенные зеленым цветом больше чем гуголплекс, выделенные красным цветом больше чем гуголплекплекс. Именно поэтому, как я и говорил, тетрация нигде не используется на практике. Вы не увидите это действие ни в одной формуле, ни в физике, ни в геометрии, ни в алгебре, ну почти нигде. Просто она создает числа бо́льшие чем нужны нам в физическом мире (кроме того тетрация не является элементарной функцией, то есть работает только с натуральными числами; показатель тетрации не может быть отрицательным, дробным или иррациональным числом, а ее обратные действия становятся невычислимыми, если не решаются в натуральных числах, поэтому тетрация бесполезна для математического анализа).

n 2n 3n 4n 5n
2 4 16 65536 ≈1019728
3 27 7625597484987 ≈101012 ≈10101012
4 256 ≈10154 ≈1010154 ≈101010154
5 3125 ≈102184 ≈10102184 ≈1010102184
6 46656 ≈1036305 ≈101036305 ≈10101036305
7 823543 ≈10692974 ≈1010692974 ≈101010692974
8 16777216 ≈1015151335 ≈101015151335 ≈10101015151335
9 387420489 ≈10369693099 ≈1010369693099 ≈101010369693099
10 10000000000 1010000000000 101010000000000 10101010000000000
таб.8 (таблица тетрации)

Представляю вам число, созданное американским математиком Джонатаном Бауэрсом (с другими достижениями этого человека мы еще познакомимся в дальнейшем), на основе тетрации: Гигол = 10010 (степенная башня из десяток высотой в 100 ступеней). Для сравнения, чтобы переплюнуть гигол, нам нужно добавить к слову гугол суффикс "...плекс" - 99 раз. Бессмысленно спрашивать насколько это большое число в рамках физического мира, готовьтесь теперь отправиться в мир чистой абстракции и лишь удивляться тому, насколько большие числа могут создавать ментальные способности нашего мозга.

А есть ли что-нибудь за тетрацией? Конечно есть. Новые арифметические действия можно вводить сколько угодно. Обобщением тетрации, например, будет пентация, ну то есть, это когда ...aaa b-раз, то есть вместо того чтобы рисовать тетрационную башню, мы просто запишем число ее ступеней (так же как ранее делали со степенной башней, обобщив ее тетрацией). Названия высшим арифметическим действиям принято давать по схеме: греческое числительное + "...ация", а для записи используют Стрелочную нотацию Кнута (известный американский программист и математик, создавший ее). Общепринятая нотация высших арифметических действий выглядит так:

a×b = a+a+a+... b-раз (умножение), например: a+a = a×2
a↑b = a×a×a×... b-раз (степень), например: a×a = a↑2
a↑↑b = a↑a↑a↑... b-раз (тетрация), например: a↑a = a↑↑2
a↑↑↑b = a↑↑a↑↑a↑↑... b-раз (пентация), например: a↑↑a = a↑↑↑2
a↑↑↑↑b = a↑↑↑a↑↑↑a↑↑↑... b-раз (гексация), например: a↑↑↑a = a↑↑↑↑2
и т.д.
a↑n+1b = a↑na↑na↑n... b-раз, например: a↑n+1a = a↑n2, где n - число стрелок

Как можно заметить степень в такой нотации записывается через одну стрелку, а не как верхний правый показатель. Тетрация в этой нотации тоже вместо левого верхнего показателя записывается через две стрелки, и т.д. Но так легко можно запутаться в количестве этих стрелок. Я предлагаю использовать альтернативную запись высших арифметических действий, которую называют гиперопертатором, в ней тоже нет ничего сложного, просто вместо увеличения количества стрелок мы используем нумерацию создаваемого арифметического действия. Сложение - 1, умножение - 2, степень - 3, тетрация - 4, и т.д. Уровень арифметического действия как раз и называют гипероператором. Так вот вместо знака сложения, знака умножения или n-ного количества стрелочек мы просто будем в квадратных скобках записывать уровень арифметического действия.

a[2]b = a[1]a[1]a[1]... b-раз (умножение), например: a[2]a = a[1]2
a[3]b = a[2]a[2]a[2]... b-раз (cтепень), например: a[3]a = a[2]2
a[4]b = a[3]a[3]a[3]... b-раз (тетрация), например: a[4]a = a[3]2
a[5]b = a[4]a[4]a[4]... b-раз (пентация), например: a[5]a = a[4]2
a[6]b = a[5]a[5]a[5]... b-раз (гексация), например: a[6]a = a[5]2
и т.д.
a[n+1]b = a[n]a[n]a[n]... b-раз, например: a[n]a = a[n+1]2, где n - уровень арифметического действия

Для всех высших арифметических действий так же как и для степени, так же как и для тетрации, не работает правило перестановок и вычислять их надо с конца, это делает число получаемое в результате вычисления во истину непостижимым. Уже результат вычисления пентации, или гиперопертора 5 уровня, тяжело выразить, используя даже степенную башню. Например, число 3[5]3 будет выглядеть как степенная башня из троек высотой в 7625597484987 ступеней.

Рассчитывается это очень легко 3[5]3 = 333 = (33)3 = (333)3 = (3(33))3 = (327)3 = 76255974849873 = 3333... - степенная башня из 7625597484987 троек, если бы мы попробовали записать ее всю, то она была бы высотой от Земли до Марса, где только последние пять троек ...33333 - уже будут больше, чем гуголплекс. Джонатан Бауэрс дал название этому числу: "тритри". Естественно, в доступной осмыслению физической реальности не найдется столько свойств или параметров, которые были бы хоть немного соизмеримы с этим числом.  Тем не менее, мы с легкостью записали его в виде гипероперационной записи: 3[5]3. В этом и есть сила человеческого разума, воображать то, что будет бо́льшим, чем сама вселенная вокруг него. Если мы хотя бы на единицу увеличим показатель пентации, вот так 3[5]4, то получим 3333 = 762559748498733 = тритри3 = 3333... - степенная башня из "тритри" троек.

Немного передохните и идем дальше, на очереди следующий уровень арифметического действия, гексация. Число 3[6]3 уже вообще никак нельзя представить в виде степенной башни. Его можно расписать как 3[5](3[5]3) = 3[5]тритри = ...3333 - тетрационная башня из "тритри" троек. Это настолько много, что даже не пытайтесь это представить.

Понятно, что гипероператор можно увеличивать и дальше, образуя все более и более непостижимые числа. Но опять же, по сути, мы топчемся на месте. Следующий шаг требует нехило напрячь воображение. Обычно объяснение масштаба числа, которое я сейчас представлю, всегда используют, как вводный экскурс в теорию больших чисел, не буду делать исключение и я. Итак представляю Число Грема - многими популярными изданиями оно позиционировалось как самое большое число, которое когда-либо использовалось в математике для доказательств. Конечно же это не так, в математике для доказательств используются и намного бо́льшие числа, более того как вы в дальнейшем поймете существование некоторых сверхбольших чисел само по себе может доказывать или опровергать любые математические теории.

Но перед тем как постигать масштаб Числа Грэма, я попробую в двух словах объяснить смысл этого числа. Число Грэма - это частное доказательство одной из задачи по теории Рамсея. В дальнейшем мы еще рассмотрим теорию Рамсея подробнее, в двух словах, это некоторая смесь из комбинаторики и теории графов. Суть задачи можно объяснить следующим образом. У нас есть куб, все вершины которого соединены прямыми линиями: вертикальными, горизонтальными, диагональными. Мы вольны раскрасить все эти линии в любой из двух цветов: красный или синий. Наша задача состоит в том, чтобы сделать это так, чтобы отрезки находящиеся в одной плоскости были разного цвета. Иными слова чтобы не возникла такая фигура:

рис.13

Для обычного куба эту задачу очень просто решить, причем разным числом способов. Мы можем раскрасить линии внутри нашего куба хотя бы так:

рис.14

Но что если наш куб будет иметь не три, а четыре измерения. Да, представить такой куб невозможно, но в математике такие объекты существуют (подробнее о них смотрите в Приложении №1). Можно ли тогда решить эту задачу? Ответ: можно. И если будет пять измерений, то задача тоже решается. Однако Теорема Рамсея утверждает, что рано или поздно, увеличивая число измерений куба, мы уже не сможем решить эту задачу, и как бы мы не раскрашивали линии куба, у нас все равно где-нибудь да получится плоскость раскрашенная в один цвет. Вопрос стоит так: сколько измерений должно быть у куба, чтобы правило раскраски обязательно бы нарушались. Ответ: число измерений должно быть равно Числу Грэма (на самом деле точно не известно чему должно быть равно минимальное число измерений, но оно точно не должно превышать Число Грэма, другими словами это верхняя граница для решения задачи).

Многомерные кубы
 

Двухмерный куб он же квадрат мы можем легко изобразить:

Не обращайте внимание на то что он повернут, так что стоит на своем углу, это называется ортогональная проекция. С двухмерными объектами все просто, у них есть два измерения длина и ширина и изображаем мы их тоже на двухмерной поверхности. У квадрата имеется четыре стороны. Давайте отметим каждую по отдельности:

Теперь изобразим трехмерный объект, собственно обычный куб, в ортогональной проекции:

Некоторым вероятно будет сложно увидеть в этой фигуре куб, потому что это не сам куб а его проекция на двухмерную плоскость. Но ведь и своим зрением вы видим плоские объекты и наш мозг достраивает их трехмерность мысленно. Поэтому в отличие от квадарта не возможно увидеть сразу все строны куба. Если вы все еще не увидили в этой фигуре куб, то давайте я вам помогу, заштриховав пунктиром те грани, которые не должны видеть у реального плотного куба:

Стороны трехмерного куба являются двухмерными квадратами, всего у него их шесть. Давайте так же отметим каждую по отдельности:

А еще у квадрата 12 граней, которые являются у него обычными отрезками, и как вы понимаете увидеть все их одновременно у реальной плотной фигуры тоже не получится. Однако в сущности мы способны видеть еще в одном измерении, во времени, и если мы заставим куб вращаться, то увидим все его стороны и грани, буквально прочувовав трехмерность этой фигуры, но на самом деле мы по-прежнему видим всего лишь сменяющиеся проекции.

Кроме того, благодаря времени, мы можем увидеть как склеить куб из его сторон изначально лежащих в одной плоскости, но я думаю и в этом примере вы прекрасно осознаете, что это всего лишь последовательность кадров, а трехмерность создается нашим пространственным мышлением.

И вот теперь вы готовы взглянуть на ортогональную проекцию четырехмерного куба.

Иначе эту фигуру называют тессеракт. Мы в принципе неспособны представить его в истинной четырехмерной форме, поскольку наше пространственное мышление развилось и существует в трехмерном пространстве. У тессеракта так же есть стороны для него это трехмерные кубы, всего он обладает восемью сторонами. А вот их по-отдельности найти в этой ортогональную проекции будет несложно:

Гранями для тессеракта являются уже квадраты всего у него их 24, попробуйте отыскать их все самостоятельно. Так же мы можем, подключив время и заставив тессеракт вращаться, увидеть как меняются проекции этой фигуры на двухмерную плоскость, но это не поможет нам увидеть его четырехмерность.

Можно посмотреть, опять конечно же в двухмерной проекции, как тессеракт разворачивается на свои трехмерные стороны, а потом снова собирается из них, осознания четырехмерности это не прибавит.

Еще как вариант можно посмотреть на то как создаются измерения. Легко понять как из точки возникает отрезок, а из отрезка строится квадарат, но при переходе к построению куба уже задействуется пространственное мышление, однако когда аналогичным медотом из куба создается тессеракт пространственное мышление нас подводит, и нам по-прежнему кажется что перед нами трехмерная фигура.

И так мы можем увеличивать число измерений, создавая все более многомерные фигуры, но наше восприятие не сможет увидеть эту многомерность. Вот, к примеру пентеракт, вернее его ортогональная проекция на двухмерную плоскость.

У пентеракта десять сторон, каждая из которых является тессерактом, но вы врятли сможете найти их в этой фигуре, зато сможете отыскать 40 граней, которые для пентеракта уже являются кубами. Ну и можно посмотреть на двухмерную проекцию вращающегося пентеракта.

С каждым дополнительным измерением фигуры становятся все более сложными, так же как и их ортогональные проекции. Ниже приведены ортогональные проекции шестимерного куба (гексеракт), восьмимерного куба (октеракт) и десятимерного куба (декеракт).

приложение 1 (Многомерные кубы)

Теперь давайте вернемся к масштабу Числа Грэма. Итак, для его построения нам нужно сам гипероператор, то есть уровень арифметического действия увеличить до размера 3[6]3. Здесь, внимание: то есть, это будет ни тетрация, ни пентация, а 3[6]3-ация. Тогда мы должны записать новое полученное число вот так 3[3[6]3]3. А если и это число мы используем как гиперопертор, тогда получим 3[3[3[6]3]3]3. Короче так вкладывать гипероператоры можно бесконечно и уровень невообразимости числа будет невообразимо возрастать. Итак, представляю вам число Грэма:

рис.15 (Число Грема в гипероперационной записи)

Всего 64 вложения гипероператоров. Вот такая рекурсия. Поскольку это слово будет постоянно использоваться дальше, напомню для всех самый наглядный ответ на вопрос, что оно означает:

рис.16

Масштаб Числа Грема для тех, кто о нем ничего не слышал, кажется непостижимым, а многие кто уже знают о масштабе этого числа, считают что это своего рода предел для больших чисел в математике. Но это скорее только начало. Просто дальше начинают сравнивать уже не масштаб числа, а масштаб рекурсии, что его создает, поскольку осознание самого истинного сравнительного масштаба числа уже недоступно человеческой психике. Нас с вами тоже ничто не останавливает перед созданием рекурсии, которая создаст еще бо́льшее числа. Начнем с простенькой рекурсии, которую можно представить визуально.

Сразу предлагаю исключить такие банальности как Число Грэма умноженное на Число Грэма, или Число Грэма в степени Числа Грэма, или даже Число Грэма с гипероператором Числа Грэма. И так видно, что Число Грэма чувствует себя в гипероперационной нотации еще более скованно, чем Гугол в десятичной нотации. Поэтому, чтобы совершить новый скачек нам нужны другие более сильные нотации. Можно ли придумать такие нотации? Конечно можно, и их напридумано великое множество. Но они очень сильные, и вот так сразу без подготовки посвящать вас в них мне бы не хотелось, потому что большинство из них слишком абстрактные и их практически невозможно показать наглядно. Поэтому я предлагаю свою нотацию с наглядной визуальной рекурсией, которую я назвал расширенным гипероператором.

Я думаю не только одному мне пришло в голову, что можно не рисовать все эти вложения гипероператоров в числе Грэма, а как-то их записать. Предлагаю сделать это вот так: 3[6,64]3 - что значит, 64 вложения 3[...3[6]3...]3. Общие правила выглядят так:

рис.17

Но на самом деле я предлагаю пойти еще дальше, мы можем ввести в нотацию еще одно число, которое будет считать не только вложения, но и вложения вложений:

рис.18

И если 3[3,3]3 = 3[3[3[3]3]3]3, то тогда 3[3,3,3]3 = 3[3,3[3,3[3,3]3]3]3. Ну в общем то и так далее, каждое следующее число добавленное через запятую внутрь гиперопетатора будет считать вложения вложений вложений... и т.д. Например: 3[3,3,3,3]3 = 3[3,3,3[3,3,3[3,3,3]3]3]3. В конечном счете общая схема в зависимости от количества чисел через запятую внутри гипероператора будет выглядеть так:

рис.19 (гипероперация a[n,m,l,k,j,i]b)

И так далее, в общем, я думаю, принцип понятен. С каждым дополнительно подставляемым внутрь гипероператора числом уровень рекурсий растет, как собственно и уровень невообразимости числа, которое они создают. Получается, что обязательным числом, которое подставляется внутрь гипероператора, является только первое, все остальные по умолчанию равны "1".

Но мы на этом не остановимся, предлагаю обобщить всю эту схему двумя квадратными скобками. Это и будет называться расширенным гипероператором. Раскрываться двойные скобки будут по следующей формуле: a[[n]]b = a[b,b,b,...]b - n повторений b через запятую внутри скобок. Но так по формуле тяжело понять уровень рекурсии, давайте разберем наглядно, на примере числа "3".

3[[1]]3 это всего лишь 3[3]3 = 33 = 27

рис.20

А вот 3[[2]]3 = 3[3,3]3 = 3[3[3[3]3]3]3 - это уже много, но меньше Числа Грэма.

рис.21

3[[3]]3 = 3[3,3,3]3 - очень много, намного больше Числа Грэма, это число уже не выразить в обычной гипероперационной нотации:

рис.22

3[[4]]3 = 3[3,3,3,3]3 - очень, очень много, несравненно больше Числа Грэма:

рис.23

Дальше расширяем нотацию по прежней схеме, добавляя внутрь двойной скобки еще числа, через запятую, каждое из которых будет показывать соответствующий уровень вложений, но уже для двух скобок:

рис.24
рис.25

Следовательно можно привести аналогичные примеры только для двух скобок  с добавлением одного числа: 3[[3,3]]3 = 3[[3[[3[[3]]3]]3]]3; двух чисел: 3[[3,3,3]]3 = 3[[3,3[[3,3[[3,3]]3]]3]]3; трех чисел: 3[[3,3,3,3]]3 = 3[[3,3,3[[3,3,3[[3,3,3]]3]]3]]3 и так далее.

рис.26 (гипероперация a[[n,m,l,k,j,i]]b)

Затем снова можно обобщить все это уже тремя скобками, чтоб все работало вот так: a[[[n]]]b = a[[b,b,b,...]]b - n повторений b через запятую внутри скобок. И это будет называться трижды расширенный гипероператор. В общем и так далее, добавляя все больше и больше скобок, будем получать все более безумные рекурсии и еще более безумные числа которые они создают. Можно конечно еще придумать как записывать количество этих скобок: a[n]mb, например 10[10]10010 будет значить 10[[...[10]]...]]10 - где 100 скобок, но на самом деле, хоть это число и кажется бессмысленно, безумно, беспредельно (и еще много эпитетов начинающихся с "бес...") большим, все же моя нотация для записи больших чисел содержит в себе очень слабые рекурсии. Поэтому вместо того, чтобы заново изобретать велосипед, я лучше познакомлю читателя с уже имеющимися в математике нотациями для записи сверхбольших чисел. Но как я ранее упоминал, есть одна проблема, понять из их определения насколько большие рекурсии в них заложены очень сложно, а если просто приводить эти нотации, то тогда невозможно понять масштабы чисел, что они создают. Зарисовать эти рекурсии так же как я сделал с расширенным гипероператором, тоже не получится, настолько они сильные, что не поддаются визуальной демонстрации, так же как например четырехмерные объекты. Нам нужен универсальный инструмент, которым можно было бы померить силу рекурсии, и хорошо что такой инструмент в математике имеется, но для его объяснения мне придется сделать отдельный экскурс в следующей части.

На этом я и приглашаю вас во вторую часть книги, где мы разберем что такое бесконечность, и есть ли что-либо бо́льшее чем она. Конечно, вы можете спросить: не рановато ли для бесконечности, а как же сверхсильные нотации и самое большое из придуманных чисел, оно явно меньше бесконечности, почему бы в начале не поговорить о нем. Однако поверьте, чтобы понять масштаб сверхсильных нотаций, и тем более масштаб самого большого из придуманных чисел нужно вначале понять, что такое бесконечность, и есть ли что-нибудь за ее пределами. Как бы странно это не звучало, но постижение масштаба больших чисел, идет параллельно с изучением бесконечности.

следующая часть...